Логарифмы: объяснение, решения и примеры

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

---

---

Что такое логарифм?

Логарифм — это ответ на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число?» Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график $y=3^{x}$ и с его помощью решим уравнения:

$3^{x}=3$ $3^{x}=3^{1}$ x = 1

$3^{x}=9$ $3^{x}=3^{2}$ x = 2

Отлично! А теперь решим уравнение $3^{x}=5$.

И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.

Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно $x=\log_3{5}$ (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).

Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Визуальная схема связи степени и логарифма

Запись в виде степени	Запись через логарифм	Смысл
$2^3 = 8$	$\log_2 8 = 3$	2 в степени 3 равно 8
$10^2 = 100$	$\log_{10} 100 = 2$	10 в степени 2 равно 100
$5^1 = 5$	$\log_5 5 = 1$	Любое число в степени 1 равно себе
$3^0 = 1$	$\log_3 1 = 0$	Любое основание в степени 0 равно 1

Ограничения на основание и аргумент логарифма: основание a должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0$, $a \neq 1$); аргумент b должен быть строго больше нуля ($b > 0$). Логарифм от нуля и от отрицательных чисел не существует — это фундаментальное ограничение, которое напрямую влияет на область допустимых значений в уравнениях и неравенствах.

---

Какие бывают виды логарифмов

Вид	Обозначение	Основание	Где встречается
Десятичный	$\lg x$ или $\log x$	10	Школьная математика, физика, химия
Натуральный	$\ln x$	$e \approx 2{,}71828\ldots$	Математический анализ, физика, финансы
Двоичный	$\log_2 x$	2	Информатика, программирование, теория информации
С произвольным основанием	$\log_a x$	a (любое допустимое)	Алгебра, ЕГЭ, технические задачи

Десятичный логарифм (lg)

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как $\lg$. В российских учебниках обозначается lg, в некоторых международных источниках просто log без указания основания. Удобен тем, что количество цифр числа N (для целых чисел) равно $\lfloor \lg N \rfloor + 1$. Например: $\lg 100 = 2$, $\lg 1000 = 3$. Пример: $\lg{0{,}1}$.

Натуральный логарифм (ln) и число e

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как $\ln$. Число Эйлера $e \approx 2{,}71828\ldots$ — иррациональная математическая константа, которая возникает естественным образом при описании процессов непрерывного роста: начисление сложных процентов, радиоактивный распад, рост популяций. В математическом анализе $\ln x$ обладает исключительным свойством: производная $\ln x$ равна $1/x$ — именно поэтому натуральный логарифм является «любимым» основанием в высшей математике. Пример натурального логарифма: $\ln{e^{5}}$. На экзаменационных калькуляторах кнопка ln считает натуральный логарифм.

Двоичный логарифм (log₂)

Двоичный логарифм отвечает на вопрос: «Сколько бит нужно для кодирования N состояний?» Если $N = 8$ вариантов → $\log_2 8 = 3$ бита. В информатике двоичный логарифм описывает сложность алгоритма бинарного поиска: для массива из N элементов потребуется не более $\log_2 N$ шагов сравнения.

Логарифм с произвольным основанием

В задачах ЕГЭ и школьного курса алгебры встречаются логарифмы с основаниями 2, 3, 5, 7 и другими. Ключевое условие: основание $a > 0$ и $a \neq 1$. Почему нельзя $a = 1$? Потому что 1 в любой степени равно 1 — уравнение $1^c = b$ не имеет решения ни при каком $b \neq 1$, а при $b = 1$ имеет бесконечно много решений. Почему нельзя $a \leq 0$? Возведение отрицательного числа в дробную степень приводит к комплексным числам — это выходит за рамки действительной алгебры.

