Вектор: длина и координаты

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

---

Определение и обозначение вектора

В некоторых учебниках вектор могут называть направленным отрезком.

Вектор обозначается одной строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными со стрелкой (в некоторых случаях — прямой линией) сверху.

---

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

На рисунке $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{e}$ являются коллинеарными, а $\overrightarrow{y}$ и $\overrightarrow{z}$ относительно друг друга — нет.

Векторы различаются и по направлению. Если векторы уже являются коллинеарными, они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Сонаправленные векторы обозначаются так: $\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b}$. Если же они противоположно направлены: $\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b}$.

Чаще всего его обозначают так: $\{\overrightarrow{0}\}$. Он считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрии вводят дополнительные понятия:

• Закреплённый вектор — отрезок с упорядоченными концами: если С — точка начала вектора, а Е — точка конца, тогда $\overrightarrow{СЕ}\ne\overrightarrow{ЕС}$ (это то, что мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).
• Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не закреплены. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он находится, так и параллельно этой прямой. По сути под свободным вектором понимают множество закреплённых векторов.

---

Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами описываются и в алгебре, и в геометрии. Рассмотрим способы, благодаря которым можно сложить и вычесть векторы, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что в пространстве заданы векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, которые нам необходимо сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку такие векторные величины, как сила, часто приложены к одному и тому же телу. Чтобы сложить два вектора, необходимо:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.
2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором $\overrightarrow{c}$, который соединяет начало вектора $\overrightarrow{a}$ с концом вектора $\overrightarrow{b}$.

Сложение: метод параллелограмма

Сложить векторы можно и по-другому, используя метод параллелограмма:

1. Совместим между собой начала $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{d}$.
2. Отложим от конца $\overrightarrow{c}$ вектор, равный $\overrightarrow{d}$.
3. Отложим от конца $\overrightarrow{d}$ вектор, равный $\overrightarrow{c}$.
4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).
5. Проведём диагональ параллелограмма между $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{d}$, на которой будет лежать вектор, равный сумме $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{d}$.

Сложение: метод многоугольника

А что если векторов больше, чем два? Воспользуемся расширенным методом треугольника, который получил название «метод многоугольника». Согласно этому методу мы последовательно совмещаем конец и начало векторов, а после изображаем суммирующий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего.

Вычитание векторов

Продолжаем проделывать с векторами всевозможные действия, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это по своей сути то же сложение, но с обратным числом.

$10 − 2 = 10 + (−2)$

С векторами работает та же штука: вместо вычитания попробуем прибавить вектор, противоположно направленный исходному: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

Изобразим разность векторов с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Отдельное правило для вычитания сонаправленных и противоположно направленных векторов:

1. Отложим один вектор от начала другого.
2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а конец — с концом уменьшаемого.

Этот метод схож с методом параллелограмма, но в этом случае берётся другая диагональ.

---

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения действий с векторами необходимо поместить их в систему координат, чтобы можно было определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат — как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Если $\overrightarrow{A}$ находится на плоскости, его координаты выражают как $(A_x;A_y)$, если в пространстве — $(A_x;A_y;A_z)$.

Любой вектор в трёхмерном пространстве можно разложить по трём базисным векторам: $\overrightarrow{A} = A_x\cdot\overrightarrow{i} + A_y\cdot\overrightarrow{j} + A_z\cdot\overrightarrow{k}$.

---

Умножение вектора на число

Представьте, что нам необходимо растянуть вектор в два раза или сжать в три. За все эти действия отвечает умножение вектора на число. Для того чтобы увеличить или уменьшить вектор в некоторое количество раз, необходимо умножить все координаты вектора на это число.

Таким образом, если $\overrightarrow{A}$ задан координатами $(A_x;A_y)$, то $2\overrightarrow{A}$ — это $(2A_x;2A_y)$. Подобным образом можно перевернуть вектор, направив его в противоположную сторону: $-\overrightarrow{B} = (-B_x;-B_y)$.

