Вычисление первообразной функции — методы и примеры

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

• сложение обратно вычитанию,

• умножение — делению,

• возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Функция f (x)	Производная f' (х)
С (т. е. константа, любое число)	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tg x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\ctg x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \cdot \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln a}$

Правила дифференцирования

$(c \cdot f)' = c \cdot f'$

$(u + v)' = u' + v'$

$(u - v)' = u' - v'$

$(u \cdot v)' = u'v + v'u$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}$

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — $\int$. То есть если мы хотим взять интеграл от функции $f(x)$, мы запишем это так: $\int f(x)\,dx$.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

• d — это дифференциал,

• х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

• дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;

• его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции $-\sin(x)$. Посмотрим внимательно в таблицу производных: $\cos'(x) = -\sin(x)$. Тогда первообразная функции $\sin(x)$ будет равна $-\cos(x) + C$ с учётом постоянной величины.

Связь с производной: взаимно обратные операции

Дифференцирование и интегрирование — это взаимно обратные операции, как возведение в степень и извлечение корня. Если $F'(x) = f(x)$, то $\int f(x)\,dx = F(x) + C$. Это и есть фундаментальная теорема математического анализа.

Геометрический смысл первообразной: площадь под кривой

Геометрически первообразная описывает накопленную площадь под кривой $y = f(x)$. Представьте, что вы разбиваете область под графиком на бесконечно тонкие прямоугольные полоски шириной $dx$ и высотой $f(x)$: сумма их площадей $f(x) \cdot dx$ и составляет интеграл. Чем тоньше полоски — тем точнее результат.

Например, если $f(x) = 2x$, то площадь под графиком на отрезке $[0,\,3]$ — это площадь прямоугольного треугольника с основанием 3 и высотой 6, равная 9. Это совпадает с вычислением через первообразную: $F(3) - F(0) = 3^2 - 0^2 = 9$.

Если $f(x)$ — скорость процесса, то $F(x)$ — пройденный путь (накопленная величина). В экономике: если $f(x)$ — маржинальные издержки, то $F(x)$ — общие издержки. Именно этот смысл лежит в основе формулы Ньютона–Лейбница при вычислении площади криволинейной трапеции.

Отличие первообразной от определённого интеграла

Первообразная $F(x) + C$ — это функция (неопределённый интеграл). Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это число, равное $F(b) - F(a)$. Первое — семейство кривых, второе — конкретная площадь.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

$-\cos(x) + 3$,
$-\cos(x) + 5$,
$-\cos(x) - 6$.

Тогда производная будет равна $\sin(x)$ для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

$(-\cos(x) + 3)' = \sin(x)$,
$(-\cos(x) + 5)' = \sin(x)$,
$(-\cos(x) - 6)' = \sin(x)$.

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «$+ C$». Выражение, которое имеет общий вид $F(x) + C$, называется множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину $C$.

Геометрический смысл константы: семейство кривых

Если $F(x)$ — одна первообразная $f(x)$, то $F(x)+1$, $F(x)+5$, $F(x)-\pi$ — тоже первообразные той же функции. На графике это семейство кривых, полученных параллельным сдвигом исходной кривой по вертикали. Все они имеют одинаковую касательную в каждой точке, то есть одинаковую производную.

Почему C нельзя опускать: разбор ошибки

Запись $\int 2x\,dx = x^2$ означает, что найдена только одна первообразная. Правильный ответ — $x^2 + C$, где $C$ — произвольная константа. В задачах, где требуется «найти первообразную», отсутствие $C$ — неполный ответ. На ЕГЭ это ошибка.

Когда C исчезает: определённый интеграл и задача Коши

В определённом интеграле $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ константа $C$ сокращается: $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$. Поэтому при вычислении площади криволинейной трапеции $C$ не нужна.
В задаче Коши константа $C$ определяется из начального условия.

