Преобразование выражений: правила, примеры (ЕГЭ)

Если вы хотите не просто разобрать теорию, но и систематически отработать все типы задач с личным разбором ошибок, изучите, что предлагает подготовка к ЕГЭ по математике профильного уровня онлайн в Skysmart — там вы найдёте структурированные курсы, разборы реальных вариантов и персональную обратную связь от преподавателей.

---

Что такое тождественное преобразование выражения

Например, выражения x (x + 1) и x² + x являются тождественными, равными между собой, хоть они и записаны по-разному: x (x + 1) = x² + x.

Или выражение x = y + 1: его левая и правая часть тождественно равны, и если мы поменяем их местами, значение (суть) не изменится: y + 1 = x.

Зачем это нужно? Если мы запишем уравнение: x (x + 1) = 0, то можем легко заменить левую часть на выражение x² + x и получим уравнение: x² + x = 0. Каждое преобразование должно соответствовать конкретной цели — привести выражение к знакомому виду, к алгоритму, который мы уже применяли. Именно поэтому так важно уметь пользоваться преобразованиями и применять их в нужный момент.

---

Основные тождественные преобразования: шпаргалка с примерами

Перестановка слагаемых и множителей (коммутативность)

Правило: $a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$.

Пример: $7 + x = x + 7$; $5 \cdot x \cdot 3 = 15x$.

От перестановки мест слагаемых или множителей значение выражения не меняется. Это правило чаще всего применяется для более рационального (удобного) вычисления примеров.

В выражении 13 + 24 + 17 удобнее всего переставить слагаемые таким образом: 13 + 17 + 24 = (13 + 17) + 24 = 30 + 24 = 54. Аналогично в выражении 5 ⋅ 99 ⋅ 2 лучше переставить множители так: 5 ⋅ 99 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 ⋅ 99 = 10 ⋅ 99 = 990.

Не обязательно записывать перестановку подробно. Это можно сделать устно, но важно проговорить про себя причину, по которой вы делаете это преобразование — таким образом поиск оптимального решения войдёт в привычку.

Группировка слагаемых и множителей (ассоциативность)

Правило: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Пример: $(25 + x) + 75 = x + (25 + 75) = x + 100$ — группировка удобных чисел ускоряет вычисления.

Под группировкой слагаемых или множителей подразумевается их перестановка и объединение в группы для более рациональных вычислений.

Например, выражение 2 + 17 + 25 + 18 + 33 мы преобразуем таким образом:

2 + 17 + 25 + 18 + 33 = (2 + 18) + (17 + 33) + 25 = 20 + 50 + 25 = 95.

Метод группировки чаще всего используется в тандеме с другими методами. Так, если мы хотим вынести общий множитель в большой группе слагаемых, мы разобьём сумму на подгруппы и выполним вынесение:

x³ + 2x² + x + 2 = (x³ + x) + (2x² + 2) = x (x² + 1) + 2(x² + 1) = (x² + 1) (x + 2)

Обратите внимание:

1. В данном выражении можно по-разному группировать слагаемые. Мы могли бы сделать так:

   x³ + 2x² + x + 2 = (x³ + 2x²) + (x + 2) = x² (x + 2) + (x + 2) = (x² + 1) (x + 2)

2. Общим множителем может выступать целая скобка.

Дистрибутивный закон (распределительное свойство умножения)

Это один из ключевых законов алгебры: умножение распределяется по сложению.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ — каждое слагаемое в скобке умножается на внешний множитель.

Дистрибутивный закон работает в обе стороны:

• Слева направо — это раскрытие скобок: $3(2x + 5) = 6x + 15$
• Справа налево — это вынесение общего множителя: $6x + 15 = 3(2x + 5)$

Замена разности суммой, частного — произведением

Исходная форма	Преобразованная форма	Зачем
$a - b$	$a + (-b)$	Унификация перед группировкой
$a \div b$	$a \cdot \dfrac{1}{b}$	Удобство при сокращении алгебраических дробей

В математике действия сложения и вычитания, умножения и деления можно назвать обратными друг другу, и часто они взаимозаменяемы.

