Таблица производных функций — формулы и примеры

Если ты готовишься к ЕГЭ по профильной математике и хочешь не просто выучить формулы, а научиться применять их в заданиях любого уровня сложности — начни подготовку к ЕГЭ по профильной математике от Skysmart: там собраны разборы типовых задач, интерактивные тренажёры и персональная обратная связь от преподавателей.

---

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

$y = 10$

$y' = 0$

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

$y = 10 + 3x$

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных $(c \cdot f(x))' = c f'(x)$ и $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

$y = 10 + 3x$

$y' = 0 + 3$

$y' = 3$

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

---

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Константа и степенная функция

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Область определения
$C$ (константа)	$0$	$(-\infty;\,+\infty)$
$x$	$1$	$(-\infty;\,+\infty)$
$x^n$ ($n \in \mathbb{R}$)	$n \cdot x^{n-1}$	$x \neq 0$ при $n < 1$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$x \neq 0$

Показательная и логарифмическая функция

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Область определения
$e^x$	$e^x$	$(-\infty;\,+\infty)$
$a^x$ ($a > 0,\; a \neq 1$)	$a^x \cdot \ln a$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_a x$ ($a > 0,\; a \neq 1$)	$\dfrac{1}{x \cdot \ln a}$	$x > 0$

Тригонометрические функции

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Область определения
$\sin x$	$\cos x$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\cos x$	$-\sin x$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\tg x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$
$\ctg x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$x \neq \pi n$

Обратные тригонометрические функции

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Область определения
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$|x| < 1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$|x| < 1$
$\arctg x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\arcctg x$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$	$(-\infty;\,+\infty)$

Гиперболические функции

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Область определения
$\sh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$	$\ch x$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\ch x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$	$\sh x$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\th x$	$\dfrac{1}{\ch^2 x}$	$(-\infty;\,+\infty)$
$\cth x$	$-\dfrac{1}{\sh^2 x}$	$x \neq 0$

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Как пользоваться таблицей производных: пошаговая инструкция

Знать формулу и уметь её применить — разные навыки. Следуй этому алгоритму при решении любой задачи на дифференцирование.

Шаг 1 — Определи тип функции

Посмотри на функцию и задай себе вопрос: что это? Полином — значит степенная функция. Есть $\sin$, $\cos$ — тригонометрия. Есть $\ln$ или $\log$ — логарифмическая. Есть $e^x$ или $2^x$ — показательная.

Пример: $f(x) = 3x^4$ — это степенная функция с коэффициентом.

Шаг 2 — Найди соответствующую строку в таблице

После определения типа открываешь нужный раздел таблицы. Не пытайся держать все формулы в голове одновременно — работай с таблицей как с инструментом.

Пример: Для $3x^4$ находим строку $x^n \to$ производная $n \cdot x^{n-1}$.

Шаг 3 — Подставь свои значения по шаблону

Подставляй конкретные числа вместо общих переменных. $n = 4$, коэффициент $= 3$.

Пример: $(3x^4)' = 3 \cdot 4 \cdot x^{4-1} = 12x^3$.

Шаг 4 — Проверь область определения

Это обязательный шаг, особенно для логарифмических и дробно-рациональных функций. По требованиям критериев ЕГЭ 2026 при дифференцировании логарифмических и дробно-рациональных функций обязательно нужно указывать область определения до применения формулы производной.

Пример: Для $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ сначала пишем: $x^2 - 1 > 0$, то есть $x \in (-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$ — и только потом дифференцируем.

---

Общие правила дифференцирования

Таблица формул работает только вместе с правилами дифференцирования. Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

$(c \cdot f)' = c \cdot f'$

$(u + v)' = u' + v'$

$(u - v)' = u' - v'$

$(u \cdot v)' = u'v + v'u$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}$

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции $y = 5 \cdot x^3$.