Итак, вот все действия с векторами, собранные в таблице:

Действие	Пример	Результат
Сложение	$\overrightarrow{a} = (1;\,2;\,3)$, $\overrightarrow{b} = (4;\,5;\,6)$	$(5;\,7;\,9)$
Вычитание	$\overrightarrow{a} = (4;\,5;\,6)$, $\overrightarrow{b} = (1;\,2;\,3)$	$(3;\,3;\,3)$
Умножение на число	$\overrightarrow{a} = (1;\,2;\,3)$, $\lambda = 3$	$(3;\,6;\,9)$

---

Длина вектора

Длина вектора — одно из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь она характеризует его протяженность в пространстве и выражается числом.

Если нам необходимо найти длину $\overrightarrow{AB},$ мы так и запишем: $|\overrightarrow{AB}|.$

Длину вектора можно найти тремя способами:

1. через координаты вектора;
2. через координаты точек начала и конца вектора;
3. через теорему косинусов.

Давайте вместе разберём все методы!

---

Длина вектора через его координаты

Если $\overrightarrow{A}$ задан через координаты $(x;y)$, то его длину можно найти как $|\overrightarrow{A}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Почему мы можем быть уверены, что эта формула правильная? Рассмотрим вектор $\overrightarrow{A}$ в декартовой системе координат.

Отложим вектор $\overrightarrow{A}$ от точки $O$ с координатами $(0;0).$ Тогда этот вектор можно назвать $\overrightarrow{OA}$, и так как мы строили его из начала координат, координаты вектора могут быть найдены как $\{A_x-O_x;A_y-O_y\}=(x;y).$

Задача 1

Посчитайте, чему равен модуль $\overrightarrow{a}$, если его координаты $(−5;\, 0)$.

Решение: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(-5)^2+0^2}=5$.

Задача 2

Длина $\overrightarrow{c} = 10$. Чему равна координата по оси $OX$, если координата по оси $OY = 6$?

Решение:

$|\overrightarrow{c}|^2 = x^2+y^2$

$x^2 = 100 - 36 = 64$

$x = \pm8$

---

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Для начала давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты его начала и конца.

Рассмотрим $\overrightarrow{CD},$ где $C (х_C; у_C )$ и $D (х_D; у_D).$ Тогда координаты вектора можно выразить так: $\overrightarrow{CD} (x_D-x_C; y_D-y_C).$

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому подставим полученное выражение в формулу:

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(x_D-x_C)^2 + (y_D-y_C)^2}.$

Задача 3

Найдите длину $\overrightarrow{AB}$, если $A(0;2)$ и $В(3;-1)$.

Решение: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Задача 4

Рассчитайте координату по $OY$ точки $F$ вектора $\overrightarrow{EF}$, если его длина равна $\sqrt{10}, Е (0; 1),$ а $x_F=3.$

Решение:

$|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2},$

$|\overrightarrow{EF}|^2 = (x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2,$

$(y_F-y_E)^2 = |\overrightarrow{EF}|^2 - (x_F-x_E)^2.$

Остановимся здесь и подставим известные числа в формулу:

$(y_F-1)^2 = 10 - 3^2,$

$(y_F-1)^2 = 1,$

$(y_F-1)^2 - 1^2 = 0,$

$(y_F-1-1)(y_F-1+1) = 0,$

$(y_F-2)(y_F) = 0,$

$y_F = 2$ или $y_F = 0.$

---

Длина вектора через теорему косинусов

В задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае воспользуемся теоремой косинусов.

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Тогда, чтобы найти длину $\overrightarrow{a}$, необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$, знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен $\frac{\pi}{3}$. Вычислите длину $\overrightarrow{BC}$.

Решение:

$|\overrightarrow{BC}|^2 = 16 + 36 - 2\cdot4\cdot6\cdot\cos60° = 52 - 24 = 28$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Задача 6

Рассчитайте модуль вектора $\overrightarrow{c}$ в треугольнике, если длина $\overrightarrow{a}$ = 8, длина $\overrightarrow{b}$ = 10, а угол между ними равен $45°$.

