Как решать логарифмические уравнения — методика и примеры
Для кого эта статья:
- Студенты и школьники, готовящиеся к экзаменам по математике
- Учителя и репетиторы математики
- Все желающие разобраться в теме логарифмов и их свойствах
- Любое логарифмическое уравнение решается по единому алгоритму из четырёх шагов: ОДЗ → преобразование → решение → проверка корней
- Пропуск или неверное оформление ОДЗ в развёрнутом ответе ЕГЭ автоматически обнуляет результат задания
- Существует 3 типа логарифмических уравнений — каждый требует своего метода, и умение распознавать тип экономит время на экзамене
- При решении логарифмических неравенств основание определяет направление знака: при $a > 1$ знак сохраняется, при $0 < a < 1$ — меняется
- Логическая ошибка при потенцировании или потеря корня критичнее вычислительной: за верный алгоритм с единственной арифметической ошибкой можно получить 1 балл
Логарифмические уравнения — один из немногих разделов школьной алгебры, где цена методической ошибки максимальна: неправильно найденная область допустимых значений или неверный равносильный переход обнуляют всё решение целиком. Если вы хотите не просто разобраться с теорией, но и получить системную подготовку к ЕГЭ по математике с разбором реальных вариантов и обратной связью от педагога — перейдите по ссылке: там вы найдёте структурированный курс, охватывающий все типы заданий профильного уровня.
Что нужно знать перед решением
Определение логарифма и основное тождество
Логарифм числа b по основанию a — это математическое выражение, эквивалентное показателю степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Условия существования: $a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$.
| $5^{2}=25$ | $\log_{5}25=2$ |
| $3^{4}=81$ | $\log_{3}81=4$ |
| $2^{5}=32$ | $\log_{2}32=5$ |
То есть логарифм — это не что иное, как другая запись степени числа. А для нас это означает одно: если для вас знакомо понятие степени и вы умеете применять её свойства, то и с логарифмами быстро разберётесь!
Основное логарифмическое тождество (антилогарифм):
Это тождество — фундамент метода потенцирования. Именно оно позволяет «избавиться от логарифма», переходя к показательному уравнению. Термин антилогарифм означает операцию, обратную логарифмированию: если логарифм — это нахождение показателя степени, то антилогарифм — это восстановление исходного числа (аргумента логарифма) по известному показателю.
Обратите особенное внимание на ОДЗ для логарифма — мы часто будем обращаться к нему при решении уравнений: основание логарифма $a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$.
Десятичный (lg) и натуральный (ln) логарифмы
В школьных учебниках и КИМах ЕГЭ встречаются два особых логарифма с нестандартной записью. Принципы их решения ничем не отличаются от общего алгоритма — важно лишь правильно распознать основание.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.
ОДЗ: $x > 0$. Основание фиксировано и равно 10, поэтому условие на основание в ОДЗ не прописывается.
Пример: $\lg 1000 = 3$, поскольку $10^{3} = 1000$.
Применение на ЕГЭ: встречается в заданиях первой части при вычислении конкретных значений и в комбинированных задачах второй части.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию числа Эйлера $e \approx 2{,}718$.
ОДЗ: $x > 0$. Число $e$ — иррациональное, значение нельзя упростить до целого без калькулятора.
Пример: $\ln(e^{4}) = 4$ по основному тождеству; $\ln 1 = 0$.
Применение на ЕГЭ: чаще встречается в профильных и олимпиадных задачах; в базовом КИМе редок, но встречается в задачах на производные и интегралы.
Ключевое сходство: уравнение $\lg f(x) = \lg g(x)$ решается так же, как $\log_{10} f(x) = \log_{10} g(x)$. Уравнение $\ln f(x) = 2$ решается аналогично $\log_{e} f(x) = 2$, то есть $f(x) = e^{2}$. Никаких принципиально новых правил запоминать не нужно.
Свойства логарифмов — шпаргалка
Особенно важно попрактиковаться в применении свойств логарифма. С помощью этих правил вы сможете преобразовывать выражения, содержащие логарифм, сводить решение к более простому и быстрому.
