Нахождение максимума и минимума функции — примеры
- Ученики старших классов, готовящиеся к ЕГЭ по математике профильного уровня и решающие задачи на экстремумы. 🎓
- Ученики средней школы, которые только начинают знакомиться с производными и исследованием функций. 📖
- Родители школьников, которым нужно разобраться в материале, чтобы помочь с домашним заданием и подготовкой к контрольным работам. 👨👩👧
- Учителя и репетиторы, ищущие методически выверенные материалы с готовыми разобранными примерами. 👩🏫
Ключевые выводы из статьи:
- Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке находятся сравнением значений в критических точках и на концах отрезка — игнорировать концы недопустимо.
- Локальный максимум и глобальное наибольшее значение — это разные понятия: максимум функции на отрезке может быть достигнут именно на его конце, а не в точке экстремума.
- Для функций на открытом или бесконечном интервале нужен отдельный алгоритм: анализ поведения функции на бесконечности и у границ.
- Точки, в которых производная не существует (угловые точки), обязательно включаются в список кандидатов наравне с нулями производной.
Если вы готовитесь к экзамену и хотите разобрать подобные задачи под руководством опытного педагога, обратите внимание на структурированную подготовку к ЕГЭ по математике на базовом уровне — там собраны разборы типовых задач, тренажёры и методические материалы, которые помогут закрыть пробелы по основным темам экзамена, включая экстремума и производные.
Что такое функция
Наш мир — это огромная коллекция взаимосвязей, которые порой явно, а порой невидимо влияют на всех, кто в них участвует. Ваше настроение может влиять на успеваемость в школе, питание — на спортивные достижения, навыки — на возможность поступить в университет. В физическом мире температура влияет на скорость протекания процесса, плотность тела — на его способность к плаванию в воде, угол падения лучей — на то, каким образом они будут преломляться, пройдя через прозрачную призму.
Некоторые из этих взаимоотношений можно описать математически: обозначить участников буквами латинского алфавита и описать их взаимосвязь через математические действия и знаки.
Функция — это правило, формула или выражение, которое описывает взаимосвязь двух величин.
Как описать зависимость пройденного пути от времени? $S(t) = vt.$
Есть ли правило, которое описывает отношение ускорения тела и силы, приложенной к нему? Да: $F = ma.$
А что, если нужно вычислить зависимость остатка денег от количества купленных товаров? Пожалуйста: $y = x - nc$, где $y$ — остаток денег, $x$ — исходная сумма, $n$ — количество товара, $c$ — стоимость товара за одну единицу.
В каждом из этих выражений есть зависимая и независимая переменные. Зависимая переменная — это и есть функция, а независимая — аргумент. Так, в нашем последнем примере стоимость товара за одну его единицу является независимой переменной (цену назначил продавец, и мы на это повлиять никак не можем). Зато остаток в кошельке поддаётся изменениям — чем меньше мы купим товара, тем больше останется денег. И так в любой зависимости!
Обратите внимание: Зависимая переменная стоит слева от знака «равно» и определяется через выражение, содержащее аргумент.
Зависимая и независимая переменные
Прежде чем искать наибольшее или наименьшее значение функции, важно понять, что именно мы исследуем.
| $x$ — независимая переменная (аргумент) | $y = f(x)$ — зависимая переменная |
|---|---|
| Это «вход» функции — число, которое мы подставляем самостоятельно. Его также называют аргументом. В задаче «найти наибольшее значение функции на отрезке $[a;\, b]$» именно $x$ пробегает все значения от $a$ до $b$. | Это «выход» функции — результат вычисления по формуле. Мы ищем, при каком $x$ значение $f(x)$ будет наибольшим или наименьшим. Именно $y$ (или $f(x)$) является тем значением, которое мы сравниваем в таблице. |
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ определена (то есть вычислима). Например, для $f(x) = \sqrt{x}$ область определения — все $x \geq 0$, для $f(x) = \dfrac{1}{x}$ — все $x \neq 0$.
Связь области определения с задачей на экстремум: если в задаче дан отрезок $[a;\, b]$, но часть этого отрезка не входит в область определения функции, рассматривать нужно только пересечение $[a;\, b]$ с ОДЗ. Подставлять «недопустимые» значения $x$ в таблицу значений — грубая ошибка.
Графическое задание функции
Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:
перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;
наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?
Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈
Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.
График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению (функции).
Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат независимая переменная отображается с помощью оси $OX,$ зависимая — с помощью оси $OY.$
В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:
Наибольшее и наименьшее значение функции
На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?
Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает $y$ — зависимая переменная.
