Задачи на квадратной решётке — подготовка к ЕГЭ по математике

Для кого эта статья

Ключевые выводы из статьи

---

Что такое квадратная решётка и как читать условие задачи

Квадратная решётка — это координатная плоскость, на которой проведены горизонтальные и вертикальные линии с одинаковым шагом. Точки пересечения этих линий называются узлами решётки. Единичный отрезок равен стороне одной клетки (если не указано иное — 1 кв. ед.). Вся геометрия задачи строится на том, что вершины фигур расположены именно в узлах, а координаты узлов — целые числа.

Как устроена квадратная решётка: узлы, клетки, единичный отрезок

• Узел — точка пересечения двух линий сетки; имеет координаты (m, n), где m и n — целые числа.
• Клетка — единичный квадрат, ограниченный четырьмя соседними узлами. Площадь одной клетки = 1 кв. ед.
• Единичный отрезок — расстояние между соседними узлами по горизонтали или вертикали = 1.
• Масштаб: если в условии сказано «сторона клетки равна 2 см», умножайте все площади на 4, а длины — на 2.

Типы задач с квадратной решёткой на ЕГЭ

Уровень ЕГЭ	Тип задачи	Типичная формулировка
Базовый	Площадь фигуры	«Найдите площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге»
Базовый	Расстояние от точки до прямой	«Найдите расстояние от точки A до прямой BC»
Базовый	Тангенс угла	«Найдите tg угла ABC многоугольника»
Базовый	Приближённая площадь	«Оцените площадь озера, нанесённого на клетчатую карту»
Базовый	Средняя линия	«Найдите длину средней линии треугольника/трапеции»
Профильный	Площадь сложной фигуры / кольца	«Найдите площадь фигуры, ограниченной…»
Профильный	Векторы на решётке	«Найдите скалярное произведение векторов AB и AC»
Профильный	Вписанные углы и окружности	«Найдите радиус описанной окружности треугольника»

---

Задания из ЕГЭ базового уровня

На ЕГЭ по базовой математике встречаются задания двух видов: необходимо дать приближённое значение площади объекта на карте или точное значение площади геометрической фигуры.

Площадь n-угольников

Прежде чем переходить к задачам, советуем повторить формулы по теме «Площадь фигуры».

Задача 1

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке, если сторона клетки равна 10 см.

Решение:

1. Сделаем дополнительные построения и найдём площадь полученного прямоугольника с учётом длины стороны клетки: 60 ⋅ 80 = 4800.

   

2. Заметим, что большой прямоугольник состоит из 4 равных прямоугольных треугольников (незакрашенная область) и ромба (закрашенная область).

   Найдём площадь незакрашенной области:

   $$S = 4\left(\dfrac{1}{2}\cdot30\cdot40\right)=2400$$

3. Вычтем из площади большого прямоугольника площадь незакрашенной части: 4800 − 2400 = 2400

Ответ: площадь ромба равна 2400 см².

Задача 2

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке, если размеры каждой клетки равны 1 × 1 см.

Решение:

Мы можем решить эту задачу тем же методом, что и задачу 1 — сделать дополнительные построения и из площади большой фигуры вычесть площадь незакрашенных частей.

А можно сделать иначе:

1. Сделаем дополнительные построения: проведём высоту, проходящую ровно по клеточкам, длина которой составляет целое число.

   

2. Высота равна 4, а сторона, к которой провели высоту, — 7.

   Тогда $S = \dfrac{1}{2}ah_{a}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot7=14$

Приближённая площадь объектов нестандартной формы

Это специфичный тип задач базового ЕГЭ, где фигура (озеро, лесной участок, поле на карте) имеет неровные, «рваные» границы — и точный подсчёт по формулам невозможен. Вместо этого используется метод оценки клеток.

Когда встречается такой тип

Типичные формулировки:

• «На клетчатой карте изображено озеро. Оцените его площадь, если сторона клетки соответствует 2 км».
• «Площадь сельскохозяйственного участка на схеме приближённо оцените по клеточкам».
• «Насколько точно можно определить площадь фигуры с данными границами?»

Алгоритм подсчёта приближённой площади

1. Считаем полные клетки. Обходим фигуру и помечаем все клетки, которые целиком находятся внутри контура. Записываем их количество: $N_{\text{полных}}$.
2. Считаем пограничные клетки. Клетки, через которые проходит граница фигуры — они заняты частично. Записываем их количество: $N_{\text{пограничных}}$.
3. Применяем правило полусуммы. Каждую пограничную клетку считаем за половину: вклад пограничных клеток $= \dfrac{N_{\text{пограничных}}}{2}$.
4. Итоговая оценка площади в клетках: $S \approx N_{\text{полных}} + \dfrac{N_{\text{пограничных}}}{2}$.
5. Пересчёт в реальные единицы. Умножаем на площадь одной клетки в реальных единицах.