Пример: найти первообразную при начальном условии $F(0) = 2$

$\int 2x\,dx = x^2 + C$
Условие: $F(0) = 0^2 + C = 2 \Rightarrow C = 2$
Ответ: $\mathbf{F(x) = x^2 + 2}$

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

1. $\displaystyle\int 0\,dx = C$

2. $\displaystyle\int dx = \int 1\cdot dx = x + C$

3. $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,$

   $n \neq -1,\; x > 0$

4. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$

5. $\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$

6. $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$

7. $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

8. $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$

9. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + C$

10. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\cos^2 x} = \tg x + C$

11. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\dfrac{x}{a} + C, \quad |x| < |a|$

12. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a}\arctg\dfrac{x}{a} + C$

13. «Высокий» логарифм: $\displaystyle\int \dfrac{dx}{a^2 - x^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right| + C, \quad |x| \neq a$

14. «Длинный» логарифм: $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C$

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

   $\left(\displaystyle\int f(x)\,dx\right)' = f(x)$

   $d\displaystyle\int f(x)\,dx = f(x)\,dx$

2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

   $\displaystyle\int d(F(x)) = F(x) + C$

3. Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если $k = \text{const} \neq 0$, то $\displaystyle\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$.

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

   $\displaystyle\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

Расширенная таблица первообразных с примерами применения

Ниже — компактная справочная таблица. Она покрывает 90% задач школьного и вузовского курсов. Знание этих формул наизусть — обязательное условие для успешного прохождения профильного ЕГЭ и ДВИ.

$f(x)$ — подынтегральная функция	$F(x)$ — первообразная	Пример применения
Степенные функции
$x^n,\; n \neq -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$\int x^3\,dx = \dfrac{x^4}{4} + C$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\dfrac{2}{3} x^{3/2} + C$	$\int \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3} x^{3/2} + C$
$\dfrac{1}{x} = x^{-1}$	$\ln|x| + C$	$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
$1$	$x + C$	$\int 5\,dx = 5x + C$
Тригонометрические функции
$\sin x$	$-\cos x + C$	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$	$\tg x + C$	$\int \dfrac{dx}{\cos^2 x} = \tg x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$	$-\ctg x + C$	$\int \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + C$
Обратные тригонометрические функции
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$	$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$
$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x + C$	$\int \dfrac{-dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arccos x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctg x + C$	$\int \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctg x + C$
Показательные и логарифмические функции
$e^x$	$e^x + C$	$\int e^x\,dx = e^x + C$
$a^x,\; a > 0,\; a \neq 1$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$	$\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$
$\ln x$	$x \ln x - x + C$	$\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C$

Как пользоваться таблицей: три типичные ошибки

1. Ошибка знаменателя при степенной функции. Формула $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ требует прибавить 1 к показателю и поставить его в знаменатель. Частая ошибка: $\int x^3\,dx = x^4/3$ (делят на старый показатель). Правильно: $x^4/4$.
2. Знак у тригонометрических функций. Первообразная $\sin x$ — это «минус косинус», а не «плюс косинус». Запомните: интегрирование $\sin$ даёт $-\cos$, дифференцирование $\sin$ даёт $+\cos$.
3. Применение формулы $x^n$ при $n = -1$. При $n = -1$ формула $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ даёт деление на ноль. Исключение: $\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$. Это особый случай, который надо знать отдельно.

Правило 1: вынесение константы за знак интеграла

Формула: $\int k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int f(x)\,dx$

Пример: $\int 5x^2\,dx = 5 \cdot \int x^2\,dx = 5 \cdot \dfrac{x^3}{3} + C = \dfrac{5x^3}{3} + C$

Константу можно выносить за знак интеграла только если она не зависит от переменной интегрирования.

Правило 2: интеграл суммы равен сумме интегралов

Формула: $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

Пример: $\int (x^2 + \cos x)\,dx = \int x^2\,dx + \int \cos x\,dx = \dfrac{x^3}{3} + \sin x + C$

Правило 3: линейность неопределённого интеграла (обобщение)

Формула: $\int [\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)]\,dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx$

Это объединение двух предыдущих правил. Линейность интеграла позволяет разбивать любую сумму на отдельные табличные интегралы.

