Показательные неравенства — решение и примеры для ЕГЭ

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

---

Определение показательных неравенств

Обязательные условия на основание:

• $a > 0$ (основание строго положительно)
• $a \neq 1$ (основание не равно единице, иначе функция вырождается в константу)

Разберём отличия пказательных неравенств от показательных уравнений в таблице ниже.

Критерий	Показательное уравнение	Показательное неравенство
Знак сравнения	=	<, >, ≤, ≥
Тип ответа	Конечный набор точек	Промежуток или объединение промежутков
Влияние основания на ответ	Не влияет на логику перехода	Критически влияет: при $0 < a < 1$ знак меняется
Запись ответа	$x = c_1,\ x = c_2, \ldots$	$x \in (a;\ b)$, $x \in (-\infty;\ c)$, …

Прежде чем браться за тему показательных неравенств, стоит повторить:

• показательные уравнения;
• метод интервалов;
• разложение многочлена на множители;
• свойства степенной функции.

И, конечно, для решения смешанных неравенств, включающих в себя тригонометрические и логарифмические, также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а положительно, но не равно единице. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения функции всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число (большее нуля) во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: $2^{-2} = \tfrac{1}{4}$, $2^{-4} = \tfrac{1}{16}$ и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых $a$ и $x$ при $(0 < a \neq 1)$ верно неравенство $a^x > 0$, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Представьте, что возрастающая функция — это лифт, едущий вверх. Если вход больше, то и выход больше: знак не меняется. Убывающая функция — лифт, едущий вниз: больший вход даёт меньший выход, поэтому знак переворачивается. Теперь — к формулам.

Случай 1: основание $a > 1$ — знак неравенства сохраняется

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ возрастает: чем больше $x$, тем больше $a^x$. Поэтому:

$$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x), \quad \text{если } a > 1$$

Мини-пример: $2^x > 2^3 \Rightarrow x > 3$. Ответ: $x \in (3;\ +\infty)$.

Случай 2: основание $0 < a < 1$ — знак неравенства меняется

Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ убывает: чем больше $x$, тем меньше $a^x$. Монотонность убывающей функции переворачивает знак неравенства:

$$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x), \quad \text{если } 0 < a < 1$$

Мини-пример: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x > \left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \Rightarrow x < 4$. Ответ: $x \in (-\infty;\ 4)$.

Сводная таблица двух случаев

Условие на основание	Монотонность функции	Переход $a^{f(x)} > a^{g(x)}$	Переход $a^{f(x)} < a^{g(x)}$
$a > 1$	Возрастающая ↑	$f(x) > g(x)$	$f(x) < g(x)$
$0 < a < 1$	Убывающая ↓	$f(x) < g(x)$	$f(x) > g(x)$

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости…

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

$3^x > 9$

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

$3^x > 3^2$

$x > 2$

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

$0{,}5^x > 0{,}5^2$

Проверим, верно ли в таком случае $x > 2$.

$0{,}5^2 = 0{,}25$;

$0{,}5^3 = 0{,}125$ и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае $x < 2$. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. 😎

Простейшее показательное неравенство имеет вид $a^x > b$, $a^x < b$, $a^x \geq b$, $a^x \leq b$, где $b$ — число или выражение, допускающее представление в виде степени $a^n$.

Пошаговый алгоритм решения

1. Определить основание $a$, проверить: $a > 0$, $a \neq 1$.
2. Представить правую часть $b$ в виде $a^n$.
3. Записать неравенство вида $a^x\ \square\ a^n$.
4. Если $a > 1$ — сравнить показатели, сохранив знак.
5. Если $0 < a < 1$ — сравнить показатели, изменив знак.
6. Записать ответ в виде промежутка.

Как правильно оформить ответ в виде промежутка

Вид неравенства	Тип скобки	Пример записи
$x > c$ (строгое)	Круглая скобка	$x \in (c;\ +\infty)$
$x \geq c$ (нестрогое)	Квадратная скобка	$x \in [c;\ +\infty)$
$x < c$ (строгое)	Круглая скобка	$x \in (-\infty;\ c)$
$x \leq c$ (нестрогое)	Квадратная скобка	$x \in (-\infty;\ c]$

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

$3^x < 243$

$3^x < 3^5$

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty;\ 5)$.

