Рациональные уравнения в ЕГЭ — разбор и примеры

---

Что такое рациональные уравнения

Давайте начнём с понятия рационального выражения.

В рациональных выражениях не встречаются корни и дробные степени — это самое важное!

Рациональные выражения	Иррациональные выражения
$x^{2}+2x;\ \dfrac{1}{x}+4y;\ c+c^{-2}$	$\sqrt{x+4};\ \sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{x}};\ y^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{1}{2}}$

В отличие от иррациональных уравнений (где под корнем стоит переменная, например $\sqrt{x + 1} = 3$), рациональные уравнения не содержат знаков корней — только дроби и многочлены. Это принципиальное отличие: иррациональное уравнение требует проверки на посторонние корни после возведения в степень, рациональное — требует проверки на ОДЗ из-за знаменателя.

Где рациональные уравнения встречаются в ЕГЭ

Параметр	Значение
Номер задания (профильный уровень)	Задание 6 (первая часть КИМ)
Максимальный первичный балл	1 балл
Формат проверки	Автоматическая (только краткий ответ)
Типичная формулировка	«Решите уравнение», «Найдите корень», «Найдите наименьший положительный корень»
Формат ответа по спецификации ФИПИ	Целое число или конечная десятичная дробь

По данным спецификации, изменений в структуре и содержании задания 6 нет. Сохранён формат автоматической проверки: оценивается только итоговый краткий ответ, экспертная проверка нахождения ОДЗ и промежуточных вычислений не проводится. Промежуточные шаги важны только для вас — как гарантия правильного ответа.

---

Целые рациональные уравнения

Пример: $3x^2 - 5x + 2 = 0$. Знаменатель — числовая константа, ОДЗ — вся числовая прямая.

Целые рациональные уравнения делятся на 6 видов, только 5 из которых подробно изучаются в школьной программе.

Линейные уравнения

Общий вид линейных уравнений: kx + b = 0, где k, b — числа.

Главные признаки линейного уравнения:

1. Неизвестная находится в первой степени.
2. Неизвестная находится строго в числителе дроби, если в уравнении представлены дроби. Если неизвестная находится в знаменателе, то такое уравнение — дробно-рациональное.

Для решения такого уравнения необходимо:

• привести его к стандартному виду kx + b = 0;
• перенести свободный член b в правую сторону со сменой знака;
• выразить неизвестную x: $x=\dfrac{-b}{k}$.

Например:

$2(x − 4) + 3(x + 6) = 0$

$2x − 8 + 3x + 18 = 0$

$5x + 10 = 0$

$5x = −10$

$x = −10/5 = −2$

Квадратные уравнения

Общий вид квадратных уравнений: ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0.

Квадратные уравнения бывают:

1. Неполными (когда b = 0 или с = 0).
2. Полными (когда a, b, c ≠ 0).

Для решения квадратных уравнений применяют различные методы: через дискриминант, через теорему Виета, с помощью свойств коэффициентов, графически и даже геометрически! Но конечно, самые популярные способы — это дискриминант, теорема Виета и свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Дискриминант	Теорема Виета	Метод коэффициентов
$x^{2}+5x+6=0$ $a=1,\ b=5,\ c=6$ $D= 5^{2}-4 \cdot 1 \cdot 6=1$ $x_{1}=\dfrac{-5+1}{2}=-2$ $x_{2}=\dfrac{-5-1}{2}=-3$	$x^{2}+4x+3=0$ тогда $\begin{cases} x_{1}+x_{2}=-4 \\ x_{1}\cdot x_{2}=3 \end{cases}$ $x_{1}=-3;\ x_{2}=-1$	$13x^{2}-9x-4=0$ $x_{1}=1;\ x_{2}=\dfrac{-4}{13}$

Биквадратные уравнения

Общий вид биквадратных уравнений: ax⁴ + bx² + c = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0.

Такие уравнения сводятся к квадратным с помощью замены переменной.

$$x^{4}-12x^{2}+27=0$$

Пусть $y=x^2$, тогда $y^{2}=x^4$

$$y^{2}-12y+27=0$$

$D=(-12)^{2}-4\cdot 27=36$

$y_{1}=\dfrac{12-6}{2}=3$

$y_{2}=\dfrac{12+6}{2}=9$

Тогда:

$x^{2}=3$ $x=\pm\sqrt{3}$

$x^{2}=9$ $x=\pm 3$

Кубические уравнения

Общий вид кубических уравнений: ax³ + bx² + cx + d = 0, где a, b, c, d — числа и a ≠ 0.