$y' = (5 \cdot x^3)'$

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

$y' = (5 \cdot x^3)' = 5 \cdot (x^3)' = 5 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 15x^2$

Правило	Формула	Пример
Производная константы	$(C)' = 0$	$(7)' = 0$
Вынесение константы	$(C \cdot f)' = C \cdot f'$	$(5\sin x)' = 5\cos x$
Производная суммы	$(f + g)' = f' + g'$	$(x^2 + \sin x)' = 2x + \cos x$
Производная разности	$(f - g)' = f' - g'$	$(x^3 - \ln x)' = 3x^2 - \dfrac{1}{x}$
Производная произведения	$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$	$(x \cdot \sin x)' = \sin x + x \cdot \cos x$
Производная частного	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$	$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$
Цепное правило (сложная функция)	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	$(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3$

---

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: $y = (3 + 2x^2)^4$?

• $\sin(3x)$ — сложная: внешняя $\sin$, внутренняя $3x$
• $\sin(x)$ — простая: внешняя $\sin$, аргумент просто $x$
• $e^{x^2}$ — сложная: внешняя $e^x$, внутренняя $x^2$
• $\ln(x^2 + 1)$ — сложная: внешняя $\ln$, внутренняя $x^2 + 1$

Формула цепного правила

Порядок действий: сначала берёшь производную внешней функции (не трогая внутреннюю), затем умножаешь на производную внутренней функции.

Схема выбора: цепное правило или правило произведения?

Ситуация	Применяемое правило	Пример
Одна функция «внутри» другой	Цепное правило	$\sin(x^2)$
Два множителя, каждый зависит от $x$	Правило произведения	$x \cdot \sin(x)$
Оба: произведение, где один множитель — сложная функция	Правило произведения + цепное правило	$x^2 \cdot \sin(3x)$

Пример 1

Найдем производную функции $y(x) = (3 + 2x^2)^4$.

Заменим $3 + 2x^2$ на $u$ и тогда получим $y = u^4$.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

$y' = y'_u \cdot u'_x = 4u^3 \cdot u'_x$

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

$4u^3 \cdot u'_x = 4(3 + 2x^2)^3 \cdot (3 + 2x^2)' = 16(3 + 2x^2)^3 \cdot x$

Пример 2

Найдем производную для функции $y = (x^3 + 4) \cos x$.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой $(UV)' = U'V + V'U$.

$y' = (x^3 + 4)' \cdot \cos x + (x^3 + 4) \cdot (\cos x)' = 3x^2 \cdot \cos x + (x^3 + 4) \cdot (-\sin x) = 3x^2 \cdot \cos x - (x^3 + 4) \cdot \sin x$

Пример 3

1. Внешняя функция: $\sin(u)$, где $u = 3x$
2. Производная внешней: $\cos(u) = \cos(3x)$
3. Производная внутренней: $(3x)' = 3$
4. Результат: $\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

Пример 4

1. Внешняя функция: $e^u$, где $u = x^2$
2. Производная внешней: $e^u = e^{x^2}$
3. Производная внутренней: $(x^2)' = 2x$
4. Результат: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}$

Пример 5

1. Применяем правило произведения: $f = x$, $g = e^{x^2}$
2. $f' = 1$
3. $g' = 2x \cdot e^{x^2}$ (цепное правило из примера 4)
4. Результат: $1 \cdot e^{x^2} + x \cdot 2x \cdot e^{x^2} = e^{x^2}(1 + 2x^2)$

---

Разбор примеров: от простого к сложному

Базовый уровень

Пример 1 — Производная полинома: $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5$

1. Применяем линейность: дифференцируем каждое слагаемое отдельно
2. $(4x^3)' = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2$
3. $(-2x^2)' = -2 \cdot 2 \cdot x = -4x$
4. $(7x)' = 7$
5. $(-5)' = 0$
6. Ответ: $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$

Пример 2 — Производная тригонометрической функции: $f(x) = 3\sin x - \cos x$

1. $(3\sin x)' = 3\cos x$ (вынесение константы)
2. $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$
3. Ответ: $f'(x) = 3\cos x + \sin x$