Уточнённое правило для пограничных клеток

На практике не всегда удобно строго следовать правилу «половина». Используйте следующую шкалу для каждой пограничной клетки:

Доля заполнения клетки фигурой	Учитывать как
Явно больше половины (больше 50%)	1 (целая клетка)
Примерно половина (около 50%)	0,5 (полклетки)
Явно меньше половины (меньше 50%)	0 (не считать)

Этот подход даёт более точную оценку, чем механическое деление всех пограничных клеток пополам.

Масштаб и реальные единицы

Если в задаче задан масштаб через параметр $a$, действуйте по следующей схеме:

Пример с параметром: На карте площадь озера составила 14 условных клеток. Сторона клетки $= 5a$ км. Площадь озера $= 14 \cdot (5a)^2 = 14 \cdot 25a^2 = 350a^2$ кв. км.

Задачи на карте

В задачах на карте необходимо найти площадь объекта неправильной формы. Мы будем делить объект на части, анализировать, какую часть от клетки занимает часть объекта, и суммировать приблизительные площади каждой из долей.

Задача 3

Оцените площадь озера Лебяжье, если размеры клетки 2 × 2 км.

Решение

Обозначим квадраты, которые занимает озеро, буквами, и оценим занимаемую часть.

1. S_клетки = 2 × 2 = 4 км².

2. Клетка А занята больше чем наполовину, т. е. ≥ 2 км².

3. Если сложить занятую площадь клеток В и D, получится чуть меньше половины, т. е. ≤ 2 км².

4. Клетка С почти полностью занята.

5. Итого: озеро занимает чуть больше половины клетки, чуть меньше половины клетки и почти целую клетку. Округляя, мы получим 2 заполненные клетки:

   S_озера ≈ 2S_клетки = 8 км²

---

Задания из ОГЭ

На ОГЭ также встречаются задачи на квадратной решётке, но они построены только на точных вычислениях. Вам могут встретиться задачи на вычисления площади фигур (как в ЕГЭ базового уровня), на нахождение градусной меры угла или элемента фигуры, а также на вычисление тригонометрической функции.

Давайте сосредоточимся на разборе сложных заданий — на их фоне простые покажутся совсем элементарными. 🙂

Углы и тригонометрия

Прежде чем переходить к задачам, советуем повторить темы:

1. Тригонометрия: базовые понятия и формулы.

2. Центральный и вписанный угол в окружности.

3. Теорема Пифагора.

4. Действия с векторами.

Задача 4

Найдите угол АВС.

Решение

Ключевой подсказкой является то, что угол АВС вписан в окружность. По определению, вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

1. Дополнительные построения: найдём центр окружности и построим центральный угол, опирающийся на дугу АС.

   

2. Угол АОС — тупой. Он точно состоит из прямого угла (видно по рисунку) и острого. Чему равен острый угол? Представим, что одна из сторон угла — диагональ четырёхугольника, и дорисуем его. Судя по построениям, этот четырёхугольник — квадрат, а значит, диагональ является биссектрисой прямого угла → угол АОС состоит из углов 90° и 45°.

3. Если $\angle AOC = 90 + 45 = 135°$, то $\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC = \dfrac{135}{2} = 67{,}5°$.

Задача 5

Найдите тангенс угла AOB.

Решение

Эту задачу можно решить двумя методами: через дополнительные построения и определение тангенса или через скалярное произведение векторов. Рассмотрим второй способ.

1. Предположим, что точка О — точка начала координат, через неё проходит ось абсцисс и ось ординат.

   

2. Тогда координаты точки А (10; 5), точки В (3; 9).

   Вектор ОА (10; 5); вектор ОВ (3; 9).

3. Найдём длины векторов:

   $$|\overline{OA}|=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$$

   $$|\overline{OB}|=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$

4. Выразим косинус угла между векторами из формулы для скалярного произведения:

   $$\cos\alpha=\dfrac{\overline{OA}\times\overline{OB}}{|\overline{OA}|\cdot|\overline{OB}|}=\dfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{|\overline{OA}|\cdot|\overline{OB}|}=\dfrac{10\cdot3+5\cdot9}{5\sqrt{5}\cdot3\sqrt{10}}=\dfrac{75}{15\sqrt{50}}=\dfrac{75}{75\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\Rightarrow\alpha=45°\Rightarrow\tg 45°=1$$

Расстояние от точки до прямой

Кратчайшее расстояние от точки до прямой — это перпендикуляр, проведённый из точки на прямую.

