Угол между прямыми — формулы и примеры для ЕГЭ

Если вы готовитесь к ЕГЭ и хотите не просто выучить формулы, но выстроить системное понимание всей математики, — ознакомьтесь с пошаговым планом подготовки к экзамену ЕГЭ по математике: там вы найдёте структурированную программу, разбор типичных ошибок и шаги от нуля до высокого балла.

Угол между прямыми на плоскости

Что такое угол между прямыми

Когда две прямые на плоскости пересекаются, они образуют четыре угла. Чтобы правильно понимать, что такое «угол между прямыми», важно разобраться в геометрических свойствах этих четырёх углов.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Когда мы рассматриваем положение прямых на плоскости (в декартовой системе координат XY), они могут:

• быть параллельны друг другу;
• пересекаться (в том числе быть перпендикулярными друг другу);
• совпадать.

Случай	Условие (через коэффициенты)	Угол	Что делать дальше
Прямые пересекаются	$k_1 \neq k_2$ (для уравнений $y = kx + b$)	$(0°;\,90°]$	Применить формулу для угла
Прямые параллельны	$k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$	0°	Угол не вычислять, он равен 0°
Прямые совпадают	$k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$	0°	Это одна и та же прямая

Если прямые параллельны друг другу, они никогда не пересекутся, следовательно, у них нет общих точек и они не образуют углы.

Если прямые совпадают, у них бесконечное множество общих точек, но между ними по-прежнему не возникает углов.

Если прямые пересекаются, у них есть одна общая точка, и вследствие пересечения образуются 4 угла.

Углы, образованные при пересечении прямых

При пересечении двух прямых формируются два типа пар углов:

• Сумма смежных углов всегда равна 180°. Если один угол равен $\varphi$, то смежный с ним равен $180° - \varphi$.
• Вертикальные углы всегда равны между собой.

Так, на рисунке углы 4 и 2, 1 и 3 — вертикальные. Углы 4 и 1, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 — смежные.

Углом между прямыми принято считать наименьший угол (острый). В случае если прямые пересекаются под углом 90°, т. е. прямые перпендикулярны друг другу, за угол между прямыми можно считать любой из прямых углов.

Связь углового коэффициента с углом наклона прямой

Угловой коэффициент $k$ прямой $y = kx + b$ геометрически равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox:

$$k = \tg \alpha$$

где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси Ox ($\alpha \in [0°;\,180°),\;\alpha \neq 90°$).

Именно эта связь лежит в основе формулы через угловые коэффициенты: если первая прямая наклонена под углом $\alpha$ к оси Ox, а вторая — под углом $\beta$, то угол между прямыми есть разность $\varphi = \alpha - \beta$. Применение формулы тангенса разности к этому выражению и даёт рабочую формулу для вычисления угла.

Как найти угол между двумя прямыми на плоскости

1. Если необходимо найти угол по рисунку (чертежу), достаточно знать любой из углов, полученных при пересечении прямых. Если известный угол острый, он и будет считаться углом между прямыми. Если известный угол тупой, необходимо найти значение смежного с ним угла.

   Задача 1

   При пересечении прямых $a$ и $b$ был получен угол, равный 110°. Найдите угол между прямыми.

   

   Известный угол — тупой. Найдём смежный с ним: $\varphi = 180° - 110° = 70°$.

2. Если прямые заданы с помощью уравнения $y = kx + b$, необходимо воспользоваться формулой:

   $$\tg \varphi = \dfrac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}$$

   Таким образом вы найдёте тангенс угла (и этого часто достаточно для ответа).

   Если же в задании необходимо дать точное значение угла, можно воспользоваться таблицей Брадиса, где каждому значению тригонометрической функции сопоставлено значение соответствующего угла.

   Важно: по значению угловых коэффициентов k можно заранее проверить, являются ли прямые перпендикулярными или параллельными:

   • если коэффициенты k у прямых равны, прямые являются параллельными;

   • если $k_1 \cdot k_2 = -1$, прямые перпендикулярны.

   Задача 2

   Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями: $y=\dfrac{2}{3}x$ и $y=3x+1$.