---

Свойства и формулы логарифмов

№	Свойство	Формула	Условие
1	Основное логарифмическое тождество	$a^{\log_a b} = b$	$a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$
2	Логарифм единицы	$\log_a 1 = 0$	—
3	Логарифм основания	$\log_a a = 1$	—
4	Логарифм произведения	$\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$	$M > 0$, $N > 0$
5	Логарифм частного	$\log_a(M / N) = \log_a M - \log_a N$	$M > 0$, $N > 0$
6	Логарифм обратного числа	$\log_a (1/c) = -\log_a c$	$c > 0$
7	Логарифм степени	$\log_a(M^p) = p \cdot \log_a M$	$M > 0$, $p \in \mathbb{R}$
8	Логарифм корня	$\log_a(\sqrt[n]{M}) = \dfrac{1}{n} \cdot \log_a M$	$M > 0$, $n \in \mathbb{N}$
9	Степень в основании логарифма	$\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b$	$a > 0$, $a \neq 1$, $k \neq 0$
10	Переход к новому основанию	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	$c > 0$, $c \neq 1$
11	Перестановка основания и аргумента	$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$	$b > 0$, $b \neq 1$

---

Основное логарифмическое тождество

Доказательство: Пусть $\log_a b = t$, тогда по определению логарифма $a^t = b$. Подставляя $t$ обратно, получаем $a^{\log_a b} = b$. Тождество доказано.

Примеры применения основного логарифмического тождества:

• $7^{\log_7 8} = 8$
• $2^{\log_2 7} = 7$
• $10^{\lg 3} = 3$
• $5^{\log_5 25} = 25$
• $e^{\ln 4} = 4$

Применение в задачах: тождество используется для упрощения выражений, где степень с логарифмическим показателем нужно «свернуть» в одно число. Это типовой приём в задачах ЕГЭ профильного уровня.

---

Как решать примеры с логарифмами: пошаговый алгоритм

Рассмотрим пример, как решить логарифм: $\log_7{49}=?$

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?

Ответ: во вторую степень. Значит, $\log_7{49}=2$.

Универсальный алгоритм решения любых задач с логарифмами состоит из пяти шагов. Пропуск любого из них — источник типичных ошибок.

1. Определить основание логарифма. Убедитесь, что оно явно указано. Если основание не указано: в российских учебниках log без индекса = $\log_{10}$, в высшей математике log без индекса часто = $\ln$.
2. Проверить ограничения (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Выпишите ограничения до начала решения — в виде системы неравенств.
3. Применить подходящее свойство логарифмов. Выберите из таблицы свойств то, которое упрощает выражение: разложите произведение на сумму, вынесите показатель степени, перейдите к новому основанию.
4. Привести к одному основанию (если нужно). При наличии логарифмов с разными основаниями используйте формулу перехода к одному общему основанию.
5. Вычислить и проверить ответ. Подставьте найденное значение обратно в исходное выражение. Убедитесь, что ответ удовлетворяет ограничениям из шага 2.

Разбор на примере: Решить уравнение $\log_3(2x - 1) = 2$

1. Основание: $a = 3$ (явно указано).
2. Ограничения: $2x - 1 > 0 \to x > 0{,}5$.
3. Применяем определение логарифма: $2x - 1 = 3^2 = 9$.
4. Решаем линейное уравнение: $2x = 10$, $x = 5$.
5. Проверка: $x = 5 > 0{,}5$ ✓; $\log_3(2 \cdot 5 - 1) = \log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$ ✓

Ответ: $x = 5$.

---

Применение логарифмических свойств в примерах

Пример 1

Найдите значение выражения $\log_a{\dfrac{a^5}{b^2}}$, если $\log_b{a}=0{,}2$.

Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по свойству логарифма частного: $\log_a{\dfrac{a^5}{b^2}}=\log_a{a^5}-\log_a{b^2}$.

Решение

У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет свойство логарифма степени:

$\log_a{\dfrac{a^5}{b^2}}=\log_a{a^5}-\log_a{b^2}=5\log_a{a}-2\log_a{b}$.

Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит а, а в условии задачи дан логарифм с основанием b, значит, нужно а как-то заменить на b. Возможно ли это? Конечно, свойство перестановки основания и аргумента в помощь!

$\log_a{\dfrac{a^5}{b^2}}=5\log_a{a}-2\log_a{b}=5-2\cdot \dfrac{1}{\log_b{a}}$.

Подставьте числовое значение из условия, и все готово:

$\log_a{\dfrac{a^5}{b^2}}=5-2\cdot\dfrac{1}{0{,}2}=5-2\cdot5=5-10=-5$.

Пример 2

Вычислите: $\dfrac{\log_8{81}}{\log_8{3}}$.

Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?

Конечно, это формула перехода к новому основанию. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?

$\dfrac{\log_8{81}}{\log_8{3}}=\log_3{81}=4$.

И получается ответ 4, а не 27.

---

Логарифмическая функция и её график

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной показательной функции $y = a^x$. Их графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Характеристика	При $a > 1$	При $0 < a < 1$
Область определения (ООФ)	$(0; +\infty)$	$(0; +\infty)$
Область значений (ОЗФ)	$(-\infty; +\infty)$	$(-\infty; +\infty)$
Монотонность	Возрастает	Убывает
Вертикальная асимптота	$x = 0$ (ось ординат)	$x = 0$ (ось ординат)
Пересечение с осью абсцисс	$x = 1$ (точка $(1; 0)$)	$x = 1$ (точка $(1; 0)$)
Знак функции при $x > 1$	Положительный	Отрицательный
Знак функции при $0 < x < 1$	Отрицательный	Положительный

Ключевые точки для построения графика: $(1; 0)$, $(a; 1)$, $(1/a; -1)$. Этих трёх точек достаточно для эскизного построения.

---

Примеры решения задач с логарифмами: от простого к сложному

Базовый уровень: вычисление логарифмов

Задача 1: Вычислить $\log_3 81$

Решение: $81 = 3^4 \to \log_3 81 = \log_3(3^4) = 4 \cdot \log_3 3 = 4 \cdot 1 = $ 4

Задача 2: Вычислить $\lg 1000$

Решение: $1000 = 10^3 \to \lg 1000 = 3$. Ответ: 3

Задача 3: Вычислить $\ln e^2$

Решение: По свойству логарифма степени: $\ln e^2 = 2 \cdot \ln e = 2 \cdot 1 = $ 2

Средний уровень: применение свойств логарифмов

Задача 4: Вычислить $\log_2 12 - \log_2 3$

Решение: По свойству логарифма частного: $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2(12/3) = \log_2 4 = \log_2(2^2) = 2$. Ответ: 2

Задача 5: Вычислить $\lg 4 + \lg 25$

Решение: $\lg 4 + \lg 25 = \lg(4 \cdot 25) = \lg 100 = \lg 10^2 = 2$. Ответ: 2

Задача 6: Упростить $\log_5 \sqrt{125}$

Решение: $125 = 5^3$; $\sqrt{125} = 5^{3/2}$. Тогда $\log_5(5^{3/2}) = 3/2$. Ответ: 1,5

Решение логарифмических уравнений

Задача 7: Решить $\log_2(x + 1) = 3$

Шаг 1 — Ограничения: $x + 1 > 0 \to x > -1$

Шаг 2 — Потенцирование (переход от логарифмического уравнения к показательному): $x + 1 = 2^3 = 8$

Шаг 3 — Решение: $x = 7$

Шаг 4 — Проверка ограничений: $7 > -1$ ✓

Ответ: $x = 7$

Задача 8: Решить $\log_5(x^2) = 4$

Шаг 1 — Ограничения: $x^2 > 0 \to x \neq 0$

Шаг 2 — Потенцирование: $x^2 = 5^4 = 625$

Шаг 3 — Решение: $x = \pm 25$

Шаг 4 — Проверка ограничений: $x = 25 \neq 0$ ✓; $x = -25 \neq 0$ ✓

Ответ: $x = \pm 25$

Решение логарифмических неравенств

Задача 9: Решить $\log_2 x > 3$

1. Ограничения: $x > 0$
2. Основание $a = 2 > 1$ → функция $\log_2 x$ возрастает → знак неравенства сохраняется
3. Потенцирование: $x > 2^3 = 8$
4. Пересечение с ограничениями: $x > 8$ (условие $x > 0$ выполняется автоматически)