Расстояние от точки до точки — это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Задача 6

Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС, если длина клетки равна 2 см.

Решение

1. Найдем середину отрезка ВС. Для этого соединим точки В и С, проведём дополнительные построения: представим, что ВС — это диагональ четырёхугольника, достроим эту фигуру. По построению видно, что полученный четырёхугольник — прямоугольник, а значит, в точке пересечения диагонали делятся пополам → достроим вторую диагональ и найдём точку пересечения О.

   

2. Найдём длину отрезка ОА с учётом размера клетки:

   ОА = 1,5 ⋅ 2 = 3 см

Элементы фигур

Чаще всего в задачах такого типа просят найти высоту или среднюю линию фигуры.

• Высоту находим по построению или через теорему Пифагора.

• Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Задача 7

Найдите среднюю линию трапеции, если размер клетки 1 × 1 см.

Решение

Для данной задачи невыгодно изображать среднюю линию на рисунке — мы не сможем точно рассчитать её длину. Лучше всего воспользоваться формулой, рассчитав длины оснований:

$$MN = \dfrac{3+7}{2}=5$$

---

Шпаргалка: формулы и алгоритмы для задач на квадратной решётке

Этот блок — готовый справочник. Изучите его до автоматизма: на экзамене не будет времени выводить формулы заново.

Формула Пика

• S — площадь многоугольника (в кв. ед., где 1 ед. = 1 клетка)
• I — количество узлов решётки строго внутри фигуры
• B — количество узлов решётки на границе фигуры (включая вершины)

Условие применимости: вершины многоугольника — только узлы решётки; многоугольник простой (без самопересечений).

Площадь треугольника через координаты вершин

Площадь треугольника через векторное произведение

Если заданы векторы $\overrightarrow{AB} = (a_1,\ a_2)$ и $\overrightarrow{AC} = (b_1,\ b_2)$:

Площадь произвольного многоугольника (формула Гаусса)

Для вершин $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, …, $(x_n,y_n)$, обходимых последовательно:

Площадь кольца

$R$ — внешний радиус, $r$ — внутренний радиус. Оба определяются по координатам как расстояние от центра до точки на окружности: $r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$.

Расстояние от точки до прямой

Прямая задана уравнением $Ax + By + C = 0$, точка — $(x_0,\ y_0)$:

Длина отрезка между двумя узлами

Тангенс угла между двумя прямыми

Прямые с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$:

Угол при вершине через скалярное произведение

Средняя линия треугольника и трапеции

На квадратной решётке длины оснований и средней линии считаются по клеткам напрямую, если они горизонтальны или вертикальны. Для наклонных сторон используйте формулу длины отрезка.

Радиус описанной окружности

Мини-таблица: что дано → какую формулу брать

Что дано / что ищем	Рекомендуемая формула	Время
Все вершины в узлах, нужна площадь	Формула Пика	3–4 мин
Треугольник, известны координаты	Координатная формула / векторное произведение	2–3 мин
Простая фигура вписана в прямоугольник	Метод достраивания	2 мин
Сложный $n$-угольник	Формула Гаусса	4–5 мин
Кольцо или фигура с вырезом	Разность площадей $S = \pi(R^2 - r^2)$	4 мин
Расстояние от точки до прямой	$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$	3 мин
Угол при вершине	Скалярное произведение + косинус	4–5 мин
Угол между прямыми	Тангенс через угловые коэффициенты	3–4 мин
Средняя линия треугольника/трапеции	$m = \dfrac{a}{2}$ или $m = \dfrac{a+b}{2}$, подсчёт по клеткам	1–2 мин
Радиус описанной окружности	$R = \dfrac{c}{2}$ (прямоугольный треугольник) или $R = \dfrac{abc}{4S}$	3 мин
Приближённая площадь нестандартной фигуры	Метод подсчёта клеток с оценкой долей	3–5 мин

---

Пошаговые разборы 8 типовых задач ЕГЭ

№	Тип задачи	Метод	Уровень	Время
1	Площадь треугольника	Формула Пика	Базовый	3 мин
2	Площадь треугольника	«Прямоугольник минус»	Базовый	2 мин
3	Площадь четырёхугольника	Разбиение на треугольники	Базовый	4 мин
4	Площадь $n$-угольника	Формула Гаусса	Средний	5 мин
5	Площадь кольца	Разность площадей	Средний	4 мин
6	Расстояние от точки до прямой	Координатная формула	Средний	4 мин
7	Угол между прямыми	Векторы + скалярное произведение	Средний	5 мин
8	Составная задача (площадь + элементы)	Комбинация методов	Сложный	7 мин

Задача 1. Площадь треугольника по формуле Пика (базовый уровень)

Условие: Найдите площадь треугольника с вершинами $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(2,5)$.

