Уравнение касательной к графику функции: формулы и примеры

---

Если вы хотите не просто разобрать одну тему, а выстроить системную подготовку к ЕГЭ по математике с нуля — по ссылке вы найдёте структурированный курс с разбором всех типов задач, включая задания на производную и касательную, с пошаговыми объяснениями и живой обратной связью от преподавателей.

---

Шпаргалка: формула и 3 шага

Три шага для быстрого решения:

1. Найти производную $f'(x)$ по таблице или правилам дифференцирования
2. Вычислить наклон и ординату: подставить $x_0$ — получить $k = f'(x_0)$ и $y_0 = f(x_0)$
3. Подставить в формулу и привести к стандартному виду $y = kx + b$

---

Что такое касательная к графику функции

Касательная к графику функции в точке $x_0$ — это прямая, которая:

• проходит через точку $(x_0,\, f(x_0))$ на гладкой кривой;
• имеет тот же наклон, что и кривая в этой точке;
• является пределом секущей: если взять две точки на кривой и одну из них неограниченно приближать к другой, секущая прямая стремится к касательной.

Формально: касательная — это линейная аппроксимация функции в локальной окрестности точки касания. Именно это делает понятие касательной фундаментальным инструментом математического анализа.

Как составить уравнение касательной к графику функции

Как поступать, если нужно составить уравнение касательной к графику функции? Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке $x_0$ находится по формуле $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Для упрощения понимания этой формулы запишем алгоритм составления уравнения касательной к кривой y = f(x) в точке $x_0$:

1. Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим $x_0$ в y = f(x) и посчитаем.

2. Продифференцируем функцию y = f(x).

3. Вычислим значение производной в точке касания, для этого подставим $x_0$ в $f'(x)$ и посчитаем.

4. Составим уравнение касательной $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ и приведём его к виду y = kx + b.

Расширенный алгоритм: таблица 5 шагов

Ниже — полный пятишаговый алгоритм составления уравнения касательной к графику функции. Каждый шаг самостоятелен и проверяем.

Шаг	Действие	Что получаем
1	Находим производную $f'(x)$ по правилам дифференцирования	Формула производной как функции от $x$
2	Подставляем $x_0$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0)$	Ордината точки касания
3	Подставляем $x_0$ в производную: $k = f'(x_0)$	Угловой коэффициент касательной
4	Записываем: $y = y_0 + k \cdot (x - x_0)$, упрощаем	Уравнение касательной
5	Проверяем: подставляем $x_0$ в уравнение → должно получиться $y_0$	Подтверждение правильности

Мини-таблица производных для решения задач

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$C$ (константа)	$0$

---

В чём заключается геометрический смысл производной

Одну из главных ролей в записи касательной к графику играет производная, поэтому определим её геометрический смысл.

Пусть задана произвольная функция y = f(x).

На графике этой функции возьмём точку А с координатами $\left(x_0;\, f(x_0)\right)$. А теперь выберем точку B с координатами $\left(x_0 + \Delta x;\, f(x_0 + \Delta x)\right)$ недалеко от точки А.

Проведём через точки A и B прямую.

Угол наклона прямой к оси абсцисс обозначим буквой $\alpha$.

Проведём через точку А прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельную оси ординат. Пусть эти две прямые пересекутся в точке C.

Тогда катет $AC = \Delta x$, а катет $BC = \Delta f$.

Если взять отношение этих значений $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$, то получим отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике ABC, что равно $\tg\,\alpha$.

Если уменьшать расстояние между точками A и B, то будут уменьшаться длины отрезков $\Delta x$ и $\Delta f$ и в какой-то момент точка В совпадёт с точкой A, а отношение $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ станет равно производной функции y = f(x) в точке $x_0$.

Тут может возникнуть вопрос: при чём здесь геометрический смысл производной, если мы начали с касательной?

Касательная — это прямая. Вспомним уравнение прямой: y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, и он равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. А теперь совмещаем все данные и делаем вывод, что $k = \tg\,\alpha = f'(x_0)$.

Это очень важный для нас вывод, чуть позже попробуем применить его на практике, а именно на задачах формата профильного ЕГЭ по математике.

Почему наклон касательной равен производной

Рассмотрим секущую через точки $(x_0,\, f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x,\, f(x_0 + \Delta x))$. Её наклон равен:

$k_{\text{сек}} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

При $\Delta x \to 0$ это отношение стремится к производной. Строго это записывается через предел:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Секущая превращается в касательную. Это и есть геометрический смысл производной: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.

Угловой коэффициент как тангенс угла наклона

Если касательная образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $OX$, то:

$k = f'(x_0) = \tg\,\alpha$

• $k > 0$ → касательная идёт «снизу вверх» (угол острый)
• $k < 0$ → касательная идёт «сверху вниз» (угол тупой)
• $k = 0$ → касательная горизонтальна — это признак точки локального экстремума (максимума или минимума) или перегиба

---

Решение задач

Задача 1

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой $x_0$. Нужно найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции.