   Определим угловые коэффициенты: $k_{1}=\dfrac{2}{3};\;k_{2}=3$.

   Так как коэффициенты не равны, прямые не параллельны и не перпендикулярны ($k_{1} \cdot k_{2} \neq -1$). Подставим значения в формулу:

   $$\tg \varphi = \dfrac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}=\dfrac{3-\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{2}{3}\cdot 3}=\dfrac{7}{9}$$

   $$\varphi=\arctg\left(\dfrac{7}{9}\right)$$

3. Если прямые заданы через векторы, то можно воспользоваться формулой для вычисления скалярного произведения векторов:

   

   Задача 3

   Найти угол между векторами $\bar{a}(-1;\,0)$ и $\bar{b}(-3;\,-2)$, если их длины соответственно равны 2 и 5.

   $$\cos\varphi=\dfrac{\bar{a}\cdot\bar{b}}{|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|}=\dfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|}=\dfrac{-1\cdot(-3)+0\cdot(-2)}{2\cdot5}=\dfrac{3}{10}=0{,}3$$

   Ответ: $\cos\varphi=0{,}3$, $\varphi=\arccos(0{,}3)$.

Альтернативный алгоритм нахождения направляющего вектора

Если заучивать формулы перехода неудобно, используйте универсальный способ нахождения направляющего вектора через две точки на прямой.

Метод подстановки: как получить две точки на прямой

1. Возьмите уравнение прямой, например $3x - 2y + 6 = 0$.
2. Подставьте $x = 0$: найдите $y$. Получите первую точку $M_1(0,\,y_1)$.
3. Подставьте $y = 0$: найдите $x$. Получите вторую точку $M_2(x_2,\,0)$.
4. Направляющий вектор: $\vec{a} = M_2 - M_1 = (x_2,\,-y_1)$.

Для $3x - 2y + 6 = 0$: при $x=0 \Rightarrow y=3$, точка $M_1(0,\,3)$; при $y=0 \Rightarrow x=-2$, точка $M_2(-2,\,0)$. Вектор $\vec{a} = (-2,\,-3)$ или $(2,\,3)$ (направление не важно).

Связь с нормалью: для прямой $y = kx + b$ нормальный вектор $\vec{n} = (1,\,-k)$, а направляющий вектор $\vec{a} = (k,\,1)$ либо $\vec{a} = (1,\,k)$. Нормаль перпендикулярна прямой, направляющий вектор — параллелен ей.

Через векторы нормалей

Формула через нормали:

$$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Когда применять: прямые заданы общим уравнением $Ax + By + C = 0$. Нормальный вектор — вектор из коэффициентов при переменных: $\vec{n} = (A,\,B)$. Он перпендикулярен прямой.

Вывод формулы угла через тангенс разности

Формула $\tg \varphi = \left|\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$ напрямую следует из тригонометрической формулы тангенса разности двух углов.

Пошаговый вывод:

1. Постановка задачи. Пусть прямая $l_1$ наклонена к оси Ox под углом $\alpha$ ($k_1 = \tg\alpha$), а прямая $l_2$ — под углом $\beta$ ($k_2 = \tg\beta$). Угол между прямыми $\varphi = \alpha - \beta$.
2. Применяем формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \dfrac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\cdot\tg\beta}$
3. Подставляем $k_1 = \tg\alpha$ и $k_2 = \tg\beta$: $\tg\varphi = \dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1\cdot k_2}$
4. Берём модуль, чтобы перейти к углу между прямыми (всегда острому или прямому): $\tg\varphi = \left|\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1\cdot k_2}\right|$
5. Откуда модуль? Если $\alpha < \beta$, разность отрицательна и даёт тупой угол. Модуль «переворачивает» его в острый смежный.

Итог: условие перпендикулярности $k_1\cdot k_2 = -1$ следует из обращения знаменателя в ноль: $\tg\varphi \to \infty$, то есть $\varphi = 90°$.

Угол между прямыми в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве

Если мы рассматриваем расположение прямых в пространстве, для этого случая справедливы все вышеперечисленные варианты: прямые могут совпадать, быть параллельными и пересекаться. Помимо этого, возможен ещё один случай — прямые могут быть скрещивающимися.