Средний уровень

Пример 3 — Производная логарифмической функции: $f(x) = \ln(x^2 + 3)$

1. Область определения: $x^2 + 3 > 0$ — выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$
2. Внешняя функция: $\ln(u)$, внутренняя: $u = x^2 + 3$
3. Производная внешней: $\dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{x^2 + 3}$
4. Производная внутренней: $(x^2 + 3)' = 2x$
5. Ответ: $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 3}$

Пример 4 — Производная произведения: $f(x) = x^2 \cdot \cos x$

1. Правило произведения: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
2. $f = x^2$, $f' = 2x$
3. $g = \cos x$, $g' = -\sin x$
4. Ответ: $f'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x$

Продвинутый уровень

Пример 5 — Производная сложной составной функции: $f(x) = \sin^2(3x)$

1. Перепишем: $f(x) = (\sin(3x))^2$
2. Три слоя вложенности: внешняя $u^2$, средняя $\sin(v)$, внутренняя $v = 3x$
3. Производная внешней: $2\sin(3x)$
4. Производная средней: $\cos(3x)$
5. Производная внутренней: $3$
6. Ответ: $f'(x) = 2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$

Пример 6 — Комбинация нескольких правил: $f(x) = \dfrac{x^2 \cdot e^x}{\sin x}$

1. Применяем правило частного: числитель $p = x^2 \cdot e^x$, знаменатель $q = \sin x$
2. $p' = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2)$
3. $q' = \cos x$
4. Ответ: $f'(x) = \dfrac{e^x(2x + x^2)\sin x - x^2 e^x \cos x}{\sin^2 x}$

---

Частые ошибки при дифференцировании

Ошибка	Неверная запись	Правильная запись	Причина ошибки
Забытый множитель в цепном правиле	$(\sin(3x))' = \cos(3x)$	$(\sin(3x))' = 3\cos(3x)$	Забыли умножить на производную внутренней функции
Производная произведения как произведение производных	$(x\sin x)' = 1\cdot\cos x$	$(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$	Подмена правила произведения неверной «аналогией»
Неверная область определения для $\ln$	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ при $x \in \mathbb{R}$	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ при $x > 0$	Игнорирование ОДЗ логарифма
Знак у производной $\arccos$	$(\arccos x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Путаница с $\arcsin$: знаки у них разные
Дифференцирование константы	$(5)' = 5$ или $(5)' = 1$	$(5)' = 0$	Попытка применить формулу $x^n$ к числу
Ошибка в правиле частного: знак	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g + fg'}{g^2}$	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$	Перепутаны «$+$» и «$-$» в числителе

---

Доказательства формул производных

Этот раздел предназначен для углублённого изучения — для учащихся профильных классов, студентов и преподавателей. Каждое доказательство строится через предел отношения приращений.

Доказательство производной степенной функции $x^n$

По определению производной:

f'(x) = lim[Δx→0] [(x + Δx)ⁿ - xⁿ] / Δx

Раскладываем $(x + \Delta x)^n$ по формуле бинома Ньютона. При $\Delta x \to 0$ остаётся только первый член: $n \cdot x^{n-1} \cdot \Delta x$. Делим на $\Delta x$ и переходим к пределу: $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

Доказательство производной $e^x$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$$

Из второго замечательного предела: $\lim_{t \to 0} \dfrac{e^t - 1}{t} = 1$. Следовательно, $f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$.

Доказательство производной $\ln x$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\!\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)$$

Обозначим $t = \Delta x / x \to 0$. Тогда: $\dfrac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t} = \dfrac{1}{x} \cdot 1 = \dfrac{1}{x}$, используя первый замечательный предел для логарифма.

Доказательство производной $\sin x$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}$$

Применяем формулу разности синусов: $\sin(x+\Delta x) - \sin x = 2\cos\!\left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right)\sin\!\dfrac{\Delta x}{2}$. При $\Delta x \to 0$ используем первый замечательный предел $\dfrac{\sin t}{t} \to 1$: $f'(x) = \cos x$.