Кубические уравнения, также как и квадратные, бывают полными и неполными (когда один из коэффициентов b, c, d равен нулю или все они равны нулю). Методов решения кубических уравнений достаточно много, но самое простое развитие событий — когда уравнение можно разложить на множители.

$5x^{3} − x^{2} − 20x + 4 = 0$

$(5x^{3} − x^{2}) − (20x − 4) = 0$

$x^{2}(5x − 1) − 4(5x − 1) = 0$

$(5x − 1)(x^{2} − 4) = 0$

Так как произведение равно нулю, мы можем разбить это уравнение на два маленьких, приравняв к нулю каждую из скобок.

$5x − 1 = 0$ $x = 0{,}2$

$x^{2} − 4 = 0$ $(x + 2)(x − 2) = 0$ $x = 2$ или $x = −2$

Возвратные уравнения

Общий вид возвратных уравнений: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0.

Уравнения такого типа решаются следующим образом:

1. Обе части уравнения делим на $x^{2}$:

   $$ax^{2}+bx+c+\dfrac{b}{x}+\dfrac{a}{x^2}=0$$

2. Группируем слагаемые с равными коэффициентами и выносим их как общий множитель:

   $$a\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+c=0$$

3. Производим замену переменной:

   Пусть $y=x+\dfrac{1}{x}$, тогда $\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^2}\right)=y^{2}-2$

4. Уравнение с учётом замены переменной выглядит так:

   $$a(y^{2}-2)+by+c=0$$

   Решаем уравнение относительно переменной $y$ и по её значениям находим $x$:

   $$x^{4}-4x^{3}+x^{2}+4x+1=0\ |:x^{2}$$

   $$\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^2}\right)-4\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+1=0$$

   Замена: $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=y$, тогда $x^{2}+\dfrac{1}{x^2}=y^{2}+2$

   $$y^{2}-4y+3=0$$

   $y_{1}=1;\ y_{2}=3$

$x-\dfrac{1}{x}=1$	$x-\dfrac{1}{x}=3$
ОДЗ: x ≠ 0
$x^{2}-1=x$ $x^{2}-x-1=0$ $D=1+4=5$ $x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$	$x^{2}-1=3x$ $x^{2}-3x-1=0$ $D=9+4=13$ $x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

---

Дробно-рациональные уравнения

Общий вид дробно-рациональных уравнений: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, где P(x), Q(x) — рациональные выражения. То есть в дробно-рациональных уравнениях выражение представлено в виде дроби, где в знаменателе (а порой и в числителе тоже) есть неизвестная.

Главная отличительная особенность решения таких уравнений — поиск ОДЗ (области допустимых значений).

Так как на ноль делить нельзя, а дробная черта представляет собой действие деления, знаменатель не может превращаться в ноль. Мы должны оценить, какие значения можно подставить вместо x, а какие нам нужно исключить.

Например: в выражении $\dfrac{1}{x+2}$ ОДЗ: x ≠ −2, так как при x = −2 выражение принимает вид $\dfrac{1}{0}$, что является ошибкой.

Давайте рассмотрим некоторые виды дробно-рациональных уравнений и методы их решения.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

Ниже — универсальный алгоритм, который перекрывает 95% типов задания 6. Используйте его как внутренний чек-лист на экзамене.

1. Найдите ОДЗ — определите, при каких значениях переменной хотя бы один знаменатель обращается в ноль. Запишите условие: знаменатель ≠ 0. Все такие значения — запрещены.
2. Приведите к общему знаменателю — если в уравнении несколько дробей, явно запишите НОК всех знаменателей. Не действуйте механически. Альтернатива для уравнений вида $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ — метод пропорции (см. ниже).
3. Домножьте обе части на общий знаменатель — вы уже знаете его запрещённые значения из шага 1, поэтому умножение законно.
4. Решите упрощённое уравнение — после домножения получится многочлен: линейный, квадратный или более высокой степени. Применяйте стандартные методы.
5. Проверьте корни на ОДЗ — сравните каждый найденный корень со списком запрещённых значений из шага 1. Совпадение = посторонний корень, его нужно исключить.
6. Запишите ответ в формате ЕГЭ — если корней несколько (после отсева), в бланк вносится один корень по уточняющему условию задачи (например, наименьший) в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Первый вид дробно-рациональных уравнений

Самый стандартный вид, где дробь равна нулю: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0$.