Наибольшее значение функции $y = f(x)$ на некотором промежутке $\{a; b\}$ — это значение $\max\ y = f (x_0),\ x_0 \in \{a; b\},$ которое при любом значении $x \in \{a; b\}, x\ne x_0$ делает справедливым неравенство $f(x) \leq f(x_0).$
Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение $y(x_0)$ больше, чем значение $y$ в окрестностях точки $x_0,$ то такой $y$ будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.
Наименьшее значение функции $y = f(x)$ на некотором промежутке $\{a; b\}$ — это значение $\min\ y = f (x_0),\ x_0 \in \{a; b\},$ которое при любом значении $x \in \{a; b\}, x\ne x_0$ делает справедливым неравенство $f(x) \geq f(x_0).$
Если на данном интервале значение $y(x_0)$ меньше, чем значение $y$ в окрестностях точки $x_0,$ то такой $y$ будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.
Локальный максимум и минимум
Локальный максимум в точке $x_0$ — это значение $f(x_0)$, которое больше значений функции в некоторой окрестности этой точки (то есть лишь «поблизости», а не на всём промежутке). Локальный минимум определяется аналогично — как наименьшее в окрестности.
Ключевое различие: локальный максимум — не обязательно наибольшее значение. Функция может иметь несколько локальных максимумов, и наибольший из них всё равно может быть меньше значения функции на конце отрезка.
Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках
Самый простой способ определить $y_{max}$ и $y_{min}$ — рассмотреть график.
Если заданный интервал представлен прямой:
при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;
при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.
Если заданный интервал представлен кривой:
максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;
минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем определить как самую высокую точку относительно этого пика.
Возможен и такой вариант, когда горы и овраги встречаются на одном промежутке — тогда мы просто объединяем оба пункта для нахождения $y_{max}$ и $y_{min}.$ Помним главное правило: максимальное значение функции всегда представлено самой высокой точкой относительно оси $OY,$ минимальное значение функции — самой низкой точкой.
Определение наименьшего и наибольшего значения через производную
Удобен ли способ нахождения $y_{max}$ и $y_{min}$ через график? Определённо! Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.
Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции. Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.
Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.
Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.
Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция $(y)$ при бесконечно малом увеличении $x.$
По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных функций. Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.
Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.
Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.
Стационарная и критическая точка: в чём разница?
| Стационарная точка | Критическая точка |
|---|---|
| Точка $x_0$ внутри области определения, в которой производная существует и равна нулю: $f'(x_0) = 0$. Это «горизонтальная касательная» к графику функции. | Точка $x_0$, в которой производная равна нулю ИЛИ не существует (угловые точки, точки разрыва производной). Все стационарные точки — критические, но не наоборот. |
Теорема Ферма: почему производная обнуляется в точке экстремума (NEW)
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и достигает в ней локального экстремума (максимума или минимума), то производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.
Простыми словами: в точке локального экстремума касательная к графику горизонтальна (параллельна оси $x$).
Почему теорема Ферма — это лишь необходимое, а не достаточное условие? Потому что $f'(x_0) = 0$ не гарантирует наличие экстремума. Классический контрпример: $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$. Производная $f'(0) = 0$, но экстремума нет — функция монотонно возрастает через эту точку, касательная горизонтальна, но знак производной не меняется. Такая точка называется точкой перегиба.
Достаточные условия экстремума: признак первой производной
Признак первой производной — основной инструмент для определения типа критической точки на уровне школьной программы и ЕГЭ.
Признак первой производной (достаточное условие экстремума)
Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$. Тогда:
- Если $f'(x)$ меняет знак с «$+$» на «$-$» при переходе через $x_0$ (слева «$+$», справа «$-$») — то $x_0$ является точкой локального максимума.
- Если $f'(x)$ меняет знак с «$-$» на «$+$» при переходе через $x_0$ (слева «$-$», справа «$+$») — то $x_0$ является точкой локального минимума.
- Если знак $f'(x)$ не меняется при переходе через $x_0$ — экстремума нет (точка перегиба).
Таблица знаков производной: как оформлять на ЕГЭ
Стандартный способ оформления — таблица знаков, которую проверяющий эксперт ожидает увидеть в решении задания второй части.
| $x$ | $(-\infty;\, x_0)$ | $x_0$ | $(x_0;\, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | ↗ возрастает | max | ↘ убывает |
| $x$ | $(-\infty;\, x_0)$ | $x_0$ | $(x_0;\, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘ убывает | min | ↗ возрастает |
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
Перед разбором теории и примеров — готовый алгоритм, который работает для большинства школьных задач на отрезке. Сохраните его перед экзаменом.
-
Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.
-
Найдём производную данной функции.
-
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
-
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них.
-
Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.
-
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.
Разберём пару примеров.