Решение:

$|\overrightarrow{c}|^2 = 64 + 100 - 160\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 164 - 80\sqrt{2}$

$|\overrightarrow{c}| = \sqrt{164-80\sqrt{2}} = 2\sqrt{41 - 20\sqrt{2}}$.

---

Скалярное произведение векторов

Мы практически дошли до финала нашего путешествия по царству векторов. 👑 Нам осталось изучить только скалярное произведение векторов. Что это?

Скалярным произведением $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные (не имеющие направления, например, масса) и векторные (имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость). В математике под вектором подразумевают направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла:

• Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2.$ В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из возможных.

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как $\cos\alpha\gt0.$

  
• Если угол прямой — скалярное произведение равно 0 ($\cos\alpha = 0$).
• Если угол тупой и векторы ненулевые — скалярное произведение отрицательно ($\cos\alpha < 0$).
• Скалярное произведение вектора на противоположно направленный вектор равно отрицательному произведению их длин: $\overrightarrow{a} \cdot (-\overrightarrow{a}) = -|\overrightarrow{a}|^2$.

Конечно, вы можете возразить: «Согласованность направлений отлично показывает угол, для чего нам эти сложные вычисления?». А всё дело в том, что в пространстве порой очень сложно измерить угол, а вот посчитать скалярное произведение — просто, особенно если рассмотреть его через координаты.

Если $\overrightarrow{a}$ выражен координатами $(a_x; a_y),$ а $b - (b_x; b_y),$ то скалярное произведение этих векторов описывается формулой: $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = a_xb_x + a_yb_y.$ В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет задаваться так: $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.$

Где применяется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких как нахождение угла между векторами и любых расстояний, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному произведению можно описать даже характеристику криволинейных поверхностей, но это мы обсудим как-нибудь в другой раз. 🙂

Свойства скалярного произведения

• Коммутативность: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$
• Дистрибутивность: $\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$
• Сочетательность с числом: $(\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b} = \lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})$
• Скалярный квадрат: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 \geq 0$, причём равенство нулю только при $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$

Угол между векторами через скалярное произведение

Из формулы скалярного произведения можно выразить косинус угла между векторами:

Угол между векторами лежит в диапазоне $[0°;\,180°]$. Это принципиально отличает его от угла между прямыми, который всегда лежит в $[0°;\,90°]$: у прямой нет «направления», поэтому для прямых берётся модуль косинуса.

Пример: найти угол между $\overrightarrow{a} = (1;\,0;\,0)$ и $\overrightarrow{b} = (1;\,1;\,0)$:

$$\cos\varphi = \dfrac{1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot0}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \varphi = 45°$$

Задачи на скалярное произведение и угол между векторами

Задача 7. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a} = (3;\,-1;\,2)$ и $\overrightarrow{b} = (1;\,4;\,-1)$.

Решение: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = 3\cdot1 + (-1)\cdot4 + 2\cdot(-1) = 3 - 4 - 2 = -3$.

Ответ: $-3$.

Задача 8. Найдите угол между векторами $\overrightarrow{a} = (1;\,1;\,0)$ и $\overrightarrow{b} = (0;\,1;\,1)$.

Решение: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = 1$; $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2}$; $|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2}$.

$\cos\varphi = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60°$.

Ответ: $\varphi = 60°$.

Задача 9. Докажите, что векторы $\overrightarrow{a} = (2;\,-1;\,0)$ и $\overrightarrow{b} = (1;\,2;\,5)$ перпендикулярны.

Решение: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = 2 - 2 + 0 = 0$ → векторы перпендикулярны.