Алгоритм решения:

1. Исследуем ОДЗ.
2. Приравниваем числитель к нулю и находим значение переменной (знаменатель откидываем).
3. Анализируем полученные корни, сравниваем с ОДЗ.

$$\dfrac{x^{2}+5x+6}{x+2}=0$$

ОДЗ: x ≠ −2

$x^2 + 5x + 6 = 0$

$x_{1} = −3;\ x_{2} = −2$ — не соответствует ОДЗ

Ответ: x = −3

Второй вид дробно-рациональных уравнений

В этом случае в уравнении приравнены друг к другу дроби с одинаковыми знаменателями: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

Алгоритм решения:

1. Исследуем ОДЗ.
2. Приравниваем числители дробей друг к другу и находим значение переменной (знаменатели откидываем).
3. Анализируем полученные корни, сравниваем с ОДЗ.

$$\dfrac{x^{2}-6}{x-3} = \dfrac{x}{x-3}$$

ОДЗ: x ≠ 3

$x^{2} − 6 = x$

$x^{2} − x − 6 = 0$

$D = 1 + 24 = 25$

$x_{1} = 3$ — не соответствует ОДЗ

$x_{2} = −2$

Ответ: x = −2

Третий вид дробно-рациональных уравнений

В этом случае в уравнении приравнены друг к другу дроби с разными знаменателями: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{R(x)}{S(x)}$.

Если дробей две, мы можем пойти по следующему алгоритму:

1. Исследуем ОДЗ.
2. Пользуемся основным свойством пропорции: перемножаем средние и крайние члены пропорции накрест.

   $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$$

3. Анализируем полученные корни, сравниваем с ОДЗ.

   $$\dfrac{12}{7-x}=x$$

   ОДЗ: $x \neq 7$

   $(7-x)x=12$

   $x^{2}-7x+12=0$

   $D=49-48=1$

   $x_{1}=4;\ x_{2}=3$

Ответ: $x_1 = 4;\ x_2 = 3$

Метод пропорции: как решать уравнения из двух дробей

Когда уравнение приведено к виду одна дробь равна другой дроби — $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ — существует более быстрый способ, чем поиск НОК: основное свойство пропорции.

Когда метод пропорции применим:

• Уравнение имеет вид ровно одна дробь = одна дробь: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.
• ОДЗ уже зафиксировано: $b \neq 0$ и $d \neq 0$.
• Числители и знаменатели — многочлены (линейные или квадратные).

Когда метод пропорции НЕ применим напрямую:

• В уравнении три или более слагаемых с дробями — сначала приведите к общему знаменателю.
• В одной из частей уравнения стоит целое выражение плюс дробь — сначала перенесите всё в одну сторону.

Пример применения метода пропорции

Условие: Решите уравнение $\dfrac{4}{x + 2} = \dfrac{2}{x - 1}$.

1. ОДЗ: $x + 2 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$ → $x \neq -2$ и $x \neq 1$.
2. Применяем свойство пропорции: $4 \cdot (x - 1) = 2 \cdot (x + 2)$.
3. Раскрываем: $4x - 4 = 2x + 4$ → $2x = 8$ → $x = 4$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 4 \neq -2$ и $x = 4 \neq 1$ — допустимо.

Ответ: 4.

Четвёртый вид: три дроби с разными знаменателями

Если в уравнении представлена сумма дробно-рациональных выражений, где слагаемых три и более, а знаменатели разные, мы делаем так:

1. Исследуем ОДЗ.
2. Приводим все дроби к одинаковому знаменателю.
3. Откидываем знаменатели и решаем полученное уравнение без них.
4. Анализируем полученные корни, сравниваем с ОДЗ.

$$\dfrac{x-2}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{6}{x^{2}-1}$$

ОДЗ: $x \neq \pm 1$

$(x-2)(x-1)+3(x+1)=6$

$x^{2}-3x+2+3x+3-6=0$

$x^{2}-1=0$

$(x-1)(x+1)=0$

$x_{1}=1;\ x_{2}=-1$ — оба корня не соответствуют ОДЗ

Ответ: $\varnothing$

---

Математические правила и формулы

Формулы сокращённого умножения для раскрытия знаменателей

Формула	Вид	Применение в задачах
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$	Разложить знаменатель вида $x^2 - 4$
Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Раскрыть скобки при домножении
Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Раскрыть скобки при домножении
Куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$	Редко, но встречается в сложных знаменателях
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$	Разложить на множители для нахождения ОДЗ

Правила нахождения НОК для знаменателей

• Числовые знаменатели: разложи каждое число на простые множители, НОК = произведение всех различных простых множителей в максимальной степени. Пример: НОК(4, 6) = 2² × 3 = 12.
• Знаменатели с переменной: разложи каждый знаменатель на множители, НОК = произведение всех различных множителей в максимальной степени. Пример: НОК$(x - 1,\ x^2 - 1)$ = $(x - 1)(x + 1)$.