Задача 1
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y = x^2 + 5x - 6$ на отрезке $[-1; 5].$
Решение:
ОДЗ: $x \in R$
$y'=2x+5$
$2x + 5 = 0$
$x = -2{,}5$
$x=-2{,}5$ не попадает в промежуток $[-1;5]$. Найдём значение функции только в крайних точках:
$y(-1)=-10$
$y(5)=44$
Тогда $y=-10$ является наименьшим значением на данном отрезке, а $y=44$ наибольшим.
Задача 2
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=\cfrac{1}{x+2}$ на отрезке $[2;4].$
Решение:
ОДЗ: $x \in (-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$
$y'=\cfrac{1}{(x+2)^2}$
$\cfrac{1}{(x+2)^2}=0$, но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная не обращается в нуль, стационарных точек нет.
Найдём значение функции в крайних точках отрезка:
$y(2)=\cfrac{1}{4}$ — точка максимума на промежутке;
$y(4)=\cfrac{1}{6}$ — точка минимума на промежутке.
Пример 1 (ЕГЭ): $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ на отрезке $[-2;\, 6]$
Показать полное решение
Шаг 0 (ОДЗ): Функция — многочлен, определена при всех $x$. ОДЗ $= \mathbb{R}$. Работаем на всём $[-2;\, 6]$.
Шаг 1. Производная:
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$
Шаг 2. Стационарные точки: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$ и $x = -1$. Обе принадлежат $[-2;\, 6]$.
Шаг 3. Точки недифференцируемости: отсутствуют (многочлен).
Шаг 4. Таблица знаков:
| $x$ | $(-2;\,-1)$ | $-1$ | $(-1;\,3)$ | $3$ | $(3;\,6)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
Шаг 5. Вычисляем значения:
$f(-2) = (-8) - 3 \cdot 4 - 9 \cdot (-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$ $f(-1) = (-1) - 3 \cdot 1 - 9 \cdot (-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ $f(6) = 216 - 108 - 54 + 5 = 59$
Шаг 6. Сравниваем: $\{3;\; 10;\; -22;\; 59\}$
✅ Наибольшее значение: $59$ (достигается при $x = 6$, на конце отрезка).
✅ Наименьшее значение: $-22$ (достигается при $x = 3$, в точке минимума).
Пример 2 (ЕГЭ): $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 16$ на отрезке $[-2;\, 4]$
Показать полное решение
Шаг 0 (ОДЗ): Многочлен, ОДЗ $= \mathbb{R}$. Работаем на $[-2;\, 4]$.
Шаг 1. Производная:
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$
Шаг 2. Стационарные точки: $x = 2$ и $x = -1$. Обе принадлежат $[-2;\, 4]$.
Шаг 3. Таблица знаков:
| $x$ | $(-2;\,-1)$ | $-1$ | $(-1;\,2)$ | $2$ | $(2;\,4)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
Шаг 4. Вычисляем значения:
$f(-2) = 2 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 - 12 \cdot (-2) + 16 = -16 - 12 + 24 + 16 = 12$ $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 - 12 \cdot (-1) + 16 = -2 - 3 + 12 + 16 = 23$ $f(2) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16 = 16 - 12 - 24 + 16 = -4$ $f(4) = 2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 16 = 128 - 48 - 48 + 16 = 48$
✅ Наибольшее значение: $48$ (при $x = 4$).
✅ Наименьшее значение: $-4$ (при $x = 2$).
Пример 3 (с иррациональностью): $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ на отрезке $[0;\, 9]$
Показать полное решение
Шаг 0 (ОДЗ): $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$. ОДЗ $= [0;\, +\infty)$. Пересечение с $[0;\, 9]$ = $[0;\, 9]$. Работаем на $[0;\, 9]$.
Шаг 1. Производная:
$f'(x) = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
Шаг 2. Стационарные точки: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 1 \;\Rightarrow\; x = 1$. Принадлежит $[0;\, 9]$.
Шаг 3. Точки недифференцируемости: при $x = 0$ производная не существует (деление на $0$). Точка $x = 0$ — конец отрезка, значение $f(0)$ всё равно вычисляется отдельно.
Шаг 4. Таблица знаков на $(0;\, 9)$:
| $x$ | $(0;\,1)$ | $1$ | $(1;\,9)$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘ | min | ↗ |
Шаг 5. Вычисляем значения:
$f(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0$
$f(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$
$f(9) = 9 - 2\sqrt{9} = 9 - 6 = 3$
✅ Наибольшее значение: $3$ (при $x = 9$).
✅ Наименьшее значение: $-1$ (при $x = 1$).
Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале
В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не существовать (например $(-\infty; +\infty)$), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале $(-3; 5)$ мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).
Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение $y_{max}$ и $y_{min}$ к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)$ и $\lim\limits_{x\to b-0} f(x)$
Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?