Ответ: $x \in (8; +\infty)$

Задача 10: Решить $\log_{0{,}5} x \leq -2$

1. Ограничения: $x > 0$
2. Основание $a = 0{,}5 < 1$ → функция $\log_{0{,}5} x$ убывает → при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный
3. Потенцирование: $x \geq (0{,}5)^{-2} = (1/2)^{-2} = 4$
4. Пересечение с ограничениями: $x \geq 4$ (условие $x > 0$ выполняется)

Ответ: $x \in [4; +\infty)$

Правило смены знака в логарифмических неравенствах
Если основание $a > 1$: при потенцировании знак неравенства НЕ меняется
Если основание $0 < a < 1$: при потенцировании знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный

Задачи экзаменационного уровня (ЕГЭ)

Задача ЕГЭ 1: Решить уравнение $\log_2(x^2 - 5x + 4) = 3$

Ограничения: $x^2 - 5x + 4 > 0 \to (x-1)(x-4) > 0 \to x < 1$ или $x > 4$

Потенцирование: $x^2 - 5x + 4 = 2^3 = 8$

Решение квадратного уравнения: $x^2 - 5x - 4 = 0 \to D = 25 + 16 = 41 \to x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

$x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{41}}{2} \approx 5{,}7 > 4$ ✓ | $x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{41}}{2} \approx -0{,}7 < 1$ ✓

Ответ: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Типичная ошибка: не проверить ограничения до подстановки — оба корня могут не входить в ОДЗ.

Задача ЕГЭ 2 (с заменой переменной): Решить уравнение $(\lg x)^2 - 3 \cdot \lg x + 2 = 0$

Замена переменной: $t = \lg x$, уравнение принимает вид $t^2 - 3t + 2 = 0$

Решение: $(t - 1)(t - 2) = 0 \to t = 1$ или $t = 2$

Обратная замена:

• $\lg x = 1 \to x = 10$
• $\lg x = 2 \to x = 100$

Ограничения: $x > 0$; $x = 10 > 0$ ✓, $x = 100 > 0$ ✓

Ответ: $x = 10$, $x = 100$

---

Типичные ошибки при решении задач с логарифмами

Ошибка	Почему возникает	Как исправить
$\log(a + b) = \log a + \log b$	Механическое перенесение правила умножения на сложение	Правило суммы применяется только для логарифма произведения: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$
Логарифм отрицательного числа или нуля	Не проверяется ОДЗ до начала решения	Всегда первым шагом выписывайте ограничения: аргумент $> 0$
Не меняется знак неравенства при основании $0 < a < 1$	Забыто, что при убывающей функции знак неравенства переворачивается	Проверяйте основание перед потенцированием неравенства
$\log_a(x^2) = 2 \cdot \log_a x$ при любом $x$	Свойство $\log(x^n) = n \cdot \log(x)$ применяется без учёта знака $x$	Это тождество верно только при $x > 0$. При $x \neq 0$: $\log_a(x^2) = 2 \cdot \log_a |x|$
После замены переменной забыта обратная замена	Решение остаётся в терминах $t$, а не $x$	Всегда завершайте обратной заменой и проверкой ограничений для $x$
Неверный перенос основания: $\log_a b = \log_b a$	Путаница в формуле перехода к новому основанию	Точная формула: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ — основания меняются местами, берётся обратная величина
Неполно выписаны ограничения в задачах с двумя логарифмами	Ограничения выписываются только для одного логарифма	В системе ограничений должны быть неравенства для каждого аргумента логарифма в уравнении/неравенстве