- $a^{\log_{a}b} = b$ — основное логарифмическое тождество
- $\log_{a}(bc) = \log_{a}b + \log_{a}c$
- $\log_{a}\dfrac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c$
- $\log_{a}b^{m} = m\log_{a}b$
- $\log_{a^n}b = \dfrac{1}{n}\log_{a}b$
- $\log_{a^n}b^{m} = \dfrac{m}{n}\log_{a}b$
- $\log_{a}b = \dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
- $\log_{a}b = \dfrac{1}{\log_{b}a}$
- $\log_{a}a = 1$
- $\log_{a}1 = 0$
| Свойство | Формула | Условия | Применение |
|---|---|---|---|
| Сумма логарифмов (произведение аргументов) | $\log_{a}(M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ | $M > 0,\ N > 0,\ a > 0,\ a \neq 1$ | Раскрытие скобок в аргументе |
| Разность логарифмов (частное аргументов) | $\log_{a}\dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$ | $M > 0,\ N > 0,\ a > 0,\ a \neq 1$ | Упрощение дробей под знаком log |
| Вынесение показателя степени | $\log_{a}(M^{k}) = k \cdot \log_{a} M$ | $M > 0,\ a > 0,\ a \neq 1$ | Снятие и постановка степени |
| Переход к новому основанию | $\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ | $a,\ b,\ c > 0;\ a \neq 1,\ c \neq 1$ | Приведение к единому основанию |
| Следствие: смена основания и аргумента | $\log_{a} b = \dfrac{1}{\log_{b} a}$ | $a,\ b > 0;\ a \neq 1,\ b \neq 1$ | Инверсия основания и аргумента |
| Логарифм единицы | $\log_{a} 1 = 0$ | $a > 0,\ a \neq 1$ | Упрощение выражений |
| Логарифм основания | $\log_{a} a = 1$ | $a > 0,\ a \neq 1$ | Упрощение выражений |
Область допустимых значений (ОДЗ)
ОДЗ логарифмического уравнения — это система неравенств, обеспечивающих существование каждого логарифма в уравнении:
- Аргумент логарифма строго больше нуля: подлогарифмическое выражение $> 0$
- Основание строго больше нуля и не равно единице: $a > 0,\ a \neq 1$ (актуально при переменном основании)
Если в уравнении несколько логарифмических выражений, ОДЗ — это пересечение всех условий одновременно. Корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасываются и не записываются в ответ.
В развёрнутом решении ОДЗ записывается до начала преобразований, а не после нахождения корней. Типичная структура:
Решаю уравнение: ...
Проверяю корни на принадлежность ОДЗ: ...
Ответ: ...
Запись ОДЗ после решения или её отсутствие — основание для снятия всех баллов за задание второй части.
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов.
Уравнения с логарифмом можно разделить на несколько категорий. Каким бы ни было уравнение, мы будем придерживаться следующего алгоритма:
- Записать ОДЗ. Определить область допустимых значений до начала любых преобразований.
- Преобразовать уравнение. Привести логарифмы к единому основанию, применить свойства (сумма → произведение, степень → множитель и т.д.), выполнить замену переменной при необходимости.
- Решить полученное уравнение. После преобразований уравнение сводится к показательному, линейному, квадратному или дробно-рациональному. Найти все корни стандартными методами.
- Проверить принадлежность корней ОДЗ. Каждый найденный корень подставить в ОДЗ. Корни, не удовлетворяющие ОДЗ, отбросить. Записать окончательный ответ.
Типы логарифмических уравнений
Уравнения с логарифмом можно разделить на три категории:
Простейшие вида $\log_{a}F(x)=b$, т. е. такие, в которых логарифм равен какому-то числу.
Уравнения типа $\log_{a}F(x)=\log_{a}P(x)$, т. е. равенство логарифмов с единым основанием.
Уравнения сложного типа, где необходимо провести дополнительные преобразования, чтобы свести уравнение к первому или второму виду.
Каким бы ни было уравнение, мы будем придерживаться следующего алгоритма:
Анализируем ОДЗ.
Приводим уравнение к простому виду с помощью преобразований (используем свойства логарифмов).
Решаем уравнение, находим корни и анализируем их соответствие ОДЗ.
Умение с первого взгляда определять тип уравнения — ключевой навык для быстрого и безошибочного решения. Ниже разобраны все типы, встречающихся в школьной программе и заданиях ЕГЭ.