Пример 2

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \sqrt{8}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 2^{\frac{3}{2}}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$

$x < -\dfrac{3}{2}$, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку $\dfrac{1}{2} < 1$.

Ответ: $x \in \left(-\infty;\ -\dfrac{3}{2}\right)$.

Пример 3

$2^x > 8$

$2^x > 2^3$ ← представляем $8 = 2^3$

$x > 3$ ← $a = 2 > 1$, знак сохраняется

Ответ: $x \in (3;\ +\infty)$

Пример 4

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < 9$

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$ ← так как $9 = 3^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$

$x > -2$ ← $a = \dfrac{1}{3}$, $0 < a < 1$, знак МЕНЯЕТСЯ

Ответ: $x \in (-2;\ +\infty)$

Пример 5

$4^x > 8^{x-1}$

$(2^2)^x > (2^3)^{x-1}$ ← $4 = 2^2$, $8 = 2^3$

$2^{2x} > 2^{3(x-1)}$

$2^{2x} > 2^{3x-3}$

Основание $2 > 1$ → знак сохраняется:

$2x > 3x - 3$

$-x > -3$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty;\ 3)$

Пример 6:

$9^x \leq 27^{x+2}$

$(3^2)^x \leq (3^3)^{x+2}$ ← $9 = 3^2$,

$27 = 3^3$

$3^{2x} \leq 3^{3(x+2)}$

$3^{2x} \leq 3^{3x+6}$

Основание $3 > 1$ → знак сохраняется:

$2x \leq 3x + 6$

$-x \leq 6$

$x \geq -6$

Ответ: $x \in [-6;\ +\infty)$

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Стандартная замена и её условие

Пошаговый алгоритм

1. Ввести замену $t = a^x$, $t > 0$.
2. Переписать неравенство в виде квадратного неравенства относительно $t$.
3. Найти корни квадратного трёхчлена (при необходимости — через дискриминант).
4. Решить квадратное неравенство методом интервалов.
5. Учесть ограничение $t > 0$: пересечь решение с $(0;\ +\infty)$.
6. Выполнить обратную замену: из $t\ \square\ c$ найти $x$.
7. Записать ответ.

Пример 1

$9^x + 27 < 12 \times 3^x$

Наименьший общий множитель в данном случае будет $3^x$, обозначим его новой переменной $y$ и перенесем все слагаемые в левую сторону.

$(3^x)^2 - 12 \times 3^x + 27 < 0$

$3^x = y$ при $y > 0$

$y^2 - 12y + 27 < 0$

$3 < y < 9$

Пришло время выполнить обратную замену.

$3 < 3^x < 9$

$3^1 < 3^x < 3^2$

Поскольку $3 > 1$, мы не меняем знак.

$1 < x < 2$

Ответ: $x \in (1;\ 2)$.

Пример 2

Замена: $t = 2^x$, $t > 0$

Тогда $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

Подставляем:

$t^2 - 3t + 2 > 0$

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 > 0$

Корни: $t_1 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1$, $t_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2$

Разложение многочлена на множители:

$(t - 1)(t - 2) > 0$

Метод интервалов: знак «+» при $t < 1$ и $t > 2$

С учётом $t > 0$:

$0 < t < 1$ или $t > 2$

Обратная замена:

$0 < 2^x < 1 \Rightarrow 2^x < 2^0 \Rightarrow x < 0$

$2^x > 2 \Rightarrow 2^x > 2^1 \Rightarrow x > 1$

Ответ: $x \in (-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)$

Пример 3

Замена: $t = 3^x$, $t > 0$

Тогда $9^x = (3^x)^2 = t^2$

Подставляем:

$t^2 - 4t - 5 \leq 0$

Вычисляем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 > 0$

Корни: $t_1 = \dfrac{4 - 6}{2} = -1$, $t_2 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5$

Разложение многочлена на множители:

$(t - 5)(t + 1) \leq 0$

Метод интервалов: знак «−» при $-1 \leq t \leq 5$

С учётом $t > 0$:

$0 < t \leq 5$

Обратная замена:

$3^x \leq 5 = 3^{\log_3 5} \Rightarrow x \leq \log_3 5$

Ответ: $x \in (-\infty;\ \log_3 5]$

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

$$\frac{4}{2^x+2}-\frac{1}{2^x-3} < 2$$

Преобразуем неравенство:

$$\frac{4(2^x-3)-(2^x+2)-2(2^x+2)(2^x-3)}{(2^x+2)(2^x-3)} < 0$$

$$\frac{-2(2^x)^2+5 \cdot 2^x-2}{(2^x+2)(2^x-3)} < 0$$

$$\frac{2(2^x)^2+5 \cdot 2^x+2}{(2^x+2)(2^x-3)} > 0$$

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

$$\frac{2(2^x-2)\!\left(2^x-\dfrac{1}{2}\right)}{(2^x+2)(2^x-3)} > 0$$

Поскольку выражение $2^x + 2$ всегда больше нуля, мы можем домножить на него все неравенство и сократить.

$$\frac{2(2^x-2)\!\left(2^x-\dfrac{1}{2}\right)}{2^x-3} > 0$$

$$\begin{cases} \dfrac{1}{2} < 2^x < 2 \\[6pt] 2^x > 3 \end{cases}$$

и

$$\begin{cases} -1 < x < 1 \\[6pt] x > \log_{2}3 \end{cases}$$

Ответ: $x \in (-1;\ 1) \cup (\log_{2}3;\ +\infty)$

Пример 2

$$\frac{1}{3^x+5} \leq \frac{1}{3^{x+1}-1}$$

Обозначим $3^x$ через новую переменную $y$:

$3^x = y$, при условии что $y > 0$.

$$\frac{1}{y+5} \leq \frac{1}{3y-1}$$

$$\frac{1}{y+5}-\frac{1}{3y-1} \leq 0$$

$$\frac{2y-6}{(y+5)(3y-1)} \leq 0$$

Применим метод интервалов и получим:

$y \in \left(\dfrac{1}{3};\ 3\right]$

Произведем обратную замену:

$3^{-1} < 3^x \leq 3$

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

$-1 < x \leq 1$

Ответ: $x \in (-1;\ 1]$.

Однородные показательные неравенства

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

$$4^x - 2 \cdot 5^{2x} - 2^x \cdot 5^x > 0$$

$$2^{2x} - 2 \cdot 5^{2x} - 2^x \cdot 5^x > 0$$

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно $2^x$ и $5^x$. Следовательно, можно разделить обе части на $2^{2x}$ или $5^{2x}$. Выберем $5^{2x}$, т. е. $25^x$. В итоге у нас получится:

$$\left(\frac{4}{25}\right)^x - 2 - \left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$$

$$\left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)^2 - \left(\frac{2}{5}\right)^x - 2 > 0$$

Если обозначить $\left(\dfrac{2}{5}\right)^x$ новой переменной $y$ (при условии, что $y > 0$), получим квадратное неравенство:

$y^2 - y - 2 > 0$

$y_1 > 2$

$y_2 < -1$

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x > 2$$

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x > \left(\frac{2}{5}\right)^{\log_{\frac{2}{5}}2}$$

Поскольку $\dfrac{2}{5}$ меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

$x < \log_{\frac{2}{5}}2$

Ответ: $x \in \left(-\infty;\ \log_{\frac{2}{5}}2\right)$.

Пример 2

$$3^{2x^2} - 2 \cdot 3^{x^2+x+6} + 3^{2x+12} > 0$$

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

$$\left(3^{x^2}\right)^2 - 2 \cdot 3^{x^2} \cdot 3^{x+6} + \left(3^{x+6}\right)^2 > 0$$

$$\left(\frac{3^{x^2}}{3^{x+6}}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3^{x^2}}{3^{x+6}} + 1 > 0$$

$$\left(3^{x^2-x-6}\right)^2 - 2 \cdot 3^{x^2-x-6} + 1 > 0$$

$3^{x^2-x-6} \neq 1$

$x^2 - x - 6 \neq 0$

$x_1 \neq -2$

$x_2 \neq 3$

Ответ: $x \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 3) \cup (3;\ +\infty)$.

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Но для использования данного метода точки пересечения должны быть целыми числами. Если бы мы имели дело с уравнением, такие точки стали бы его корнями.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства $f(x) > g(x)$ это будет та область, где график функции $f(x)$ находится выше.

Пример 1

$$2^x \leq 3 - x$$

Итак, нам нужны графики двух функций: $y = 2^x$ и $y = 3 - x$, а также точка их пересечения.