Признаки упрощения до решения

• Числитель и знаменатель имеют общий множитель → сократите дробь (предварительно зафиксировав ОДЗ из исходного вида).
• Все слагаемые содержат общий множитель → вынесите за скобку.
• Знаменатель — разность квадратов → разложите на два линейных множителя перед нахождением НОК.

Формула проверки

После нахождения корня $x = a$ подставьте его в исходное уравнение. Левая и правая части должны дать одинаковое числовое значение. Если равенство выполняется и $a$ не входит в список запрещённых значений — корень верный.

---

Примеры решения рациональных уравнений

Уровень 1 — базовый

Пример 1: уравнение вида (x + 3) / (x − 2) = 0

Условие: Решите уравнение $\dfrac{x + 3}{x - 2} = 0$.

1. ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ → $x \neq 2$.
2. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $x + 3 = 0$ → $x = -3$.
3. Проверка на ОДЗ: $x = -3 \neq 2$ — допустимо.

Ответ: −3.

Пример 2: уравнение 1/x + 3 = 4/x

Условие: Решите уравнение $\dfrac{1}{x} + 3 = \dfrac{4}{x}$.

1. ОДЗ: $x \neq 0$.
2. Домножаем обе части на $x$: $1 + 3x = 4$.
3. Решаем: $3x = 3$ → $x = 1$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 1 \neq 0$ — допустимо.

Ответ: 1.

Уровень 2 — средний

Пример 3: знаменатель x² − 4

Условие: Решите уравнение $\dfrac{5}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{x - 2}$.

1. ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$. Раскладываем: $(x - 2)(x + 2) \neq 0$ → $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
2. Приводим к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$ и получаем $5 = (x + 2)$.
3. Решаем: $x = 3$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 3 \neq 2$ и $x = 3 \neq -2$ — допустимо.

Ответ: 3.

Пример 4: найдите сумму корней — формат реального задания 6

Условие: Решите уравнение $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$. Найдите сумму корней.

1. ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$ → $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. НОК = $(x - 1)(x + 1)$. Домножаем: $x(x + 1) - 2(x - 1) = x^2 + 1$.
3. Раскрываем: $-x + 2 = 1$ → $x = 1$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 1$ — запрещённое значение. Уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней (∅).

Уровень 3 — повышенный

Пример 5: три дроби, НОК со степенями

Условие: Решите уравнение $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{5}{x^2}$.

1. ОДЗ: $x \neq 0$.
2. НОК = $x^2$. Домножаем: $3x + 2 = 5$.
3. Решаем: $3x = 3$ → $x = 1$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 1 \neq 0$ — допустимо.

Ответ: 1.

Пример 6: корень «выпадает» по ОДЗ — это не ошибка

Условие: Решите уравнение $\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 3} = \dfrac{6}{x^2 - 9}$.

1. ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$ → $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. НОК = $(x - 3)(x + 3)$. Домножаем: $(x + 3) + (x - 3) = 6$ → $2x = 6$ → $x = 3$.
3. Проверка на ОДЗ: $x = 3$ — запрещённое значение. Исключаем.

Ответ: нет корней. Это правильный ответ — уравнение не имеет решений по условию ОДЗ.

Уровень 4 — задание ЕГЭ «как есть»

Пример 7: полное пошаговое решение с оформлением ответа

Условие: Решите уравнение $\dfrac{2x + 1}{x^2 + x} = \dfrac{3}{x}$. Найдите наименьший корень.

1. ОДЗ: $x^2 + x \neq 0$ → $x(x + 1) \neq 0$ → $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
2. НОК = $x(x + 1)$, домножаем: $2x + 1 = 3(x + 1)$.
3. Раскрываем: $2x + 1 = 3x + 3$ → $-x = 2$ → $x = -2$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = -2 \neq 0$ и $x = -2 \neq -1$ — допустимо.
5. Проверка подстановкой: $\dfrac{2 \cdot (-2) + 1}{(-2)^2 + (-2)} = \dfrac{-3}{2} = -1{,}5$; $\dfrac{3}{-2} = -1{,}5$. Равенство выполняется. ✓

Ответ: −2.