Простейшее уравнение
Вид: $\log_{a} f(x) = b$, где $a$ и $b$ — числа.
Метод: потенцирование — переход к показательному уравнению.
Проверяем ОДЗ: $a > 0,\ a \neq 1,\ F(x) > 0$.
-
Воспользуемся определением логарифма и перепишем его через степень числа:
$\log_{a}F(x)=b$
$F(x)=a^b$
Пример:
|
$\log_{2}x=3$ ОДЗ: $x > 0$ $x = 2^{3}=8$ |
$\log_{3}(x-1)=4$ ОДЗ: $x > 1$ $x-1=3^4$ $x-1=81$ $x=82$ |
$\log_{\frac{1}{7}}(6-x)=-2$ ОДЗ: $x < 6$ $6-x=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-2}$ $6-x=49$ $x=-43$ |
Пример для самопроверки: базовый
$\log_{3}(x - 1) = 2$
Показать решение
ОДЗ: $x - 1 > 0 \to x > 1$
Потенцируем: $x - 1 = 3^{2} = 9 \to x = 10$.
Проверка: $10 > 1$ ✓
Ответ: $x = 10$.
Уравнение вида $\log_{a} F(x) = \log_{a} P(x)$
Вид: логарифмы одного основания в обеих частях.
Метод: равенство аргументов (функция логарифма взаимно однозначна).
Если в уравнении дано равенство логарифмов с равными основаниями, придерживаемся такого плана:
Оцениваем ОДЗ: $F(x) > 0$ и $P(x) > 0$.
Приравниваем части, откидывая логарифм: $F(x) = P(x)$.
Решаем уравнение, находим корни и проверяем их на соответствие ОДЗ.
Примеры:
|
$\log_{2}(x + 5)=\log_{2}(2x-1)$ ОДЗ: $x > -5$ $x+5=2x-1$ $-x=-6$ $x=6$ |
$\log_{\sqrt{3}}(2x+15)=3\log_{\sqrt{3}}2$ ОДЗ: $2x+15 > 0$, $x>-7{,}5$ Воспользуемся свойством: $m\cdot\log_{a}b=\log_{a}b^m$ $\log_{\sqrt{3}}(2x+15)=\log_{\sqrt{3}}2^3$ $2x+15=8$, $2x=-7$, $x=-3{,}5$ |
$\log_{2}(x+1)=\log_{2}(3-x)+1$ ОДЗ: $x > -1$ Представим $1 = \log_{2}2$: $\log_{2}(x+1)=\log_{2}2(3-x)$ $x+1=6-2x$, $3x=5$, $x=\dfrac{5}{3}$ |
Пример из для самопроверки: базовый
$\log_{5}(2x + 3) = \log_{5}(x + 7)$
Показать решение
ОДЗ: $2x + 3 > 0 \to x > -\dfrac{3}{2}$; $x + 7 > 0 \to x > -7$. Итого: $x > -\dfrac{3}{2}$.
Приравниваем аргументы: $2x + 3 = x + 7 \to x = 4$.
Проверка: $4 > -\dfrac{3}{2}$ ✓
Ответ: $x = 4$.
Сложные уравнения
Конечно, сам тип задания на решение уравнений предполагает усложнения. Хорошая новость состоит в том, что усложнения решаются с помощью применения свойств логарифма или использования замены переменной. А значит, даже самое сложное уравнение можно и нужно сводить к легко решаемому!
Некоторые методы решения сложных логарифмических уравнений |
|
|---|---|
$\log_{a(x)}f(x)=\log_{b(x)}f(x)$ |
Метод приведения к одному основанию |
$f_{1}(x)^{f_{2}(x)}=f_{3}(x)$ |
Метод логарифмирования |
$\log^{2}_{a}f(x)+\log_{a}f(x)=c$ |
Метод подстановки |
$a^{\log_{a}f(x)}=b^{\log_{b}g(x)}$ |
Использование основного логарифмического тождества |
$\log_{a}f(x)+\log_{a}g(x)=c$ |
Сворачивание в один логарифм |
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства решаются по той же схеме, что и уравнения, но с одним ключевым отличием: направление знака неравенства зависит от основания логарифма.
Функция $\log_{a} x$ возрастающая. Знак неравенства при потенцировании сохраняется.