Замену разности суммой и наоборот легко продемонстрировать на действиях с числами разных знаков:

−2 − 5 = −2 + (−5) = −7

16 − 20 = 16 + (−20) = −8

−9 + 11 = 11 + (−9) = 11 − 9 = 2

Действия умножения и деления также могут заменять друг друга:

20 : 5 = 20 ⋅ 1/5 = 4

x : y = x ⋅ 1/y

16 ⋅ 0,1 = 16 ⋅ 1/10 = 16 : 10 = 1,6

Выполнение действий с числами

Пример: $3 \cdot 4 \cdot x = 12x$.

При решении арифметических примеров или уравнений мы можем выполнить небольшие промежуточные действия: например, извлечь квадратный корень, возвести число в степень, выполнить сложение или вычитание чисел, сократить дроби.

Например, данное уравнение лучше преобразовать таким образом:

√4x² + 3²x − 12/15 = 0

2x² + 9x − 0,8 = 0

Но не всегда нужно выполнять сразу промежуточные действия с числами: порой более просто и рационально будет воспользоваться другим методом.

Например, в выражении 101² − 99² намного быстрее будет воспользоваться формулами сокращённого умножения, а не возводить в степень и вычитать:

101² − 99² = (101 + 99) (101 − 99) = 200 ⋅ 2 = 400

Сравните с такими вычислениями (при учёте что вы считаете всё без калькулятора):

Прибавление и вычитание одного и того же числа

К одному выражению мы можем прибавить число и тут же вычесть его. Для чего это делают? Такой метод используется в разных случаях, в том числе для выделения целого квадрата выражения.

x² + 6x = x² + 6x + 9 − 9 = (x² + 6x + 9) − 9 = (x + 3)² − 9

Похожий метод применяется для решения уравнений, когда мы можем прибавить или вычесть число сразу из двух частей:

x − 2 = 0

x − 2 + 2 = 0 + 2

x = 2

Обе части уравнения можно также умножить и разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

1/3 x² + 2/3 x + 6 = 0 | ⋅ 3

3 (1/3 x² + 2/3 x + 6) = 0 ⋅ 3

x² + 2x + 18 = 0

Замена чисел и выражений тождественно равными

Ещё один метод преобразования выражений — замена их тождественно равными. Здесь хочется обратить особое внимание на формулы сокращённого умножения, которые используют для таких замен.

Эти формулы были не придуманы, а получены с помощью перечисленных выше преобразований.

Их можно использовать сразу как готовое решение, не расписывая при этом подробно.

Приём	Закон/Правило	Пример
Коммутативность	$a + b = b + a$	$5 + x = x + 5$
Ассоциативность	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(3 + x) + 7 = x + 10$
Дистрибутивность	$a(b + c) = ab + ac$	$3(x + 4) = 3x + 12$
Замена разности суммой	$a - b = a + (-b)$	$x - 5 = x + (-5)$
Свёртка констант	числа перемножить/сложить	$5 \cdot 3 \cdot x = 15x$
Прибавление и вычитание одного и того же числа	$+ c - c$	$x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9$
Замена тождественно равным	$1 = \text{(выражение)}$	$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$

---

Тождественные преобразования: раскрытие скобок и вынесение за скобки

Раскрытие скобок

Правило знаков (следствие дистрибутивного закона):

• $+(a + b) = a + b$ — знаки не меняются
• $-(a + b) = -a - b$ — все знаки меняются на противоположные
• $-(a - b) = -a + b$

Раскрытие с множителем: $c(a + b) = ca + cb$ — дистрибутивный закон в прямом направлении.

Раскрытие скобок применяется буквально везде: от решения уравнений и задач до работы с функциями. Раскрытие скобок бывает трёх видов: при умножении одночлена на скобку, при умножении скобки на скобку и для выполнения суммы/разности.

1. При умножении одночлена на скобку одночлен умножается на все слагаемые скобки, а между результатами умножения ставится знак, стоящий в скобке.

   Например: 2 (x − y) = 2x − 2y.

2. При умножении скобки на скобку каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки, знаки ставятся согласно результату умножения.

