Число перестановок в математике: формула и примеры

Для кого эта статья

Ключевые выводы из статьи

Если вы хотите не просто прочитать теорию, а систематически отработать навык решения задач на перестановки и другие темы ЕГЭ — изучите раздел самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике в Skysmart: там собраны разборы задач, тренажёры и актуальные материалы под формат 2026 года.

---

Базовые правила комбинаторики: суммы и произведения

Прежде чем перейти к формуле перестановок, важно понять два фундаментальных принципа, на которых строится вся комбинаторика. Именно они объясняют, почему P(n) = n!, а не какое-либо другое значение.

Почему в перестановках используется именно правило произведения?

Расстановка n элементов — это последовательность из n независимых шагов: сначала выбираем элемент на 1-е место ($n$ вариантов), затем на 2-е ($n-1$ вариантов) и т.д. Поскольку шаги выполняются последовательно и независимо, их варианты перемножаются:

$$P(n) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 = n!$$

Таким образом, формула $P(n) = n!$ — это прямое следствие правила произведения, а не просто соглашение.

---

Что такое перестановка

Строго говоря, перестановка — это биекция (взаимно однозначное отображение) конечного множества $\{1, 2, \ldots, n\}$ на себя. Именно поэтому в перестановке обязательно задействованы все $n$ элементов — никаких «пропусков» быть не может.

В обозначении комбинаторики число перестановок из n элементов записывается как $P(n)$ или $P_n$.

Количество перестановок

Если у нас есть множество из $n$ различных элементов, то число возможных перестановок этого множества равно $n!$ (n-факториал), где

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$$

Пример: для множества из 3 элементов $\{A, B, C\}$ возможные перестановки: $ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$. Их всего 6, что соответствует $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Формула числа перестановок

Расшифровка символов:

• $P(n)$ — число перестановок из $n$ элементов
• $n$ — мощность конечного множества (количество различных объектов)
• $n!$ — факториал числа $n$ (произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$)

Таблица значений факториала от 0 до 10

n	n! (число перестановок)	Пример
0	1	Пустое множество
1	1	A
2	2	AB, BA
3	6	ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
4	24	4 книги на полке
5	120	5 человек в ряд
6	720	6 участников
7	5 040	7 нот
8	40 320	8 шахматных фигур
9	362 880	—
10	3 628 800	—

Почему формула — именно n!: принцип произведения

Обоснование через правило произведения (базовый принцип комбинаторики):

• На 1-е место можно поставить любой из $n$ объектов → $n$ вариантов
• На 2-е место — любой из оставшихся $(n-1)$ объектов → $(n-1)$ вариантов
• На 3-е место — $(n-2)$ варианта
• …и так далее до последнего места, на котором остаётся 1 вариант

По правилу произведения перемножаем все варианты:

Это не соглашение, а строгое следствие принципа произведения из дискретной математики, которое также строго доказывается методом математической индукции.

---

Факториал: основа формулы перестановок

Явная форма:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Рекуррентная форма (определение через себя):

$$0! = 1$$

$$n! = n \cdot (n-1)! \quad \text{при } n \geq 1$$

Рекуррентная форма особенно важна в программировании — именно она лежит в основе рекурсивных алгоритмов вычисления факториала.

Частный случай: почему 0! = 1

Как быстро вычислить факториал

Вручную (для $n \leq 10$): последовательно умножать от 1 до $n$. Пример: $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

В Excel / Google Sheets: формула =ФАКТР(n). Например, =ФАКТР(7) вернёт 5040.

Важно: факториал растёт чрезвычайно быстро — $20!$ уже превышает 2,4 квинтиллиона. Для больших чисел применяется формула Стирлинга (асимптотическое приближение), которая используется в высшей математике и статистике.

---

---

Как считать число перестановок: пошаговые примеры

Базовый уровень (школа, ОГЭ)

Средний уровень (ЕГЭ / контрольная)

Повышенный уровень (олимпиада / профильный ЕГЭ)

---

Перестановки с повторениями

Если некоторые элементы в множестве повторяются, формула нахождения числа перестановок становится сложнее. Если элемент $a$ повторяется $p$ раз, элемент $b$ повторяется $q$ раз и так далее, то число перестановок определяется следующим образом:

$$\frac{n!}{p! \times q! \times ...}$$

Пример: для слова $AAB$ возможные перестановки: $AAB, ABA, BAA$. Их всего 3, что соответствует $\dfrac{3!}{2!} = 3$.

Когда применять формулу

Если среди $n$ элементов есть одинаковые (неразличимые) объекты, простая формула $n!$ даёт завышенный результат: она считает перестановки одинаковых элементов между собой как разные, хотя на деле они неотличимы.