Пример: $\log_{3}(x - 1) > 2$
ОДЗ: $x - 1 > 0 \to x > 1$
$x - 1 > 3^{2} = 9 \to x > 10$
Ответ: $x > 10$
Функция $\log_{a} x$ убывающая. Знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный.
Пример: $\log_{0{,}5}(x + 2) > -3$
ОДЗ: $x + 2 > 0 \to x > -2$
$x + 2 < (0{,}5)^{-3} = 8 \to x < 6$
Ответ: $-2 < x < 6$
Финальный ответ для неравенства записывается как числовое множество (интервал или объединение интервалов) с учётом ОДЗ. Используйте метод числовой оси для наглядного пересечения условий.
Разбор задач ЕГЭ
Задача 1 — первая часть базовый
Вычислите: $\log_{6} 4 + \log_{6} 9$
Показать решение
Применяем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:
$\log_{6} 4 + \log_{6} 9 = \log_{6}(4 \cdot 9) = \log_{6} 36 = \log_{6} 6^{2} = 2$.
Ответ: $2$.
Задача 2 — вторая часть средний
Решите уравнение: $\log_{2}(x + 3) + \log_{2}(x - 1) = 5$
Показать решение
ОДЗ: $x + 3 > 0 \to x > -3$; $x - 1 > 0 \to x > 1$. Итого: $x > 1$.
Применяем свойство суммы: $\log_{2}((x + 3)(x - 1)) = 5$.
Потенцируем: $(x + 3)(x - 1) = 2^{5} = 32$.
Раскрываем: $x^{2} + 2x - 3 = 32 \to x^{2} + 2x - 35 = 0$.
По формуле: $D = 4 + 140 = 144$; $x = \dfrac{-2 \pm 12}{2}$.
$x_{1} = 5$; $x_{2} = -7$.
Проверка по ОДЗ: $x = 5 > 1$ ✓; $x = -7$ — не входит в ОДЗ ✗.
Ответ: $x = 5$.
Задача 3 — вторая часть сложный
Решите уравнение: $\log_{3} x \cdot \log_{9} x - \log_{3} x - \log_{9} x + 1 = 0$
Показать решение
ОДЗ: $x > 0$.
Переводим $\log_{9} x = \dfrac{\log_{3} x}{2}$. Пусть $t = \log_{3} x$:
$t \cdot \dfrac{t}{2} - t - \dfrac{t}{2} + 1 = 0 \to \dfrac{t^{2}}{2} - \dfrac{3t}{2} + 1 = 0 \to t^{2} - 3t + 2 = 0$.
$(t-1)(t-2) = 0 \to t = 1$ или $t = 2$.
$\log_{3} x = 1 \to x = 3$; $\log_{3} x = 2 \to x = 9$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ✓.
Ответ: $x = 3,\ x = 9$.
Часто задаваемые вопросы
Что такое ОДЗ и зачем её указывать?
ОДЗ (область допустимых значений) — это совокупность значений переменной, при которых каждый логарифм в уравнении существует. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, основание — больше нуля и не равно единице. Без правильно указанной ОДЗ ответ на экзамене не засчитывается.
Как не перепутать lg и ln?
lg — десятичный логарифм, основание 10. ln — натуральный логарифм, основание $e \approx 2{,}718$. Оба подчиняются тем же правилам ОДЗ и свойствам, что и обычный логарифм.
Что делать, если в уравнении логарифм стоит в основании?
Это уравнение с переменным основанием. В ОДЗ обязательно добавляется условие $f(x) > 0,\ f(x) \neq 1$ для основания. Далее применяется формула перехода к новому основанию или определение логарифма.
Когда применять замену переменной?
Замена $t = \log_{a} f(x)$ применяется, когда в уравнении один и тот же логарифмический выражение встречается в квадрате и в первой степени одновременно: $\log^{2}_{a} f(x) + p\log_{a} f(x) + q = 0$. После замены получается квадратное уравнение, которое легко решается.
А теперь — супер-предложение: переходите по ссылке и используйте наш тренажёр для подготовки к контрольным и экзаменам абсолютно бесплатно! Там вы найдёте не только тему «Логарифмические уравнения», но и типовые задания для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, задачи по всем разделам геометрии, а также проработку глав по статистике и вероятности. Учить математику ещё никогда не было так просто!
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