---

Практическое применение логарифмов

В физике (шкала децибел, pH кислотности, Закон Вебера–Фехнера)

Шкала децибел (уровень звука): $L = 10 \cdot \lg(I / I_0)$, где $I$ — интенсивность звука, $I_0 = 10^{-12}$ Вт/м² — пороговая интенсивность. Шум в 10 дБ → $I = 10 \cdot I_0$; шум в 20 дБ → $I = 100 \cdot I_0$. Логарифмическая шкала позволяет «сжать» диапазон от 1 до $10^{12}$ в диапазон от 0 до 120 дБ.

pH кислотности: $\text{pH} = -\lg[\text{H}^+]$, где $[\text{H}^+]$ — молярная концентрация ионов водорода. При $\text{pH} = 7$ (нейтральная среда): $[\text{H}^+] = 10^{-7}$ моль/л. Каждая единица pH — это изменение концентрации в 10 раз.

В информатике и программировании

Сложность алгоритма бинарного поиска: $O(\log_2 N)$ — для массива из $N$ элементов. Для $N = 1\,000\,000$ потребуется не более $\log_2(1\,000\,000) \approx 20$ сравнений. Без логарифма объяснить этот эффект невозможно.

Количество бит для кодирования $N$ символов: $k = \lceil \log_2 N \rceil$. Для ASCII (256 символов): $\lceil \log_2 256 \rceil = 8$ бит.

В биологии и медицине

Рост популяции: $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ — логарифм позволяет определить время удвоения: $t_2 = \ln(2) / k \approx 0{,}693 / k$. Эта же формула описывает распространение вирусных инфекций на начальной фазе эпидемии.

Фармакокинетика: время выведения препарата из организма рассчитывается через натуральный логарифм концентрации вещества.

Логарифмическая спираль в природе и жизни

Существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле: $\theta =\dfrac{1}{b}\ln\dfrac{r}{a}$.

В финансах

Время удвоения капитала при доходности $r$: $t = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \dfrac{70}{r \cdot 100}$ — знаменитое «правило 70». При доходности 7% годовых капитал удваивается примерно за 10 лет.

Непрерывное начисление процентов: $A = P \cdot e^{rt}$, где $e$ — число Эйлера. Именно из этой формулы исторически возникло понятие натурального логарифма.

Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только для баллов на ЕГЭ!

---

Вопросы о логарифмах: FAQ

Чем отличается log от ln?

log (или lg в российской нотации) — это десятичный логарифм с основанием 10. ln — натуральный логарифм с основанием $e \approx 2{,}71828$. В школьных учебниках России log без индекса = lg = $\log_{10}$. В высшей математике и физике log без индекса часто означает ln — уточняйте по контексту.

Логарифм от нуля существует?

Нет. $\log_a 0$ не существует ни при каком допустимом основании. По определению $\log_a 0 = c$ означало бы $a^c = 0$, но ни одна степень положительного числа не даёт ноль. При $x \to 0^+$ значение $\log_a x \to -\infty$ (для $a > 1$).

Может ли логарифм быть отрицательным?

Да. Логарифм отрицательный, когда аргумент строго между 0 и 1 (при основании $a > 1$). Например: $\log_2(0{,}5) = \log_2(2^{-1}) = -1$. Сам аргумент при этом обязан быть положительным — логарифм отрицательного числа не существует.

Как перейти от lg к ln и обратно?

По формуле перехода к новому основанию: $\ln x = \dfrac{\lg x}{\lg e} \approx \dfrac{\lg x}{0{,}4343}$. И обратно: $\lg x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} \approx \dfrac{\ln x}{2{,}3026}$. Или коротко: $\lg x = \ln x \cdot \log_{10} e \approx 0{,}4343 \cdot \ln x$.

Зачем нужен натуральный логарифм и что такое e?