Правило 4: связь с дифференцированием (формула проверки)

Формула: $(F(x) + C)' = f(x)$

Если вы нашли первообразную, продифференцируйте её. Результат должен совпасть с подынтегральной функцией. Это единственный надёжный способ проверки.

Как выбрать метод: навигатор по методам интегрирования

Прежде чем приступать к решению, определите тип подынтегральной функции. Таблица ниже — ваш алгоритм принятия решения.

Что вижу в подынтегральной функции	Метод
Стандартная функция из таблицы ($x^n$, $\sin x$, $e^x$ и т.д.)	Прямое интегрирование по таблице
Сложная функция вида $f(g(x)) \cdot g'(x)$ — «функция и её производная рядом»	Замена переменной (подстановка)
Произведение многочлена и трансцендентной функции ($\ln$, $\arcsin$, $e^x$, $\sin/\cos$)	Интегрирование по частям
Дробь $P(x)/Q(x)$, где степень числителя < степени знаменателя	Разложение на простейшие дроби
Тригонометрические выражения ($\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\sin x \cdot \cos x$ и т.д.)	Тригонометрические формулы / понижение степени
Иррациональность вида $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2+a^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$	Тригонометрическая или гиперболическая подстановка

Методы вычисления первообразной: пошаговые разборы

Прямое интегрирование (табличные интегралы)

Когда применяется: подынтегральная функция совпадает с табличной формой или сводится к ней простыми алгебраическими преобразованиями.

Алгоритм (3 шага):

1. Привести подынтегральное выражение к табличному виду (вынести константы, разбить сумму).
2. Применить соответствующую формулу из таблицы первообразных.
3. Добавить константу $C$ к каждому слагаемому (или одну общую $C$ к результату).

Пример 1 (простой): $\int (3x^2 + 5)\,dx$

$= 3 \int x^2\,dx + 5\int dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 5x + C = \mathbf{x^3 + 5x + C}$

Пример 2 (средний): $\int \left(\dfrac{2}{x} + \sqrt{x}\right)dx$

$= 2\int \dfrac{dx}{x} + \int x^{1/2}\,dx = 2\ln|x| + \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \mathbf{2\ln|x| + \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C}$

Типичные ошибки: забыть «$+ C$»; при $\int x^{1/2}\,dx$ поставить в знаменатель $1/2$ вместо $3/2$; при $\int (1/x)\,dx$ написать $x^0/0$ вместо $\ln|x|$.

---

Метод подстановки (замена переменной)

Когда применяется: в подынтегральной функции «скрыта» сложная функция и рядом стоит её производная (с точностью до константы).

Алгоритм (5 шагов):

1. Выбрать подстановку: обозначить внутреннюю сложную функцию как $t = g(x)$.
2. Найти дифференциал: $dt = g'(x)\,dx$, откуда $dx = dt/g'(x)$.
3. Заменить все вхождения $x$ и $dx$ через $t$ и $dt$.
4. Проинтегрировать по переменной $t$ (обычно табличный интеграл).
5. Вернуться к исходной переменной $x$, подставив обратно $t = g(x)$.

Пример 1 (простой): $\int \sin(3x)\,dx$

Пусть $t = 3x$, тогда $dt = 3\,dx \Rightarrow dx = dt/3$.
$\int \sin t \cdot \dfrac{dt}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot (-\cos t) + C = \mathbf{-\dfrac{1}{3}\cos(3x) + C}$

Пример 2 (средний): $\int x \cdot e^{x^2}\,dx$

Пусть $t = x^2$, тогда $dt = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = dt/2$.
$\int e^t \cdot \dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} e^t + C = \mathbf{\dfrac{1}{2} e^{x^2} + C}$

Пример 3 (сложнее): $\int \tg x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$

Пусть $t = \cos x$, тогда $dt = -\sin x\,dx \Rightarrow \sin x\,dx = -dt$.
$\int \dfrac{-dt}{t} = -\ln|t| + C = \mathbf{-\ln|\cos x| + C}$

Типичные ошибки: не выразить $dx$ через $dt$ полностью; оставить в ответе переменную $t$ без обратной замены; неверно выбрать подстановку.