Формула перестановок с повторениями

где:

• $n$ — общее число элементов
• $k_1, k_2, \ldots, k_m$ — количества повторений каждого из одинаковых элементов
• $k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n$

Эта формула также называется полиномиальным коэффициентом и напрямую связана с понятием мультимножества в дискретной математике.

Пример: анаграммы слова «МАТЕМАТИКА»

Понимание принципов перестановок полезно во многих областях: от криптографии (где важен порядок символов для шифрования) до оптимизации маршрутов в логистике (выбор оптимального порядка посещения точек).

Перестановки представляют собой основное понятие комбинаторики, позволяющее описать все возможные упорядоченные комбинации элементов из заданного множества. Понимание этой концепции полезно не только теоретикам, но и практикам в различных областях науки и техники.

---

Частичные перестановки — размещения без повторений

Когда нужна формула размещений

Если из $n$ элементов нужно выбрать $k$ штук и расставить их в определённом порядке ($k < n$), то это уже не перестановка, а размещение без повторений.

Ключевое отличие: в перестановке задействуются все $n$ элементов; в размещении — только $k$ из $n$.

Формула размещений

Пример: призовые места из 8 участников

Граничный случай: связь с перестановкой

При $k = n$: $A(n, n) = \dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = \dfrac{n!}{1} = n! = P(n)$

То есть обычная перестановка — частный случай размещения при $k = n$. Формулы согласованы.

---

Сравнительная таблица: перестановки, размещения, сочетания

Параметр	Перестановка $P(n)$	Размещение $A(n,k)$	Сочетание $C(n,k)$
Порядок важен?	✅ Да	✅ Да	❌ Нет
Все элементы задействованы?	✅ Да	❌ Нет (только $k$ из $n$)	❌ Нет (только $k$ из $n$)
Формула	$n!$	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	$\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
Пример сюжета	Очерёдность 5 человек	Топ-3 из 10 (с учётом мест)	Команда 3 из 10 (без мест)
Числовой результат ($n=5$, $k=3$)	$5! = 120$	$\dfrac{5!}{2!} = 60$	$\dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$

Алгоритм выбора нужной формулы

---

Типичные ошибки при решении задач на перестановки

Ошибка	Неверный ход	Правильный ход
Ошибка 1: Перепутаны перестановка и размещение	На 3 призовых места из 7 участников применяют $P(7) = 5040$	Нужно $A(7,3) = \dfrac{7!}{4!} = 210$, так как задействованы не все элементы
Ошибка 2: Игнорирование повторяющихся элементов	Буквы слова «АННА» → $4! = 24$ варианта	$P(4;\, 2, 2) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$ вариантов (Н и А повторяются дважды)
Ошибка 3: Неверное толкование условия	«Выбрать команду из 3 человек» → считают с учётом порядка	В команде порядок не важен → нужна формула сочетаний $C(n,k)$
Ошибка 4: Игнорирование $0! = 1$	В формуле $A(n,n)$: делят на $0!$ и считают, что деление невозможно	$0! = 1$ по определению; $A(n,n) = \dfrac{n!}{0!} = \dfrac{n!}{1} = n!$ — формула корректна
Ошибка 5: Путаница с правилом суммы и произведения	«Выбрать рубашку И брюки» → складывают $3 + 4 = 7$	Последовательный выбор (И) → умножение: $3 \times 4 = 12$. Складывают только при «ИЛИ»

---

Перестановки в основах комбинаторики: связь с другими темами

Правило произведения как основа n!

Формула $P(n) = n!$ — прямое следствие правила произведения комбинаторики: если независимые события могут произойти $m_1, m_2, \ldots, m_k$ способами, то все они вместе — $m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_k$ способами. Выбор элементов на позиции $1, 2, \ldots, n$ — это именно такие независимые события.

Связь с биномиальными коэффициентами и треугольник Паскаля

Формула сочетаний $C(n,k) = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$ выражена через те же факториалы. Биномиальный коэффициент подсчитывает число $k$-элементных подвыборок из $n$, то есть перестановок, где два набора с одинаковым составом (но разным порядком) считаются одним. Деление на $k!$ «стирает» порядок внутри выбранной $k$-элементной группы.

Перестановочная группа $S_n$ (для продвинутых)

Совокупность всех перестановок $n$-элементного множества образует математическую структуру — симметрическую группу $S_n$ с операцией композиции (последовательного применения перестановок). Порядок группы $S_n$ равен $n!$. Это один из фундаментальных объектов теории групп, связанный с теорией Галуа и алгеброй.