Типичные ошибки при работе со скалярным произведением

Ошибка	В чём проблема	Как исправить
Перепутали скалярное произведение с умножением на число	Скалярное произведение двух векторов даёт число, а не вектор	Скалярное произведение: $a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$ — результат число
Забыли взять модуль при нахождении угла между прямыми	Угол между прямыми всегда острый или прямой — берётся $|\cos\varphi|$	Для прямых: $\cos\varphi = \dfrac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}$
Неверно определили координаты вектора по точкам	Координаты — разность координат конца и начала, а не начала и конца	$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A;\; z_B - z_A)$

Метод координат в стереометрии (ЕГЭ Профиль, часть 2)

Один из самых результативных способов решения сложных задач второй части профильного ЕГЭ — метод координат. Его суть: введите систему координат, запишите все вершины фигуры (куба, призмы, пирамиды) как точки, затем работайте с их векторными характеристиками по строгим формулам.

Вектор нормали к плоскости

Любая плоскость в пространстве имеет бесконечно много нормалей, но все они параллельны и пропорциональны друг другу — достаточно найти один такой вектор.

Как найти вектор нормали к плоскости через три точки:

1. Пусть плоскость проходит через точки A, B, C.
2. Найдите два вектора в плоскости: $\overrightarrow{AB}$ = B − A и $\overrightarrow{AC}$ = C − A.
3. Вектор нормали $\vec{n}$ = $\overrightarrow{AB}$ × $\overrightarrow{AC}$ (векторное произведение).

Пример: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0)

• $\overrightarrow{AB}$ = (1; 0; 0), $\overrightarrow{AC}$ = (0; 1; 0)
• $\vec{n}$ = $\overrightarrow{AB}$ × $\overrightarrow{AC}$ = (0·0 − 0·1; 0·0 − 1·0; 1·1 − 0·0) = (0; 0; 1)
• Нормаль направлена вдоль оси Z — что логично для плоскости XOY.

Уравнение плоскости через вектор нормали

Если нормальный вектор плоскости равен $\vec{n}$(A; B; C) и плоскость проходит через точку M(x₀; y₀; z₀), то уравнение плоскости записывается в общем виде:

Ключевой факт: коэффициенты A, B, C в уравнении плоскости — это в точности координаты вектора нормали к этой плоскости. Зная уравнение плоскости, вы мгновенно знаете нормаль.

Пример: найти уравнение плоскости с нормалью $\vec{n}$(2; −1; 3), проходящей через точку M(1; 0; 2).

• 2(x − 1) + (−1)(y − 0) + 3(z − 2) = 0
• 2x − 2 − y + 3z − 6 = 0
• 2x − y + 3z − 8 = 0

Угол между прямыми в 3D

Угол φ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется через скалярное произведение. Поскольку нас интересует острый угол (прямые не имеют «направления» как таковые), берётся модуль косинуса:

Пример — угол между главной диагональю куба и ребром:

• Куб со стороной 1, вершина в начале координат. Ребро вдоль оси X: $\vec{a}$(1; 0; 0). Главная диагональ: $\vec{b}$(1; 1; 1).
• $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 1, |$\vec{a}$| = 1, |$\vec{b}$| = √3
• cos(φ) = 1/√3 → φ = arccos(1/√3) ≈ 54,7°

Угол между плоскостями (двугранный угол)

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (или его дополнению до 90°, если угол тупой — берём острый):

Пример — угол между плоскостями 2x + y − z = 0 и x − y + z = 3:

• $\vec{n1}$(2; 1; −1), $\vec{n2}$(1; −1; 1)
• $\vec{n1}$ · $\vec{n2}$ = 2·1 + 1·(−1) + (−1)·1 = 2 − 1 − 1 = 0
• cos(φ) = 0 → φ = 90°. Плоскости перпендикулярны.

Угол между прямой и плоскостью

Угол ψ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормалью $\vec{n}$ вычисляется через синус (а не косинус, как в предыдущих случаях):

Задачи с решениями для практики

Базовый уровень (ОГЭ)

Задача 1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если A(2; 3), B(7; 1).

Задача 2. Найти длину вектора $\vec{a}$(6; 8).

Средний уровень (ЕГЭ / вуз, 2D)

Задача 3. Найти длину вектора $\overrightarrow{AB}$, если A(−1; 2), B(3; 5).

Задача 4. Найти угол между векторами $\vec{a}$(1; 1) и $\vec{b}$(1; 0).