---

Интегрирование по частям

Когда применяется: подынтегральная функция является произведением двух функций разной природы — например, многочлена и показательной, многочлена и тригонометрической, или логарифма и степенной.

Формула: $\int u\,dv = u \cdot v - \int v\,du$

Мнемоника выбора $u$ (правило «ЛАТЕ»):

• Л — Логарифмы ($\ln x$, $\log x$)
• А — Арктригонометрические функции ($\arcsin$, $\arctg$ и т.д.)
• Т — алгебраические (степенные) функции и многочлены
• Е — Экспонента и тригонометрические функции

Функцию, стоящую левее в списке, берут за $u$. Остаток — это $dv$.

Пример 1 (простой): $\int x \cdot e^x\,dx$

$u = x,\; dv = e^x\,dx \Rightarrow du = dx,\; v = e^x$
$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = \mathbf{e^x(x-1) + C}$

Пример 2 (средний): $\int x \cos x\,dx$

$u = x,\; dv = \cos x\,dx \Rightarrow du = dx,\; v = \sin x$
$= x \sin x - \int \sin x\,dx = x \sin x + \cos x + C = \mathbf{x \sin x + \cos x + C}$

Пример 3 (повторное применение): $\int x^2 e^x\,dx$

$u = x^2,\; dv = e^x\,dx \Rightarrow du = 2x\,dx,\; v = e^x$
$= x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$
Снова по частям: $\int 2x e^x\,dx = 2(x e^x - e^x)$
Итого: $\mathbf{e^x(x^2 - 2x + 2) + C}$

Типичные ошибки: взять $e^x$ за $u$ вместо многочлена; потерять знак минус перед интегралом; не применить формулу повторно при $x^2$.

---

Интегрирование рациональных функций (разложение на простейшие дроби)

Когда применяется: подынтегральная функция — дробь $P(x)/Q(x)$, где степень числителя строго меньше степени знаменателя, и знаменатель раскладывается на множители.

Алгоритм (5 шагов):

1. Убедиться, что степень числителя меньше степени знаменателя (иначе — деление с остатком).
2. Разложить знаменатель $Q(x)$ на неприводимые множители.
3. Записать дробную форму: представить $P(x)/Q(x)$ как сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами $A,\,B,\,C\ldots$
4. Найти коэффициенты методом сравнения или подстановки удобных значений $x$.
5. Проинтегрировать каждую простейшую дробь (обычно сводится к $\ln$ или $\arctg$).

Пример 1 (простой): $\int \dfrac{dx}{x^2-1} = \int \dfrac{dx}{(x-1)(x+1)}$

$\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$
При $x=1$: $A = 1/2$. При $x=-1$: $B = -1/2$.
$= \mathbf{\dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C}$

Пример 2 (средний): $\int \dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\,dx$

$\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x+2}$
При $x=-1$: $A=1$. При $x=-2$: $B=1$.
$= \mathbf{\ln|x+1| + \ln|x+2| + C}$

Типичные ошибки: не разложить знаменатель полностью; потерять слагаемое при нахождении коэффициентов; применить формулу к несобственной дроби.

---

Тригонометрические подстановки и формулы

Когда применяется: подынтегральное выражение содержит иррациональность, связанную с суммой или разностью квадратов.