   Например: (с + d) (x − y) = cx − cy + dx − dy.

3. При раскрытии скобок во время сложения или вычитания необходимо учитывать знак, стоящий перед скобкой:

   • если стоит знак плюс, скобки убираются, знак не влияет на содержимое: 1 + (20 − 6) = 1 + 20 − 6,
   • если стоит знак минус, скобки убираются, знаки одночленов в скобке меняются на противоположные: x − (2y + b) = x − 2y − b.
     Представьте, что вместо минуса перед скобкой стоит умножение на (−1): x − (2y + b) = x + (−1)(2y + b) = x − 2y − b.

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки можно считать действием, обратным раскрытию скобок. Чаще всего это правило применяется для решения уравнений и неравенств.

Общий множитель может состоять из общей числовой и буквенной частей. Если общий множитель не виден сразу, необходимо разложить одночлен на произведение множителей.

Например, вынесем общий множитель в выражении 24xy² + 16x²y:

1. Разложим буквенные части на произведения простых множителей: 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3; 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
2. Представим степень буквенной части в виде произведения: xy² = x ⋅ y ⋅ y; x²y = x ⋅ x ⋅ y
3. Запишем всё в виде произведения и выделим повторяющиеся множители: 24xy² + 16x²y = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ y + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ y
4. Выносим общие множители за скобки: 24xy² + 16x²y = 8xy(3y + 2x)

Рассмотрим ещё один пример. Решим уравнение: x³ + x² = 0. Вынесем общий множитель за скобки: x²(x + 1) = 0. Так как произведение равно нулю, один из множителей (или они оба) также равны нулю:

x2 (x + 1) = 0
x2 = 0 или	x + 1 = 0
x = 0	x = −1

Так умение выносить общий множитель за скобки позволило нам решить уравнение быстрее и легче.

---

Тождественные преобразования: приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых — ещё один навык, без которого не решить большинство заданий с уравнениями и неравенствами.

Подобные слагаемые — одночлены, буквенная часть которых полностью совпадает (с учётом степеней).

Выражения 16ab и 24ab — подобные слагаемые, их можно складывать и вычитать, т. е. мы складываем (вычитаем) их числовые коэффициенты, при этом буквенные части остаются прежними:

16ab + 24ab = (16 + 24) ab = 40ab

16ab − 24ab = (16 − 24) ab = −8ab

Выражения 10x² и 10x подобными не являются, так как степени их буквенной части различаются, хотя и там, и там использовали x.

Подобные слагаемые чаще всего образуются при раскрытии скобок:

(x + 1) (x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

❌ Ловушка: $x^2$ и $x$ — НЕ подобные слагаемые. Степени должны совпадать.

Пара слагаемых	Подобные?	Почему
$3x^2$ и $-5x^2$	✅ Да	Одинаковая часть $x^2$
$2xy$ и $7xy$	✅ Да	Одинаковая часть $xy$
$4x^2y$ и $4xy^2$	❌ Нет	Разные степени при переменных
$5x$ и $5x^2$	❌ Нет	$x$ и $x^2$ — разные переменные части
$-3a^2b$ и $9a^2b$	✅ Да	Одинаковая часть $a^2b$

---

Преобразование алгебраических дробей

Основное свойство алгебраической дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же выражение (не равное нулю), и дробь не изменится:

a ⋅ m b ⋅ m = a b , где b ≠ 0 и m ≠ 0 b⋅m a⋅m ​ = b a ​ , где b =0 и m =0

Сокращение дробей

Алгоритм:

1. Записать ОДЗ (до сокращения!)
2. Разложить числитель и знаменатель на множители
3. Сократить общие множители
4. Записать результат с указанием ОДЗ

Приведение дробей к общему знаменателю

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю — наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.

Умножение и деление дробей

• Умножение: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$ — числители перемножаются, знаменатели перемножаются
• Деление: $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$ — умножение на обратную дробь

❌ Ошибка: сокращать до перемножения, не разложив на множители. Правильный порядок: сначала разложить, затем сокращать, затем перемножать.