Продвинутый уровень

Задача 5. Найти длину вектора $\vec{a}$(2; 3; 6).

Задача 6. Проверить ортогональность векторов $\vec{a}$(1; 2; 3) и $\vec{b}$(3; 0; −1).

Стереометрия — метод координат

Задача 7. Куб со стороной 1 с вершиной A в начале координат: A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), A₁(0;0;1), B₁(1;0;1), C₁(1;1;1), D₁(0;1;1). Найти угол между диагональю AC₁ и плоскостью основания ABCD.

Задачи для самостоятельного решения (с ответами)

1. Найти координаты вектора $\overrightarrow{MN}$, если M(0; 4), N(3; 1).
   Показать ответ

   (3; −3)
2. Найти длину вектора $\vec{c}$(5; 12).
   Показать ответ

   13
3. Проверить коллинеарность векторов $\vec{a}$(4; 6) и $\vec{b}$(2; 3).
   Показать ответ

   Коллинеарны, т.к. 4·3 = 6·2 = 12
4. Найти угол между $\vec{a}$(1; 0; 0) и $\vec{b}$(0; 0; 1).
   Показать ответ

   90°
5. Найти вектор $\vec{a}$ + $\vec{b}$, если $\vec{a}$(3; −1; 2) и $\vec{b}$(−1; 4; 0).
   Показать ответ

   (2; 3; 2)
6. Определить, являются ли векторы $\vec{a}$(1; 2; 3), $\vec{b}$(0; 1; 0), $\vec{c}$(2; 0; 6) компланарными. Подсказка: проверьте, можно ли выразить один через два других.
   Показать ответ

   Нет. Смешанное произведение $\vec{a}$·($\vec{b}$×$\vec{c}$) = 1·(1·6−0·0) − 2·(0·6−0·2) + 3·(0·0−1·2) = 6 − 0 − 6 = 0. Компланарны.
7. Найти вектор нормали к плоскости, проходящей через точки P(1;0;0), Q(0;1;0), R(0;0;1).
   Показать ответ

   $\overrightarrow{PQ}$=(−1;1;0), $\overrightarrow{PR}$=(−1;0;1). $\vec{n}$=$\overrightarrow{PQ}$×$\overrightarrow{PR}$=(1·1−0·0; 0·(−1)−(−1)·1; (−1)·0−1·(−1))=(1;1;1)

---

Шпаргалка — все формулы по теме

Операция	Формула (2D)	Формула (3D)
Координаты вектора AB	(x₂−x₁; y₂−y₁)	(x₂−x₁; y₂−y₁; z₂−z₁)
Длина (модуль) вектора	√(x²+y²)	√(x²+y²+z²)
Длина по двум точкам	√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)	√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²)
Сумма векторов	(a₁+b₁; a₂+b₂)	(a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃)
Разность векторов	(a₁−b₁; a₂−b₂)	(a₁−b₁; a₂−b₂; a₃−b₃)
Умножение на число	(k·a₁; k·a₂)	(k·a₁; k·a₂; k·a₃)
Скалярное произведение	a₁b₁ + a₂b₂	a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Угол между векторами	cos α = ($\vec{a}$·$\vec{b}$) / ($|\vec{a}|$·$|\vec{b}|$)	← та же формула
Условие ортогональности	$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 0	$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 0
Условие коллинеарности	a₁·b₂ = a₂·b₁	a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃
Направляющие косинусы	—	cos α = x/$|\vec{a}|$, cos β = y/$|\vec{a}|$, cos γ = z/$|\vec{a}|$
Вектор нормали (через × произведение)	—	$\vec{n}$ = $\overrightarrow{AB}$ × $\overrightarrow{AC}$
Угол между плоскостями	—	cos φ = $|\vec{n1}$·$\vec{n2}|$ / ($|\vec{n1}|$·$|\vec{n2}|$)
Угол между прямой и плоскостью	—	sin ψ = $|\vec{l}$·$\vec{n}|$ / ($|\vec{l}|$·$|\vec{n}|$)
Уравнение плоскости	—	Ax + By + Cz + D = 0, где (A;B;C) = $\vec{n}$

---

Авторитетные источники по теме векторов

---

FAQ — частые вопросы

Что такое вектор простыми словами?