Вид выражения	Подстановка	Результат
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x = a\sin t$	$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$
$\sqrt{x^2+a^2}$	$x = a\tg t$	$\sqrt{x^2+a^2} = a/\cos t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x = a/\cos t$	$\sqrt{x^2-a^2} = a\tg t$
Универсальная: $R(\sin x, \cos x)$	$t = \tg(x/2)$	$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2},\; \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

Понижение степени:

• $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
• $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$

Пример: $\int \sin^2 x\,dx = \int \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C = \mathbf{\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C}$

Пример: $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$
Пусть $x = \sin t$, $dx = \cos t\,dt$, $\sqrt{1-x^2} = \cos t$.
$\int \cos^2 t\,dt = \int \dfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \dfrac{t}{2} + \dfrac{\sin 2t}{4} + C$
Возврат к $x$: $t = \arcsin x$, $\sin 2t = 2x\sqrt{1-x^2}$
Ответ: $\mathbf{\dfrac{1}{2}\arcsin x + \dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + C}$

Правила дифференцирования и интегрирования: связь и различия

Функция	Производная (дифференцирование)	Первообразная (интегрирование)
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$e^x$	$e^x$	$e^x + C$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x \ln x - x + C$
$\arctg x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$x \arctg x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

Как использовать дифференцирование для проверки первообразной

Алгоритм проверки: продифференцируйте полученный результат $F(x) + C$. Если $F'(x) = f(x)$ (подынтегральная функция), первообразная найдена верно. Это занимает 20–30 секунд и полностью исключает арифметические ошибки.

Пример проверки:
Нашли: $\int (3x^2 + 2)\,dx = x^3 + 2x + C$
Проверяем: $(x^3 + 2x + C)' = 3x^2 + 2$ ✓ — совпадает с подынтегральной функцией.

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции $x^2 + \sqrt{x} + 3x$.

1. Записываем неопределённый интеграл:

   $\displaystyle\int (x^2 + \sqrt{x} + 3x)\,dx$

2. Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:

   $\displaystyle\int (x^2 + \sqrt{x} + 3x)\,dx = \int x^2\,dx + \int \sqrt{x}\,dx + \int 3x\,dx$

3. Выносим константы за знак интеграла:

   $\displaystyle\int (x^2 + \sqrt{x} + 3x)\,dx = \int x^2\,dx + \int \sqrt{x}\,dx + 3\int x\,dx$

4. Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

   $\displaystyle\int (x^2 + \sqrt{x} + 3x)\,dx = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + \dfrac{3}{2}x^2 + C$

Задание 2

Вычисли неопределённый интеграл $\displaystyle\int x(x+9)^2\,dx$.

1. Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим $x$ в скобку:

   $\displaystyle\int x(x+9)^2\,dx = \int x(x^2 + 18x + 81)\,dx = \int (x^3 + 18x^2 + 81x)\,dx$

2. Воспользуемся свойством неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

   $\displaystyle\int x(x+9)^2\,dx = \int x^3\,dx + 18\int x^2\,dx + 81\int x\,dx = \dfrac{1}{4}x^4 + 6x^3 + 40{,}5x^2 + C$

Проверь себя: задачи с разбором

Уровень 1 — базовый (прямое интегрирование)

Задача 1. $\int (4x^3 - 2x + 7)\,dx$

Подсказка

Используйте линейность интеграла и формулу для степенной функции.

Решение и ответ

$= 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 7x + C = \mathbf{x^4 - x^2 + 7x + C}$

Задача 2. $\int \left(\dfrac{1}{x^2} + \sqrt[3]{x}\right)dx$

Подсказка

Запишите $1/x^2 = x^{-2}$, $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и примените степенную формулу.

Решение и ответ

$= \int x^{-2}\,dx + \int x^{1/3}\,dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} + \dfrac{x^{4/3}}{4/3} + C = \mathbf{-\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{4}x^{4/3} + C}$

Уровень 2 — средний (подстановка и по частям)

Задача 3. $\int \cos(5x)\,dx$

Подсказка

Замена $t = 5x$, $dt = 5\,dx \Rightarrow dx = dt/5$.