Из теории выше мы узнали, как найти угловой коэффициент касательной — он равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. Значит, через целочисленные точки на прямой построим прямоугольный треугольник и найдём отношение противолежащего катета к прилежащему — получится $\dfrac{10}{3}$.

Ответ: 3.

Задача 2

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой $x_0$. Определите угловой коэффициент касательной в точке $x_0$.

Действуйте по уже известным правилам. Получился ответ 0,25? А вот и нет! В данном случае нужно обратить внимание на убывание графика касательной. Видите, она слева направо идёт вниз? Значит, к ответу нужно добавить минус и записать его — получится −0,25.

Ответ: −0,25.

Задача 3

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 36.

Надеюсь, вы не подумали, что мы будем изображать прямую y = 36 и искать касательные, параллельные ей. 🤯 Достаточно будет рассуждений. Прямая y = 36 — горизонтальная прямая с k = 0, а значит, и у касательных к графику k = 0 или тангенс угла наклона касательной к графику функции также будет равен нулю, что может быть только в точках экстремума функции или, проще говоря, в «бугорках» функции.

В ответе просили указать количество таких точек, значит, ответ — 5.

Ответ: 5.

Задача 4

Прямая y = 4x + 13 параллельна касательной к графику функции $y = x^2 - 3x + 5$. Найдите абсциссу точки касания.

Если прямая параллельна касательной к графику функции, то у них будут равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой y = 4x + 13 равен 4, а угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 3x + 5$ равен производной от этой функции, то есть 2x − 3. Приравняем полученные значения и найдём x:

2x − 3 = 4;

x = 3,5.

Ответ: 3,5 — абсцисса точки касания.

Задача 5

Запишите уравнение касательной к параболе $f(x) = x^2 + 25$ в точке $x_0 = -1$.

Воспользуемся алгоритмом выше:

1. Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим $x_0 = -1$ в $f(x) = x^2 + 25$ и посчитаем: $f(-1) = (-1)^2 + 25 = 26$.

2. Продифференцируем функцию: $f'(x) = 2x$.

3. Вычислим значение производной в точке касания: $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

4. Все найденные значения подставим в уравнение касательной: $y = -2(x - (-1)) + 26$.

5. Приведём полученное выражение к виду y = kx + b: y = −2x + 24.

Ответ: уравнение касательной y = −2x + 24.

По условию задачи нас не просили, но мы можем изобразить график квадратичной функции и касательную к параболе для проверки. Если получилась лишь одна точка касания с правильными координатами, значит, наши расчёты были верны!

---

Уравнение нормали к графику функции

Нормаль к графику — прямая, перпендикулярная касательной в точке касания. Если касательная имеет наклон $k$, то наклон нормали:

$k_n = -\dfrac{1}{f'(x_0)}$    (при $f'(x_0) \neq 0$)

Уравнение нормали:

$y - y_0 = k_n \cdot (x - x_0)$

Пример (та же функция, что в Задаче 4.1): $f(x) = x^2 + 2x$, $x_0 = 1$.

Из задачи 4.1: $y_0 = 3$, $k = 4$.

$k_n = -\dfrac{1}{4}$

$y = 3 + \left(-\dfrac{1}{4}\right)(x - 1) = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4} + 3 = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4}$

Ответ: $y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4}$

Частный случай: если касательная вертикальна ($f'(x_0)$ не существует или стремится к $\infty$), нормаль горизонтальна: $y = y_0$.

Характеристика	Касательная	Нормаль
Наклон	$k = f'(x_0)$	$k_n = -\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Точка	$(x_0,\, y_0)$	$(x_0,\, y_0)$ — та же
Связь с кривой	Совпадает по наклону	Перпендикулярна касательной
При $k = 0$	Горизонтальна	Вертикальна: $x = x_0$
При $k = \infty$	Вертикальна: $x = x_0$	Горизонтальна: $y = y_0$

---

Дополнительные задачи с подробным разбором

Задача — Простая: касательная к полиному

Условие: Найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 2x$ в точке $x_0 = 1$.

Решение по шагам:

Шаг 1. Находим производную:

$f'(x) = 2x + 2$

Шаг 2. Находим ординату точки касания:

$y_0 = f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$

Шаг 3. Находим угловой коэффициент:

$k = f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$

Шаг 4. Записываем уравнение касательной:

$y = 3 + 4 \cdot (x - 1) = 3 + 4x - 4 = 4x - 1$

Шаг 5. Проверяем:

$y(1) = 4 \cdot 1 - 1 = 3 = y_0$ ✓

Ответ: $y = 4x - 1$

---

Задача — Средняя: касательная к рациональной функции

Условие: Найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ в точке $x_0 = 0$.