Пример 8: рациональное уравнение, замаскированное под другой тип

Условие: Решите уравнение $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 5$.

1. ОДЗ: $x - 3 \neq 0$ → $x \neq 3$.
2. Числитель $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Сокращаем дробь (ОДЗ уже зафиксировано): получаем $x + 3$.
3. Уравнение принимает вид: $x + 3 = x + 5$ → $3 = 5$ — противоречие.
4. Уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

---

Типичные ошибки при решении рациональных уравнений

Ошибка	Почему возникает	Как исправить
Не нашёл ОДЗ перед решением	Торопится, кажется «и так понятно»	Всегда первый шаг — выписать ОДЗ отдельной строкой до любых преобразований
Применил метод пропорции без фиксации ОДЗ	Перемножил крест-накрест, не записав запрещённые значения	ОДЗ — до перемножения. Сначала фиксируем: $b \neq 0$, $d \neq 0$, потом $ad = bc$
Домножил на знаменатель с переменной, не проверив его на ноль	Привычка из целых уравнений, где знаменатель — число	Перед домножением зафиксируй: найденный корень ≠ значение, обнуляющее знаменатель
Потерял корень при сокращении дроби	Сократил $(x - a)$ без записи ОДЗ из исходного уравнения	ОДЗ фиксируется до сокращений — из оригинального вида уравнения
Не проверил ответ подстановкой	Считает, что алгебраические преобразования гарантируют правильность	Подстановка — 30 секунд страховки. Вычисли числовое значение обеих частей
Записал лишние корни (не проверил на ОДЗ)	Забыл последний шаг алгоритма после решения упрощённого уравнения	Шаг 5 обязателен. Сравни каждый корень с запрещёнными значениями
Ошибка в раскрытии скобок после домножения	Невнимательность при работе с минусом перед скобкой	Расписывай раскрытие скобок явно, построчно — не в уме
Не заметил свойство коэффициентов квадратного уравнения	Автоматически считает дискриминант, не проверив сумму коэффициентов	Перед дискриминантом — 2 секунды проверки: $a + b + c = ?$ и $a - b + c = ?$

---

Задание 6 профильного ЕГЭ: разбор формата и стратегия решения

Что проверяет задание 6

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение решать рациональные уравнения: целые и дробно-рациональные. По кодификатору ФИПИ это навык «Преобразование рациональных алгебраических выражений и решение уравнений». Задание первой части КИМ, первичный балл — 1.

Типичные формулировки

• «Решите уравнение ...» — записать все корни через запятую в порядке возрастания.
• «Найдите корень уравнения» — один корень (обычно уравнение имеет единственное решение).
• «Найдите наименьший положительный корень» — среди допустимых корней выбрать наименьший из положительных.
• «Найдите сумму корней» — сложить все допустимые корни.

В спецификации закреплено: при получении нескольких корней после отсева по ОДЗ в бланк ответов вносится только один корень по уточняющему условию — в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Структура ответа: что писать, что не писать

Ситуация	Что записать в бланк
Один корень	Число (например: $-3$ или $0{,}5$)
Несколько корней, нужна сумма	Числовое значение суммы
Несколько корней, нужен наименьший	Одно число — наименьший из корней
Нет корней	Для первой части ЕГЭ такие задания не характерны; если произошло — перепроверьте условие

---

Задачи для самостоятельного решения

Блок А — 6 задач с ответами

№	Уравнение	Ключевой шаг	Ответ
1	$\dfrac{x - 5}{x + 1} = 0$	Числитель = 0, проверить ОДЗ	5
2	$\dfrac{2}{x} - 1 = \dfrac{1}{x}$	Привести к общему знаменателю	1
3	$\dfrac{4}{x + 2} = \dfrac{2}{x - 1}$	Метод пропорции, затем проверка ОДЗ	4
4	$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = x - 3$	Разложить числитель, зафиксировать ОДЗ	Нет решений
5	$\dfrac{3}{x - 4} + 1 = \dfrac{7}{x - 4}$	Свести к одному знаменателю	8
6	$\dfrac{3}{x + 5} = \dfrac{5}{x + 7}$	Метод пропорции: $3(x+7) = 5(x+5)$	−8

Блок Б — 3 задачи уровня ЕГЭ с полными решениями

Задача Б1

Условие: Решите уравнение $\dfrac{x}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$. Найдите наименьший корень.