Случай	Определение	Лежат ли в одной плоскости?	Угол
Пересекаются	Имеют ровно одну общую точку	Да	$(0°;\,90°]$
Параллельны	Не имеют общих точек, лежат в одной плоскости	Да	0°
Совпадают	Все точки общие	Да	0°
Скрещиваются	Не пересекаются и не параллельны — не лежат в одной плоскости	Нет	$(0°;\,90°]$

Представьте себе коробку (параллелепипед). Рёбра $c$ и $d$ лежат в разных плоскостях и чисто физически никаким образом друг друга не касаются, не имеют общих точек, они не параллельны друг другу. Но если бы мы каким-то образом смогли приблизить их друг к другу, они могли бы пересечься.

Или представьте мост, нависающий над рекой. Дорога по мосту и по реке не пересекаются, не параллельны друг другу — мы физически можем проплыть под мостом по реке или перейти мост и увидеть людей, проплывающих внизу.

Чем скрещивающиеся прямые отличаются от параллельных: параллельные прямые лежат в одной плоскости и никогда не пересекутся. Скрещивающиеся прямые не лежат ни в какой одной плоскости — их невозможно «переместить» в одну плоскость без изменения направления.

Как определить скрещивающиеся прямые по уравнениям

Система уравнений двух прямых в пространстве не имеет решения, и при этом направляющие векторы не коллинеарны (не пропорциональны) → прямые скрещиваются.

Угол между прямыми в пространстве: формула

Формула остаётся той же, что и для плоскости, но теперь направляющие векторы трёхмерные:

$$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

где $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3),\;\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$; $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$; $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$.

Как найти направляющий вектор из канонического уравнения прямой в пространстве:
Каноническое уравнение: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$
Направляющий вектор: $\vec{a} = (l,\,m,\,n)$ — это знаменатели трёх дробей.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным скрещивающимся прямым.

Мы можем рассчитать угол между скрещивающимися прямыми. Для этого:

1. Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, и только одну.
2. Параллельным переносом перенесём одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.
3. Найдём угол между этими прямыми.

Геометрический метод: параллельный перенос

1. Выберите произвольную точку $O$ в пространстве.
2. Проведите через $O$ прямую $a'$, параллельную первой скрещивающейся прямой $a$.
3. Проведите через $O$ прямую $b'$, параллельную второй скрещивающейся прямой $b$.
4. Прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $O$. Угол между ними — это угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$.

Этот метод теоретически корректен, но на практике для вычислений всегда используют координатный метод с направляющими векторами.

Метод проекций

1. Одну из прямых проецируют на плоскость, содержащую другую прямую.
2. Угол между исходной прямой и её проекцией — это угол, на который прямая «наклонена» относительно этой плоскости.
3. Этот угол затем используется для вычисления угла между исходными прямыми.

Когда полезен: метод проекций особенно эффективен в задачах ЕГЭ на нахождение угла между диагональю куба/призмы и ребром. Координатный метод с направляющими векторами, однако, остаётся более универсальным.

Разбор типичных ошибок

Ошибка	В чём проблема	Как исправить
Ошибка 1: Забыли взять модуль	Получили $\cos \varphi < 0$, арккосинус дал угол > 90° — это угол между векторами, а не прямыми	Всегда берите $|\cos \varphi|$ перед применением арккосинуса
Ошибка 2: Перепутали направляющий вектор и нормаль	Нормаль $(A, B)$ перпендикулярна прямой; направляющий вектор $(B, -A)$ параллелен прямой. Подмена ведёт к неверному углу	Нормаль из $Ax + By + C = 0$: $\vec{n} = (A,\,B)$. Направляющий вектор: $\vec{a} = (B,\,-A)$
Ошибка 3: Применили формулу с $k$, когда прямая вертикальная ($x = a$)	Угловой коэффициент вертикальной прямой не существует (деление на ноль)	Угол вертикальной прямой с горизонтальной осью = 90°. Используйте направляющий вектор $(0, 1)$
Ошибка 4: Получили $|\cos\varphi| > 1$	Верный признак арифметической ошибки при вычислении скалярного произведения или модулей	Пересчитайте скалярное произведение и модули по отдельности, затем разделите
Ошибка 5: Путаница диапазонов $[0°;\,90°]$ и $[0°;\,180°]$	$[0°;\,180°]$ — для угла между векторами; $[0°;\,90°]$ — для угла между прямыми	Для прямых всегда добавляйте модуль — это единственное отличие двух формул

Шпаргалка: все формулы

Ниже — сводная таблица: как заданы прямые, какую формулу применять и в каком разделе найти подробный разбор.