Доказательство производной $\arcsin x$

Используем теорему о производной обратной функции. Если $y = \arcsin x$, то $x = \sin y$, $\dfrac{dx}{dy} = \cos y$. Тогда $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ при $|x| < 1$.

Доказательство производных гиперболических функций

$$\sh'(x) = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \ch x$$

$$\ch'(x) = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)' = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sh x$$

---

Расширенная таблица производных с примерами и условиями применения

Степенные и полиномиальные функции

Функция	Производная	Область применения	Пример
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$, $x \neq 0$ при $n < 1$	$(x^5)' = 5x^4$
$x^{1/2} = \sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$	$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$x^{-1} = \dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$x \neq 0$	$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
$x^{p/q}$	$\dfrac{p}{q} \cdot x^{p/q - 1}$	$x > 0$	$(x^{2/3})' = \dfrac{2}{3} x^{-1/3}$

Показательные функции

Функция	Производная	Область применения	Пример
$e^x$	$e^x$	$x \in \mathbb{R}$	$(e^{2x})' = 2e^{2x}$
$a^x$	$a^x \cdot \ln a$	$a > 0$, $a \neq 1$, $x \in \mathbb{R}$	$(3^x)' = 3^x \cdot \ln 3$
$e^{f(x)}$	$e^{f(x)} \cdot f'(x)$	$f(x)$ — дифференцируемая	$(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$

Логарифмические функции

Функция	Производная	Область применения	Пример
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$	$(\ln(5x))' = \dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln a}$	$x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$	$(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln 2}$
$\ln(f(x))$	$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$	$f(x) > 0$	$(\ln(x^2+1))' = \dfrac{2x}{x^2+1}$

---

---

Как применять таблицу производных на экзамене

На ЕГЭ по профильной математике время строго ограничено. Работай по чёткому алгоритму — это снижает количество ошибок и экономит время.

Алгоритм за 4 шага

1. Определи тип: выпиши функцию, определи, к какой категории она относится (полином, тригонометрия, показательная, логарифм, комбинация)
2. Найди правило: если функция простая — используй таблицу напрямую; если составная — определи, нужно ли цепное правило, правило произведения или частного
3. Примени: подставляй аккуратно, записывай промежуточные шаги — проверяющий оценивает ход решения, а не только ответ
4. Проверь: убедись, что указана область определения для логарифмических и дробных выражений; проверь знаки в обратных тригонометрических функциях

Что делать, если функция не похожа ни на одну из таблицы

• Попробуй упростить: вынеси константу, раскрой скобки, преобразуй корень в степень ($\sqrt{x} = x^{1/2}$)
• Разбей сложное выражение на множители или слагаемые
• Определи «слои» вложенности и применяй цепное правило последовательно

Как быстро определить, нужно ли цепное правило

Задай себе один вопрос: аргументом функции является просто $x$ или сложное выражение?

• $\sin(x)$ — аргумент $x$ → цепное правило не нужно
• $\sin(2x + 1)$ — аргумент $2x+1$ → цепное правило обязательно
• $e^{x^3 - x}$ — аргумент $x^3-x$ → цепное правило обязательно

Типовые задачи ЕГЭ и соответствующие формулы

Тип задачи ЕГЭ	Что нужно уметь	Ключевые формулы
Нахождение точек экстремума	Найти $f'(x) = 0$, определить знак производной слева и справа от корня	Степенные, логарифмические, тригонометрические
Исследование функции на монотонность	Определить знак $f'(x)$ на интервалах: $f'(x) > 0$ — возрастание, $f'(x) < 0$ — убывание	Все основные формулы + правило произведения
Уравнение касательной	Найти $f'(x_0)$ — угловой коэффициент: $k = f'(x_0) = \tg\,\alpha$; уравнение $y = f(x_0) + k(x - x_0)$	Цепное правило, степенные функции
Задачи с параметром	Производная с параметром как константой	Все правила дифференцирования

---

---

---

Частые вопросы о производных функций