Шаг 1. Находим производную (правило дифференцирования дроби):

$f'(x) = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}$

Шаг 2. Ордината точки касания:

$y_0 = f(0) = \dfrac{1}{0 + 1} = 1$

Шаг 3. Угловой коэффициент:

$k = f'(0) = -\dfrac{1}{(0 + 1)^2} = -1$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$y = 1 + (-1) \cdot (x - 0) = 1 - x$

Шаг 5. Проверяем:

$y(0) = 1 - 0 = 1 = y_0$ ✓

Ответ: $y = -x + 1$

---

Задача — Средняя: точка задана по ординате ($x_0$ неизвестна)

Условие: Для функции $f(x) = x^2$ найти все касательные, в точках касания которых $y_0 = 9$.

Метод: Сначала найти $x_0$ из уравнения $f(x_0) = y_0$, затем применить стандартный алгоритм.

Шаг 1. Составляем уравнение для $x_0$:

$x_0^2 = 9 \;\Rightarrow\; x_0 = 3$ или $x_0 = -3$

Шаг 2. Производная: $f'(x) = 2x$

Для $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = 6;\quad y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$

Для $x_0 = -3$:

$k = f'(-3) = -6;\quad y = 9 + (-6)(x + 3) = -6x - 9$

Ответ: две касательные — $y = 6x - 9$ и $y = -6x - 9$

---

Задача — Сложная: касательная к параметрически заданной кривой

Условие: Кривая задана параметрически: $x = t^2$, $y = t^3$. Найти уравнение касательной при $t = 1$.

Формула наклона для параметрической кривой:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$

Шаг 1. Находим производные по параметру:

$\dfrac{dx}{dt} = 2t;\quad \dfrac{dy}{dt} = 3t^2$

Шаг 2. Наклон касательной:

$k = \dfrac{3t^2}{2t} = \dfrac{3t}{2}$. При $t = 1$: $k = \dfrac{3}{2}$

Шаг 3. Координаты точки касания при $t = 1$:

$x_0 = 1^2 = 1;\quad y_0 = 1^3 = 1 \;\Rightarrow\;$ точка $(1;\, 1)$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$y - 1 = \dfrac{3}{2}(x - 1) \;\Rightarrow\; y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}$

Ответ: $y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}$

Случай вертикальной касательной: если $dx/dt = 0$ при $dy/dt \neq 0$, касательная вертикальна и записывается как $x = x_0$.

---

Задача — Сложная: касательная к неявно заданной функции

Условие: Найти уравнение касательной к окружности $x^2 + y^2 = 25$ в точке $(3;\, 4)$.

Формула наклона через частные производные: Для функции $F(x, y) = 0$:

$k = -\dfrac{F'_x}{F'_y}$

Шаг 1. Выражаем $F$: $F(x, y) = x^2 + y^2 - 25$

Шаг 2. Частные производные:

$F'_x = 2x;\quad F'_y = 2y$

Шаг 3. Наклон в точке $(3;\, 4)$:

$k = -\dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\dfrac{6}{8} = -\dfrac{3}{4}$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3) \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4} + 4 = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$

Ответ: $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$

---

---

---

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка	Почему возникает	Как избежать
Вычислили $k = f'(x_0)$, но не нашли $y_0 = f(x_0)$	Путают два разных вычисления	Всегда считать $y_0$ и $k$ отдельными строками до записи уравнения
Использовали форму $y = kx + b$ и искали $b$ в уме	Привычка из базовой формулы прямой	Использовать форму $y - y_0 = k(x - x_0)$ — она надёжнее и быстрее
Перепутали $x$ (переменную) и $x_0$ (константу)	Невнимательность при записи	Выделять $x_0$ цветом или рамкой при решении на черновике
Забыли упростить уравнение до стандартного вида	Спешка при проверке	Подставлять $x_0$ в итоговое уравнение — должно получиться $y_0$
Неверный знак при дифференцировании	Ошибки в правилах производной (особенно у $\cos$ и $1/x$)	Сверяться с таблицей производных до и после вычисления
Вертикальная касательная записана как $y = \ldots$	Непонимание частного случая недифференцируемости	Если $f'(x_0)$ не существует — проверить: возможно, касательная вертикальна и записывается как $x = x_0$
В задаче «точка вне графика» подставили $M$ как точку касания	Не замечают, что точка не лежит на кривой	Сначала проверить: $f(a_M) = b_M$? Если нет — вводить параметр $x_0$ и составлять уравнение
В задаче «параллельная прямая» нашли только одно $x_0$	Решают уравнение $f'(x) = k$ неполностью	Решать уравнение на все корни; квадратное уравнение может давать два решения

---

Мини-тест: проверь себя

Решите задачи самостоятельно. После каждой задачи проверьте себя по спойлеру с ответом.

---

---

FAQ — Частые вопросы

---

Некоторые темы математики, как клубок ниток, содержат в себе понятия и правила из других тем. Не понимая прошлые темы, не удастся разобраться и в новой. На каждом уроке курсов обучения математике в онлайн-школе Skysmart мы актуализируем уже имеющиеся знания, поэтому не разобраться не получится. Приходите на бесплатный вводный урок за подробным разбором сильных и слабых сторон и конкретными рекомендациями, как улучшить оценки и подготовиться к экзаменам!