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина. В отличие от обычного числа (скаляра), вектор говорит не только «сколько», но и «куда». Пример: сила 10 Н, приложенная вниз, — это вектор. Просто «10 Н» без указания направления — это скаляр.

Чем вектор отличается от скаляра?

Скаляр — это число без направления (температура, масса, время). Вектор — это число плюс направление (сила, скорость, перемещение). Скаляры складываются как обычные числа. Векторы складываются с учётом направления по правилу треугольника или параллелограмма.

Как найти длину вектора по координатам?

Возвести каждую координату в квадрат, сложить результаты и извлечь квадратный корень. Для вектора $\vec{a}$(x; y): $|\vec{a}|$ = √(x² + y²). Для пространства $\vec{a}$(x; y; z): $|\vec{a}|$ = √(x² + y² + z²). Это прямое следствие теоремы Пифагора.

Как найти координаты вектора по двум точкам?

Вычесть координаты начальной точки из координат конечной. Для вектора $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB}$ = (x_B − x_A; y_B − y_A). Главное — не перепутать порядок: всегда «конечная минус начальная».

Что такое модуль вектора?

Модуль вектора — это то же самое, что длина вектора. Обозначается $|\vec{a}|$. Это скалярная (числовая) характеристика вектора, показывающая его «размер» безотносительно направления. Модуль всегда неотрицателен: $|\vec{a}|$ ≥ 0.

Могут ли два вектора быть равны, если находятся в разных местах плоскости?

Да. В математике используется понятие «свободный вектор»: вектор определяется только своей длиной и направлением, но не положением начальной точки. Поэтому вектор $\overrightarrow{AB}$ и вектор $\overrightarrow{CD}$ равны, если $|\overrightarrow{AB}|$ = $|\overrightarrow{CD}|$ и их направления совпадают — независимо от расположения на плоскости.

Когда скалярное произведение равно нулю?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними равен 90° — то есть когда векторы перпендикулярны (ортогональны). Это прямо следует из формулы: $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = $|\vec{a}|$ · $|\vec{b}|$ · cos(90°) = $|\vec{a}|$ · $|\vec{b}|$ · 0 = 0.

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Признак коллинеарности для $\vec{a}$(a₁; a₂) и $\vec{b}$(b₁; b₂): a₁·b₂ = a₂·b₁ (координаты пропорциональны). Коллинеарные векторы могут быть как сонаправленными, так и противоположно направленными.

Как доказать, что векторы перпендикулярны?

Вычислить скалярное произведение. Если $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = aₓ·bₓ + aᵧ·bᵧ = 0 (для 2D) или aₓ·bₓ + aᵧ·bᵧ + a_z·b_z = 0 (для 3D) — векторы перпендикулярны. Это необходимое и достаточное условие ортогональности.

Что такое компланарные векторы и чем они отличаются от коллинеарных?

Коллинеарные — два вектора, лежащие на одной прямой или параллельных прямых (одномерное «укладывание»). Компланарные — три и более вектора, лежащие в одной плоскости. Любые два вектора автоматически компланарны. Три вектора компланарны тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: $\vec{a}$·($\vec{b}$×$\vec{c}$) = 0.

Что такое вектор нормали и зачем он нужен?

Нормальный вектор (нормаль) — это вектор, перпендикулярный данной плоскости. Его координаты совпадают с коэффициентами A, B, C в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Нормаль используется для нахождения углов между плоскостями и между прямой и плоскостью в задачах стереометрии.

Где применяются векторы в реальной жизни?

Везде, где есть направление и величина одновременно: навигация (курс самолёта или корабля), физика (силы, скорости), компьютерная графика (расчёт освещения, столкновений), робототехника, строительная механика (нагрузки на конструкции). Векторы — это математический язык, на котором говорит физический мир.