Решение и ответ

$= \dfrac{1}{5}\sin(5x) + C$

Задача 4. $\int x \ln x\,dx$

Подсказка

Интегрирование по частям. По правилу ЛАТЕ: $u = \ln x$ (логарифм стоит левее), $dv = x\,dx$.

Решение и ответ

Обозначим $I = \int e^{2x} \sin x\,dx$.
$u = \sin x,\; dv = e^{2x}\,dx \Rightarrow v = e^{2x}/2$
$I = \dfrac{e^{2x}}{2} \sin x - \dfrac{1}{2}\int e^{2x} \cos x\,dx$
Снова по частям: $u = \cos x,\; dv = e^{2x}\,dx$
$\int e^{2x} \cos x\,dx = \dfrac{e^{2x}}{2} \cos x + \dfrac{1}{2} I$
$I = \dfrac{e^{2x}}{2} \sin x - \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\cos x + \dfrac{I}{2}\right]$
$I + \dfrac{I}{4} = \dfrac{e^{2x}}{2}\sin x - \dfrac{e^{2x}}{4}\cos x$
$\mathbf{I = \dfrac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C}$

Уровень 3 — сложный (комбинированные методы)

Задача 6. $\int \dfrac{x^2}{x^2+1}\,dx$

Подсказка

Выделите целую часть: $\dfrac{x^2}{x^2+1} = 1 - \dfrac{1}{x^2+1}$.

Решение и ответ

$= \int\left[1 - \dfrac{1}{x^2+1}\right]dx = x - \arctg x + C$

Задача 7. $\int \dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$

Подсказка

Разложите на простейшие дроби: $\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$.

Решение и ответ

$3x+1 = A(x+2) + B(x-1)$
При $x=1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$. При $x=-2$: $-5 = -3B \Rightarrow B = 5/3$.
$= \dfrac{4}{3}\ln|x-1| + \dfrac{5}{3}\ln|x+2| + C$

Задача 8. $\int \sin^2 x \cos x\,dx$

Подсказка

Подстановка $t = \sin x$, $dt = \cos x\,dx$.

Решение и ответ

$= \int t^2\,dt = \dfrac{t^3}{3} + C = \mathbf{\dfrac{\sin^3 x}{3} + C}$

Типичные ошибки при вычислении первообразной

Ошибка	Почему возникает	Как исправить
Забытая константа $C$	Механическое применение формул без понимания смысла	Выработать автоматизм: каждый неопределённый интеграл заканчивается «$+ C$»
Неверный знаменатель степени: $\int x^3\,dx = x^4/3$	Деление на старый показатель вместо нового $(n+1)$	Всегда сначала прибавляете 1 к показателю, потом ставите результат в знаменатель
Неверный знак у тригонометрических функций	Путаница с таблицами дифференцирования и интегрирования	Помнить: $\int \sin x\,dx = -\cos x$, а $(\sin x)' = \cos x$ — знаки разные
Неполный возврат к исходной переменной после подстановки	Торопливость при завершении решения	Всегда записывать финальный шаг: «возвращаю $t = \ldots$» и подставлять явно
Потеря $dx$ при замене переменной	Непонимание природы дифференциала как математического объекта	Помнить: $dx$ — не «хвостик», а дифференциал; при $t = g(x)$ обязательно $dx = dt/g'(x)$
Неверный выбор $u$ и $dv$ при интегрировании по частям	Игнорирование правила ЛАТЕ	Применять мнемонику: в роли $u$ — функция, стоящая левее в «ЛАТЕ»
Потеря множителя при выносе константы	$\int 3f(x)\,dx$ записывают как $3f(x)$ без знака интеграла	Вынесенная константа стоит перед знаком интеграла, а не перед функцией
Деление на 0 при $n = -1$	Применение формулы $x^{n+1}/(n+1)$ без проверки исключения	При $n = -1$ формула не работает; $\int (1/x)\,dx = \ln|x| + C$ — особый случай

Частые вопросы о первообразной и интегрировании

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.