Очевидно, что абсциссой точки пересечения является $x = 1$, при этом график функции $y = 2^x$ ниже в области $x \in (-\infty;\ 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty;\ 1]$.

Пример 2

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x > x + 3$$

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет $x = -1$, а областью, где функция $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ находится выше — диапазон значений $x$ от $-\infty$ до $-1$.

Ответ: $x \in (-\infty;\ -1)$.

Показательные неравенства с разными основаниями: метод логарифмирования

Если основания двух показательных функций несоизмеримы (нельзя привести к одному), а неравенство не является однородным, применяют логарифмирование обеих частей. Этот метод универсален, но требует аккуратного учёта знака логарифма.

Условие применимости

Логарифмировать можно только тогда, когда обе части неравенства строго положительны. Для показательных функций это выполнено автоматически ($a^x > 0$). При логарифмировании на основание $b$: если $b > 1$, знак сохраняется; если $0 < b < 1$, знак меняется.

Пример

$3^x < 5^{x-1}$

Обе части положительны → логарифмируем по основанию $10$ (или $\ln$):

$x \cdot \lg 3 < (x-1) \cdot \lg 5$

$x \cdot \lg 3 < x \cdot \lg 5 - \lg 5$

$x \cdot \lg 3 - x \cdot \lg 5 < -\lg 5$

$x(\lg 3 - \lg 5) < -\lg 5$

Так как $\lg 3 - \lg 5 = \lg\dfrac{3}{5} < 0$, делим на отрицательное число → знак меняется:

$x > \dfrac{-\lg 5}{\lg 3 - \lg 5} = \dfrac{\lg 5}{\lg 5 - \lg 3}$

Запишем через логарифм:

$x > \log_{5/3} 5$

Ответ: $x \in \left(\log_{5/3} 5;\ +\infty\right)$

Метод вынесения общего множителя

Метод применяется, когда в неравенстве несколько слагаемых с показательными функциями, имеющими разные показатели, и их нельзя свести к одному основанию через замену переменной. Вынесение за скобку наименьшей степени упрощает выражение до произведения, знак которого легко определить.

Когда применять этот метод: пример

Признак: неравенство содержит два или более слагаемых вида $A \cdot a^{sx}$ и $B \cdot a^{tx}$, где $s \neq t$. Из обеих слагаемых выносят $a^{\min(s,t) \cdot x}$ — показательный множитель с наименьшим показателем.

Задание 15 ЕГЭ: структура, баллы, стратегия

Задание 15 относится ко второй части ЕГЭ по профильной математике и оценивается по критериальной системе. Понимание структуры оценивания позволяет грамотно распределять время и усилия.

Структура оценивания задания 15

Баллы	Что необходимо для их получения
2 балла	Верное полное решение: все шаги логически обоснованы, ответ правильный и корректно записан
1 балл	Верный алгоритм и логика решения, но допущена одна вычислительная ошибка, не исказившая метод
0 баллов	Неверный метод, отсутствие решения или ошибка, исказившая всё решение

Типичные ошибки на ЕГЭ и как их избежать

Анализ ошибок в задании 15 показывает: большинство потерь баллов связаны не с незнанием алгоритма, а с механическими пропусками ключевых шагов. Ниже — самые опасные ловушки.

Ошибка	Пример	Как избежать
Не меняют знак при $0 < a < 1$	$\left(\tfrac{1}{2}\right)^x > 8 \Rightarrow x > -3$ (неверно)	Выписывать основание и его тип в начале решения
Забывают ограничение $t > 0$ при замене	Используют $t = -1$ в обратной замене	После решения квадратного неравенства явно пересекать с $(0;\ +\infty)$
Делят на отрицательный множитель без смены знака	$x(\lg 3 - \lg 5) < c \Rightarrow x < \dfrac{c}{\lg 3 - \lg 5}$ (неверно)	Перед делением всегда проверять знак знаменателя
Неверно представляют правую часть как степень	$9 = 3^1$ (вместо $3^2$)	Использовать таблицу степеней, проверять: $3^2 = 9$ ✓
Путают круглые и квадратные скобки в ответе	$x \in [3;\ +\infty)$ при строгом неравенстве $x > 3$	Строгое неравенство → круглая скобка, нестрогое → квадратная