Как заданы прямые	Формула	Применимость	Особые случаи
Уравнения $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ (через угловые коэффициенты)	$\tg \varphi = \left|\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$	Только плоскость (2D)	Неприменима, если одна прямая вертикальная ($x = a$)
Направляющие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (параметрические уравнения)	$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$	Плоскость и пространство (2D и 3D)	Универсальна; при $\cos \varphi = 0$ прямые перпендикулярны
Общие уравнения $Ax + By + C = 0$ (через нормальные векторы)	$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$	Только плоскость (2D)	Нормаль $(A, B)$ читается прямо из уравнения
Канонические уравнения в пространстве	$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, векторы трёхмерные	Пространство (3D), в т.ч. скрещивающиеся прямые	Направляющий вектор читается из знаменателей канонического уравнения

Универсальный алгоритм из 4 шагов

1. Определите представление прямых — через угловые коэффициенты, направляющие векторы или общее уравнение.
2. Выберите формулу из таблицы выше.
3. Подставьте значения и вычислите $\cos\varphi$ или $\tg\varphi$.
4. Приведите угол к диапазону $[0°;\,90°]$: возьмите модуль, затем примените арккосинус (или арктангенс).

Почему берём модуль? Угол между двумя прямыми на плоскости или в пространстве принято считать наименьшим из двух углов, которые образуют эти прямые. Он всегда лежит в диапазоне $[0°;\,90°]$. Угол между векторами, напротив, лежит в $[0°;\,180°]$. Модуль в формуле «схлопывает» тупой угол до его дополнения до 180° и тем самым гарантирует острый результат.

Примеры задач с решениями

Задача 1 — Плоскость, угловые коэффициенты (школьный уровень)

Условие: Найти угол между прямыми $y = 3x - 2$ и $y = \frac{1}{3}x + 5$.

1. $k_1 = 3,\;k_2 = \frac{1}{3}$.
2. $\tg \varphi = \left|\dfrac{\frac{1}{3}-3}{1+3\cdot\frac{1}{3}}\right| = \dfrac{4}{3}$.
3. $\varphi = \arctg\dfrac{4}{3} \approx 53{,}1°$.

Ответ: $\varphi \approx 53{,}1°$.

Задача 2 — Плоскость, общее уравнение прямой (через нормали)

Условие: Найти угол между прямыми $3x + 4y - 7 = 0$ и $12x - 5y + 2 = 0$.

1. Нормали: $\vec{n}_1 = (3,\,4),\;\vec{n}_2 = (12,\,-5)$.
2. Скалярное произведение: $3\cdot12+4\cdot(-5) = 16$.
3. Модули: $|\vec{n}_1| = 5$; $|\vec{n}_2| = 13$.
4. $\cos \varphi = \dfrac{16}{65} \approx 0{,}246$; $\varphi \approx 75{,}8°$.

Ответ: $\varphi \approx 75{,}8°$.

Задача 3 — Пространство, канонические уравнения

Условие: Найти угол между прямыми:
$l_1:\;\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3}$
$l_2:\;\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-3}{1}$

1. $\vec{a} = (1,\,2,\,3)$, $\vec{b} = (2,\,-1,\,1)$.
2. $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3$; $|\vec{a}| = \sqrt{14}$; $|\vec{b}| = \sqrt{6}$.
3. $\cos \varphi = \dfrac{3}{\sqrt{84}} \approx 0{,}327$; $\varphi \approx 70{,}9°$.

Ответ: $\varphi \approx 70{,}9°$.

Задача 4 — Скрещивающиеся прямые в пространстве

Условие: В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной 1 найти угол между прямыми $AB_1$ и $DC_1$.