Циклическая запись перестановки

Перестановку можно записать в циклической нотации. Например, перестановка ($1{\to}2,\ 2{\to}3,\ 3{\to}1,\ 4{\to}4$) записывается как $(1\ 2\ 3)(4)$. Это компактная запись, используемая в алгебре, криптографии и анализе алгоритмов сортировки.

---

Шпаргалка: все формулы перестановок

Тип	Условие применения	Формула	Пример ($n=5$, $k=3$)
Перестановка без повторений	$n$ различных элементов, все участвуют, порядок важен	$P(n) = n!$	$5! = 120$
Перестановка с повторениями	Есть неразличимые элементы; $k_1+\ldots+k_m = n$	$P = \dfrac{n!}{k_1! \cdot \ldots \cdot k_m!}$	«АННА»: $\dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$
Размещение без повторений	$k$ из $n$, порядок важен, $k < n$	$A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$	$A(5,3) = 60$
Сочетание без повторений	$k$ из $n$, порядок НЕ важен	$C(n,k) = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$	$C(5,3) = 10$
Правило суммы	Выбор «A или B» (взаимоисключающие варианты)	$m + n$	4 пирожка или 3 пирожных = 7
Правило произведения	Последовательный выбор «A и затем B»	$m \times n$	3 рубашки × 4 брюки = 12

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чем перестановка отличается от размещения и сочетания?

Перестановка — упорядочивание всех $n$ элементов (порядок важен, задействованы все). Размещение — упорядочивание $k$ из $n$ элементов (порядок важен, но не все задействованы). Сочетание — выбор $k$ из $n$ без учёта порядка (результат — неупорядоченное подмножество). Ключевой вопрос: важен ли порядок и все ли элементы используются?

Как вычислить число перестановок, если элементы повторяются?

Применяется формула перестановок с повторениями: $P = \dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!}$, где $k_1, k_2, \ldots$ — количества повторений каждого типа элементов. Например, для слова «МАМА» (4 буквы, М — 2 раза, А — 2 раза): $P = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6$.

Что такое 0! и почему 0! = 1?

Факториал нуля равен единице по определению, вытекающему из рекуррентного соотношения $n! = n \cdot (n-1)!$. При $n=1$: $1! = 1 \cdot 0!$, откуда $0! = 1$. Это соглашение обеспечивает корректность всех формул комбинаторики, в том числе при $k=0$ и $k=n$ в формулах сочетаний и размещений.

Чем правило суммы отличается от правила произведения?

Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих групп («или»): варианты складываются. Правило произведения применяется при последовательных независимых выборах («и»): варианты перемножаются. Именно правило произведения объясняет, почему формула перестановок равна $n!$, а не $n \cdot (n-1)$ или $n+(n-1)+\ldots$

Можно ли считать перестановки в Excel?

Да. Для $P(n) = n!$ используйте формулу =ФАКТР(n). Для размещений $A(n,k)$ — формулу =ПЕРМУТ(n; k). Для сочетаний $C(n,k)$ — =ЧИСЛКОМБ(n; k). Excel корректно обрабатывает значения до $n = 170$ (далее возникает переполнение числового формата).

Сколько перестановок у 5, 6, 7 и 10 элементов?

• $P(5) = 5! = 120$
• $P(6) = 6! = 720$
• $P(7) = 7! = 5\,040$
• $P(10) = 10! = 3\,628\,800$

Рост факториала экспоненциально быстрый: добавление одного элемента умножает число перестановок на $(n+1)$.

Как найти число перестановок из n по k (частичные перестановки)?

Используйте формулу размещений: $A(n, k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$. Например, из 10 участников выбрать и упорядочить 4: $A(10, 4) = \dfrac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$. Обратите внимание: длинное произведение можно вычислить без полного раскрытия факториала — сокращение происходит автоматически.

Как связаны перестановки и теория вероятностей?

В классической вероятностной модели вероятность события = (число благоприятных исходов) / (общее число равновозможных исходов). Когда пространство исходов — набор всех перестановок (например, случайная расстановка предметов), знаменатель дроби равен $P(n) = n!$, а числитель вычисляется подсчётом перестановок с нужным свойством. Это прямое применение перестановок в теории вероятностей.

Как доказать формулу P(n) = n!?

Формальное доказательство проводится методом математической индукции. База: $P(1) = 1 = 1!$. Шаг индукции: предполагая $P(n-1) = (n-1)!$, $n$-й элемент можно вставить в любую из $n$ позиций каждой из $(n-1)!$ перестановок. По правилу произведения: $P(n) = n \cdot (n-1)! = n!$. Этот подход используется в вузовских курсах дискретной математики и теории чисел.