Решение:

$B = \text{НОД}(6,2) + \text{НОД}(4,3) + \text{НОД}(2,5) = 2 + 1 + 1 = 4$. $I = 8$ (визуально).

Задача 2. Площадь треугольника методом достраивания (базовый уровень)

Условие: Треугольник $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(3,4)$.

Решение: $S_{\text{прямоугольника}} = 4 \times 3 = 12$. Три «лишних» треугольника: $\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3 = 3$; $\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3 = 3$; верхний $= 0$.

Задача 3. Площадь четырёхугольника разбиением на треугольники (базовый уровень)

Условие: $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(5,3)$, $D(1,4)$. Проводим диагональ $AC$.

$S(ABC) = \dfrac{1}{2}|0+12+0| = 6$. $S(ACD) = \dfrac{1}{2}|0+20-3| = 8{,}5$.

Задача 4. Площадь пятиугольника по формуле Гаусса (средний уровень)

Условие: $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(5,2)$, $D(3,4)$, $E(0,3)$.

• A→B: $0\cdot0 - 4\cdot0 = 0$
• B→C: $4\cdot2 - 5\cdot0 = 8$
• C→D: $5\cdot4 - 3\cdot2 = 14$
• D→E: $3\cdot3 - 0\cdot4 = 9$
• E→A: $0\cdot0 - 0\cdot3 = 0$

Задача 5. Площадь кольца (средний уровень)

Условие: Центр $O(3,3)$, внешняя через $A(6,3)$, внутренняя через $B(5,3)$.

$R^2 = 9$, $r^2 = 4$.

Задача 6. Расстояние от точки до прямой (средний уровень)

Условие: Прямая через $A(0,0)$ и $B(3,4)$. Расстояние от $C(5,0)$.

Уравнение: $4x - 3y = 0$.

---

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неверный подсчёт граничных точек у диагональных сторон

Правило: число узлов на стороне от $(x_1,y_1)$ до $(x_2,y_2)$ $= \text{НОД}(|\Delta x|,|\Delta y|)$. Промежуточных узлов $= \text{НОД} - 1$.

Пример: Сторона от $(0,0)$ до $(6,4)$: $\text{НОД}(6,4) = 2$ → промежуточный узел $(3,2)$. Без него $B$ будет занижено на 1.

Ошибка 2. Путаница «внутренние» vs «граничные» точки

Мнемоника: «Граница — это забор, внутри — двор». Точка на стороне — на заборе (граничная). Точка внутри — во дворе (внутренняя).

Контроль: квадрат $2\times2$: $B = 8$, $I = 1$. $S = 1 + \dfrac{8}{2} - 1 = 4$ ✓

Ошибка 3. Неверный выбор начала координат

Правило: помещайте начало координат в левый нижний узел фигуры — все координаты будут неотрицательными.

Ошибка 4. Потеря знака в координатной формуле площади

Правило: всегда берите модуль в финале. Для самопроверки посчитайте площадь простого прямоугольника по той же формуле.

Ошибка 5. Неправильное определение радиуса окружности на решётке

Правило: $r^2 = (x_{\text{точки}} - x_{\text{центра}})^2 + (y_{\text{точки}} - y_{\text{центра}})^2$. Работайте с $r^2$ напрямую в формуле площади кольца.

Ошибка 6. Пропуск угловых точек при обходе границы многоугольника

1. Идём по часовой стрелке от любой вершины.
2. Ставим галочку у каждой вершины по мере прохождения.
3. Убедились, что вернулись в исходную точку и все вершины отмечены.
4. Для каждой стороны записали НОД — проверили наличие промежуточных точек.

Ошибка 7. Неверное применение формулы средней линии

Проблема: ученики путают среднюю линию треугольника (соединяет середины двух сторон, равна половине третьей) со средней линией трапеции (соединяет середины боковых сторон, равна полусумме оснований).

Проверка: всегда уточняйте — средняя линия какой фигуры имеется в виду, и убедитесь, что параллельность выдержана.

Ошибка 8. Подмена радиуса координатой при работе с окружностями

Проблема: если центр $O(4,4)$, а точка на окружности $B(4,6)$, ученик берёт $r = 6$ (y-координату) вместо $r = |6-4| = 2$.

Правило: $r$ = расстояние от центра до точки на окружности, а не координата точки.