Число $e$ — это предел $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ при $n \to \infty$. Оно возникает естественно при описании непрерывного роста. Натуральный логарифм — единственная функция вида log, производная которой равна $1/x$ (при $x > 0$). Именно поэтому $\ln x$ — «любимое» основание в математическом анализе: интегрирование и дифференцирование с ним наиболее просто.

Что значит «логарифм не существует»?

Это означает, что аргумент логарифма нарушает ОДЗ: он равен нулю, отрицательный, или основание логарифма равно 1 или не является положительным числом. В задаче это сигнал: данное значение переменной нужно исключить из ответа.

Как быстро оценить значение логарифма без калькулятора?

Найдите ближайшие «точные» степени основания, между которыми находится аргумент. Пример: оценить $\log_3 20$. Так как $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, то $2 < \log_3 20 < 3$. Более точно: 20 ближе к 27, чем к 9 → $\log_3 20 \approx 2{,}7$. Это навык, проверяемый в КИМ ЕГЭ 2026.

Почему основание логарифма не может быть равно 1?

Потому что 1 в любой степени равно 1: $1^c = 1 \neq b$ (при $b \neq 1$). Уравнение не имеет решения. Если же $b = 1$, то уравнение $1^c = 1$ выполняется при любом $c$ — решение не единственно. В обоих случаях понятие «логарифм» теряет смысл.

Можно ли логарифм применить к комплексным числам?

Да, в высшей математике существует комплексный логарифм, но в рамках школьного курса (ЕГЭ, ОГЭ) все логарифмы — только действительные числа с положительными аргументами и допустимыми основаниями.

---

Мини-тест: проверь себя

Решите задачи самостоятельно, затем нажмите «Показать решение»:

Задача 1 (простая): Вычислите $\log_4 64$

Решение: $64 = 4^3$, поэтому $\log_4 64 = 3$. Ответ: 3

Задача 2 (простая): Вычислите $\lg 0{,}01$

Решение: $0{,}01 = 10^{-2}$, поэтому $\lg 0{,}01 = -2$. Ответ: −2

Задача 3 (средняя): Упростите $\log_2 6 + \log_2(8/3)$

Решение: $\log_2 6 + \log_2(8/3) = \log_2(6 \cdot 8/3) = \log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$. Ответ: 4

Задача 4 (средняя): Решите уравнение $\log_3(x - 2) = 2$

Ограничения: $x - 2 > 0 \to x > 2$
Потенцирование: $x - 2 = 9$
Решение: $x = 11 > 2$ ✓
Ответ: $x = 11$

Задача 5 (средняя): Решите неравенство $\log_{0{,}3} x < -1$

Ограничения: $x > 0$
Основание $0{,}3 < 1$ → знак меняется: $x > (0{,}3)^{-1} = 10/3$
Ответ: $x > 10/3$, то есть $x \in (10/3; +\infty)$

Задача 6 (сложная): Решите уравнение $(\log_2 x)^2 - 5 \cdot \log_2 x + 6 = 0$

Ограничения: $x > 0$
Замена: $t = \log_2 x$
Уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0 \to (t-2)(t-3) = 0 \to t = 2$ или $t = 3$
Обратная замена: $\log_2 x = 2 \to x = 4$; $\log_2 x = 3 \to x = 8$
Ответ: $x = 4$ и $x = 8$

Задача 7 (сложная): Оцените (без калькулятора), между какими целыми числами находится $\log_5 130$

$5^2 = 25$; $5^3 = 125$; $5^4 = 625$
Так как $125 < 130 < 625$, то $3 < \log_5 130 < 4$
Причём 130 очень близко к $125 = 5^3$, поэтому $\log_5 130 \approx 3{,}02$
Ответ: значение находится между 3 и 4, ближе к 3

---

Вопросы для самопроверки

Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:

1. Что такое логарифм?
2. Какие ограничения есть у логарифма?
3. Какие логарифмические свойства вы знаете?
4. Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?
5. В чем практическое применение логарифмов?