Если говорить коротко, то предел функции — это такое число $A$, к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа $a.$
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$$
Предположим, наша функция представлена уравнением $\cfrac{x^2+2x}{x+1}.$ Найдём предел функции при $x=1,$ подставив это значение вместо $x$ в уравнение:
$$\lim\limits_{x\to1}\cfrac{x^2+2x}{x+1}=\lim\limits_{x\to1}\cfrac{1+2}{2}=1$$
Это означает, что функция стремится приблизиться к числу $1,$ в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего уравнения мы могли бы представить это так:
Функция может стремиться не только к рациональному числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает неопределённость, которую необходимо решить разными методами.
Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?
Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.
Найдём производную данной функции.
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них.
Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:
Интервал |
Предел |
|---|---|
| $[a; b)$ | $\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$ |
| $(a; b]$ | $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ |
| $(a; b)$ | $\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$ |
| $[a; +\infty)$ | $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ |
| $(-\infty; b]$ | $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ |
| $(-\infty; b)$ | $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$ |
| $(-\infty; +\infty)$ | $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ |
Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее значение невозможно.
Особые случаи: открытый интервал и вся числовая прямая
Алгоритм сравнения значений на концах отрезка работает только для замкнутых промежутков $[a;\, b]$. Если область — открытый интервал $(a;\, b)$, луч $[a;\, +\infty)$ или вся числовая прямая, нужен другой подход.
Для функции на $(a;\, b)$ или $[a;\, +\infty)$ наибольшее или наименьшее значение может не достигаться — функция может лишь стремиться к некоторому пределу, не достигая его. Алгоритм действий:
- Найти все критические точки внутри интервала.
- Исследовать поведение функции на концах (пределы при $x \to a^+$, $x \to b^-$ или $x \to \pm\infty$).
- Сравнить значения в критических точках с предельными значениями на «краях» области.
- Сделать вывод: если наибольшее (наименьшее) значение достигается — указать его; если нет — написать «функция не имеет наибольшего (наименьшего) значения».
Единственная критическая точка: удобное правило
Правило единственной критической точки
Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a;\, b)$ и имеет единственную критическую точку $x_0$, в которой достигается локальный минимум (максимум), то этот минимум (максимум) является также наименьшим (наибольшим) значением на данном интервале.
Это правило часто используется в прикладных задачах ЕГЭ («найти наименьшее значение себестоимости», «оптимальные размеры упаковки» и т. д.), где область — весь луч $(0;\, +\infty)$.
Задача
Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=5x^2$ на всём промежутке области определения.
Решение:
ОДЗ: $x\in R$
$y'=10x$
Найдём стационарные точки: $10x=0, x=0.$
Точка $x=0$ входит в промежуток области определения и является точкой минимума.
Так как $y=5x^2$ — парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку максимума.
$\lim\limits_{x\to - \infty}5x^2=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty}5x^2=+\infty$
Задачи для самостоятельной отработки
Решите следующие задачи по алгоритму из раздела выше. Ответы приведены в раскрывающихся блоках.
Задача А. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ на отрезке $[0;\, 5]$
Решение:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$ Стационарные точки: $x = 1$ и $x = 3$ $f(0) = 0 - 0 + 0 + 2 = 2$ $f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$ $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$ $f(5) = 125 - 150 + 45 + 2 = 22$
✅ Наибольшее: $22$ при $x = 5$. Наименьшее: $2$ при $x = 0$ и $x = 3$.
Задача Б. $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-3;\, 3]$
Решение:
$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2)$ Стационарные точки: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$ $f(-3) = 81 - 72 + 3 = 12$ $f(-2) = 16 - 32 + 3 = -13$ $f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$ $f(2) = 16 - 32 + 3 = -13$ $f(3) = 81 - 72 + 3 = 12$
✅ Наибольшее: $12$ при $x = \pm 3$. Наименьшее: $-13$ при $x = \pm 2$.
Задача В. $f(x) = x - \ln x$ на отрезке $\left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$
Решение:
ОДЗ: $x > 0$. Пересечение с $\left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$ = $\left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$.
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$
$f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \in \left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$ ✓
$f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \ln\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \ln 2 \approx 0{,}5 + 0{,}693 \approx 1{,}193$
$f(1) = 1 - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
$f(e) = e - \ln e = e - 1 \approx 1{,}718$
✅ Наибольшее: $e - 1$ при $x = e$. Наименьшее: $1$ при $x = 1$.
Хотите отрабатывать задачи на экстремумы в интерактивном формате с живой обратной связью от преподавателя? Приходите на курсы математики в онлайн-школе Skysmart — разберём все типы задач, включая задание №12 ЕГЭ.
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