---

Задачи для самостоятельной тренировки

Уровень 1 — базовый (цель: 3–4 минуты на каждую задачу)

Задача 1.1. Найдите площадь треугольника $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(2,3)$. Метод: достраивание.

Ответ: 7,5 кв. ед.

Задача 1.2. Найдите площадь треугольника $A(1,1)$, $B(7,3)$, $C(3,6)$. Метод: формула Пика.

Ответ: 10 кв. ед. Ошибки: не замечают промежуточную точку на $AB$: $\text{НОД}(6,2) = 2$ → узел $(4,2)$.

Задача 1.3. Найдите площадь треугольника $A(0,0)$, $B(4,2)$, $C(1,5)$. Метод: координатная формула.

Ответ: 9 кв. ед.

Задача 1.4. Трапеция с основаниями $a = 3$ клетки и $b = 7$ клеток. Найдите длину средней линии.

Ответ: 5 клеток.

Задача 1.5. Треугольник $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(4,0)$. Найдите длину средней линии, соединяющей середины $AB$ и $AC$.

Ответ: 4 кв. ед. (средняя линия параллельна $BC$ и равна $|BC|/2 = 4$).

Уровень 2 — средний (цель: 4–5 минут на каждую задачу)

Задача 2.1. Трапеция $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(5,3)$, $D(1,3)$. Метод: формула трапеции или Гаусс.

Ответ: 18 кв. ед.

Задача 2.2. Пятиугольник $A(0,1)$, $B(2,0)$, $C(5,1)$, $D(4,4)$, $E(1,4)$. Метод: Гаусс.

Ответ: 13 кв. ед. Ошибки: не замыкают контур.

Задача 2.3. Шестиугольник $A(1,0)$, $B(4,0)$, $C(5,2)$, $D(4,4)$, $E(1,4)$, $F(0,2)$. Метод: Пик.

Ответ: 16 кв. ед.

Задача 2.4. Прямая через $A(0,2)$ и $B(4,0)$. Расстояние от $C(3,4)$ до $AB$.

Ответ: $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Задача 2.5. Расстояние от $D(5,5)$ до прямой через $E(1,1)$ и $F(4,3)$.

Ответ: $\dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0{,}55$.

Задача 2.6. Прямоугольный треугольник $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(0,12)$. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: $R = \dfrac{13}{2} = 6{,}5$. Гипотенуза $BC = \sqrt{25+144} = 13$.

Задача 2.7. На клетчатой карте озеро занимает 22 полных клетки и 12 пограничных. Сторона клетки $= 1$ км. Оцените площадь озера.

Ответ: $\left(22 + \dfrac{12}{2}\right) \cdot 1 = 28$ кв. км.

Уровень 3 — сложный (цель: 6–7 минут на каждую задачу)

Задача 3.1. В треугольнике $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(3,6)$ найдите $\tg$ угла при вершине $C$.

Ответ: $\tg C = \dfrac{48}{11}$. Удобнее: $\cos C$ через скалярное произведение, затем $\sin C$ и $\tg C$.

Задача 3.2. Угол между диагоналями ромба $A(0,2)$, $B(3,0)$, $C(6,2)$, $D(3,4)$.

Ответ: $90°$ (диагонали ромба перпендикулярны; скалярное произведение $= 0$).

Задача 3.3. Прямоугольник $(0,0)$–$(6,0)$–$(6,4)$–$(0,4)$ минус треугольник $(2,1)$–$(4,1)$–$(3,3)$. Площадь фигуры.

Ответ: $24 - 2 = 22$ кв. ед.

Задача 3.4. Кольцо с центром $O(4,4)$: внешняя через $(4,8)$, внутренняя через $(4,6)$.

Ответ: $\pi(16-4) = 12\pi$ кв. ед. Ошибки: принимают $r^2 = 6$ вместо $(6-4)^2 = 4$.

Задача 3.5. Треугольник $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(2,4)$. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: $|AB| = 6$, $|BC| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$, $|AC| = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$. $S = \dfrac{1}{2}\cdot6\cdot4 = 12$. $R = \dfrac{6\cdot4\sqrt{2}\cdot2\sqrt{5}}{4\cdot12} \approx 15{,}8$. (Треугольник не прямоугольный — используем общую формулу $R = \dfrac{abc}{4S}$.)

---

Авторитетные источники по теме

---

FAQ: частые вопросы при подготовке к задачам на квадратной решётке

Чувствуете азарт, хочется решить ещё несколько задач? Тогда скорее переходите по ссылке в бесплатный тренажёр ЕГЭ. Практикуйтесь, решайте, закрепляйте теорию и улучшайте практику. И не забудьте поделиться с друзьями, им тоже будет полезно!