Раскрыть решение

1. ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$ → $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. НОК = $(x + 3)(x - 3)$. Домножаем обе части:
3. $x(x - 3) + 2(x + 3) = x^2 + 3$
4. $x^2 - 3x + 2x + 6 = x^2 + 3$ → $-x + 6 = 3$ → $x = 3$.
5. Проверка на ОДЗ: $x = 3$ — запрещено. Уравнение не имеет решений.

Типичная ошибка: Записать $x = 3$ как ответ без проверки ОДЗ.

Задача Б2

Условие: Решите уравнение $\dfrac{2x}{x - 1} - 3 = \dfrac{x + 2}{x - 1}$.

Раскрыть решение

1. ОДЗ: $x \neq 1$.
2. НОК = $(x - 1)$. Домножаем обе части: $2x - 3(x - 1) = x + 2$.
3. $2x - 3x + 3 = x + 2$ → $-x + 3 = x + 2$ → $1 = 2x$ → $x = 0{,}5$.
4. Проверка на ОДЗ: $x = 0{,}5 \neq 1$ — допустимо.

Ответ: 0,5.

Типичная ошибка: Ошибка в знаке при раскрытии $-3(x - 1)$ — записывают $-3x - 3$ вместо $-3x + 3$.

Задача Б3

Условие: Решите уравнение $\dfrac{3x - 1}{x^2 + 2x} = \dfrac{1}{x}$. Найдите сумму корней.

Раскрыть решение

1. ОДЗ: $x^2 + 2x \neq 0$ → $x(x + 2) \neq 0$ → $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
2. НОК = $x(x + 2)$, домножаем: $3x - 1 = x + 2$ → $x = 1{,}5$.
3. Проверка на ОДЗ: $x = 1{,}5 \neq 0$ и $x = 1{,}5 \neq -2$ — допустимо.

Ответ: 1,5 (единственный корень; сумма корней = 1,5).

Типичная ошибка: Неверно записывают НОК, не учитывая, что $x^2 + 2x = x(x + 2)$.

---

Шпаргалка: рациональные уравнения на ЕГЭ

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ (знаменатель ≠ 0)
2. Выбрать метод: привести к общему знаменателю или применить метод пропорции (для формы «дробь = дробь»)
3. Домножить обе части на НОК
4. Решить упрощённое уравнение (использовать лайфхаки для квадратных уравнений)
5. Проверить корни на ОДЗ
6. Записать ответ в формате ЕГЭ

5 типовых форм уравнений и подходы

Тип	Пример	Ключевой приём
Дробь = 0	$\dfrac{x + a}{x - b} = 0$	Числитель = 0, проверить ОДЗ
Одна дробь = число	$\dfrac{a}{x - b} = c$	Домножить на знаменатель
Дробь = дробь	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$	Метод пропорции: $ad = bc$ (после фиксации ОДЗ)
Квадратный знаменатель	$\dfrac{a}{x^2 - b^2} = \ldots$	Разложить знаменатель, НОК, два ограничения ОДЗ
Сокращаемая дробь	$\dfrac{x^2 - a^2}{x - a} = \ldots$	Зафиксировать ОДЗ, сократить, решить линейное

Лайфхаки для квадратного уравнения после упрощения

Способ	Условие применения	Экономия времени
Теорема Виета	Приведённое уравнение ($a = 1$), целые корни	Высокая — решение устно за 10–15 сек
Свойство суммы коэффициентов ($a+b+c=0$)	Сумма коэффициентов = 0 → $x_1 = 1$, $x_2 = c/a$	Высокая — один корень находится мгновенно
Свойство $a-b+c=0$	При $x = -1$ уравнение = 0 → $x_1 = -1$, $x_2 = -c/a$	Высокая
Дискриминант	Универсальный — любое квадратное уравнение	Средняя — надёжно, но требует вычислений

Частые ошибки и как их избежать

Ошибка	Решение
Не зафиксировал ОДЗ до преобразований	Первый шаг — всегда ОДЗ, отдельной строкой
Применил метод пропорции без ОДЗ	ОДЗ → потом крест-накрест
Не проверил корни на ОДЗ	Шаг 5 обязателен — сравни каждый корень с запрещёнными значениями
Ошибка знака при раскрытии скобок	Расписывай явно, построчно
Не использовал свойства коэффициентов	Проверь $a+b+c$ и $a-b+c$ перед дискриминантом

---

Часто задаваемые вопросы