---

Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата — это преобразование квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ к виду $a(x + p)^2 + q$. Применяется при решении квадратных уравнений, нахождении вершины параболы и интегрировании.

Алгоритм

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Разность квадратов

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Слева направо (раскрытие): $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$

Справа налево (факторизация): $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$

Нестандартный пример: $(x + 1)^2 - 9 = (x + 1)^2 - 3^2 = (x + 4)(x - 2)$

Квадрат суммы и квадрат разности

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

❌ Главная ошибка: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Пропускают средний член $2ab$. Проверка: при $a = 2, b = 3$: левая часть $25$, правая $4 + 9 = 13$.

Куб суммы и куб разности

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Мнемоника знаков для куба разности: «плюс–минус–плюс–минус» — знаки чередуются, начиная с плюса.

Сумма и разность кубов

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Как не перепутать сумму и разность кубов

Формула	Знак в скобке-двучлене	Знак при ab в трёхчлене
$a^3 + b^3$	+	$-ab$
$a^3 - b^3$	−	$+ab$

Правило: знак при ab в трёхчлене — всегда противоположный знаку в двучлене.

Название	Формула
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

---

Область допустимых значений (ОДЗ)

Для преобразования дробно-рациональных и иррациональных выражений обязательно нужно учитывать область допустимых значений. Это часто применяется для решения уравнений, исследования функций и пределов.

Например, если нам необходимо преобразовать выражение $\dfrac{a^2}{a}$ в рамках задания на сокращение дробей, мы можем легко это сделать: $\dfrac{a^2}{a} = a$.

Если же мы решаем уравнение $\dfrac{a^2}{a} = 0$, в таком случае знаменатель дроби не может быть равен нулю, и нам нужно учесть ОДЗ: $a \neq 0$.

В исследовании функции $y = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$ мы можем сократить равные скобки только после того, как пропишем ОДЗ: $x \neq 2$, и при построении графика точка с координатой $x = 2$ будет выколотая.

---

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка	Неверно	Верно	Правило
Квадрат суммы без среднего члена	$(a + b)^2 = a^2 + b^2$	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Средний член $2ab$ обязателен
Знак при раскрытии минуса перед скобкой	$-(x - 3) = -x - 3$	$-(x - 3) = -x + 3$	Минус меняет все знаки внутри
Сокращение дроби без ОДЗ	$\dfrac{x^2-4}{x-2} = x+2$ (без оговорки)	$x + 2$, при $x \neq 2$	ОДЗ указывать обязательно
Путаница сумма/разность кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$	Знак при ab — противоположный знаку двучлена
Несокращённые константы в ответе	$3 \cdot 4 \cdot x$	$12x$	Числовые части вычисляются
Сложение неподобных слагаемых	$3x + 2x^2 = 5x^3$	$3x + 2x^2$ (уже упрощено)	Подобные — только одинаковые буквенные части

---

Тождественные преобразования на ОГЭ и ЕГЭ

В каких заданиях встречаются

Экзамен	Тип задания	Какие преобразования нужны
ОГЭ	Задание 12–14 (алгебра)	Раскрытие скобок, ФСУ, приведение подобных, упрощение дробей
ЕГЭ (база)	Задания 1–8	ФСУ, дроби, ОДЗ, вынесение за скобки
ЕГЭ (профиль)	Задания 1–9, 18–19	Все приёмы + выделение полного квадрата, разложение многочленов высших степеней

Стратегия на экзамене

1. Сначала — ОДЗ. Запишите ограничения до начала преобразований.
2. Разложите на множители числитель и знаменатель, прежде чем сокращать.
3. Применяйте ФСУ в нужном направлении: иногда нужно разложить, иногда — свернуть.
4. Проверьте подстановкой — 30 секунд на проверку могут сэкономить потерянный балл.
5. Не оставляйте несокращённые дроби и не вычисленные числовые множители в итоговом ответе.

---

Понимание, какой метод использовать лучше, как быстрее прийти к верному ответу, и что именно здесь лучше преобразовать, приходит с практикой. Приглашаем закрепить знания в бесплатном тренажёре ЕГЭ, который подготовит вас к любым контрольным и экзаменам!