Решение (метод координат):

1. Координаты: $A(0,0,0),\;B(1,0,0),\;C(1,1,0),\;D(0,1,0),\;B_1(1,0,1),\;C_1(1,1,1)$.
2. $\vec{a} = B_1 - A = (1,\,0,\,1)$; $\vec{b} = C_1 - D = (1,\,0,\,1)$.
3. $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2$; $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$.
4. $\cos \varphi = 1$ → $\varphi = 0°$.

Ответ: $\varphi = 0°$. Прямые $AB_1$ и $DC_1$ параллельны — это хорошая проверка метода: параллельность в кубе легко упустить, если не вычислять координаты.

Задачи для самопроверки

№	Условие	Подсказка (формула)	Ответ
1	$y = x + 1$ и $y = -2x + 3$	Формула с угловыми коэффициентами	$\varphi \approx 71{,}6°$
2	$5x - y + 2 = 0$ и $x + 5y - 1 = 0$	Формула через нормали; проверьте $k_1\cdot k_2$	$\varphi = 90°$ (прямые перпендикулярны)
3	$\vec{a} = (2,\,-1,\,3),\;\vec{b} = (1,\,4,\,-1)$	Формула через направляющие векторы 3D	$\varphi \approx 84{,}3°$
4	$l_1:\;\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z}{4}$ и $l_2:\;\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{-1}$	Направляющие векторы из знаменателей канонических уравнений	$\varphi \approx 59{,}1°$
5	Прямая $y = 4x$ и ось $Oy$	Направляющий вектор оси Oy: $(0, 1)$	$\varphi \approx 14{,}0°$

Не сошёлся ответ? Разберите решение пошагово: запишите направляющие векторы, вычислите скалярное произведение и модули по отдельности, затем возьмите арккосинус от модуля дроби.

FAQ: часто задаваемые вопросы об угле между прямыми

Как найти острый угол между двумя прямыми?

Возьмите модуль косинуса (или тангенса) в формуле. Если $\cos \varphi < 0$ — вы получили тупой угол между векторами; модуль переводит его в дополнение до 180°, которое и является острым углом между прямыми. Результат всегда будет в диапазоне $[0°;\,90°]$.

Что такое угол между параллельными прямыми?

Параллельные прямые не пересекаются. По определению угол между параллельными прямыми равен 0°. В формуле с угловыми коэффициентами $k_1 = k_2$, числитель обращается в ноль, $\tg\varphi = 0$ — $\varphi = 0°$.

Как определить, что две прямые перпендикулярны?

На плоскости через угловые коэффициенты: $k_1 \cdot k_2 = -1$. Через направляющие векторы (плоскость и пространство): $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$. Это следует из формулы: если скалярное произведение равно нулю, то $\cos\varphi = 0$, следовательно $\varphi = 90°$.

Чем угол между прямыми отличается от угла между векторами?

Угол между векторами лежит в $[0°;\,180°]$ и чувствителен к направлению векторов. Угол между прямыми лежит в $[0°;\,90°]$ — мы всегда выбираем острый (или прямой) угол, потому что у прямой нет «направления» в отличие от вектора. Единственное техническое отличие формул — знак модуля.

Как найти угол между прямой и осью координат?

Ось Ox имеет направляющий вектор $(1, 0)$, ось Oy — вектор $(0, 1)$, ось Oz — вектор $(0, 0, 1)$. Подставьте нужный вектор в формулу для угла между направляющими векторами. Для прямой $y = kx + b$ угол с осью Ox проще найти через $\varphi = \arctg|k|$.

Можно ли применять формулу с угловым коэффициентом в трёхмерном пространстве?

Нет. Угловой коэффициент $k$ определён только для прямой на плоскости. В пространстве прямая не имеет одного угла наклона — нужны три компоненты направляющего вектора. Единственный универсальный инструмент в 3D — формула через направляющие векторы.

Как найти угол между скрещивающимися прямыми в кубе?

Используйте метод координат: (1) введите систему координат, совместив её с вершиной куба; (2) запишите координаты всех нужных вершин; (3) вычислите направляющие векторы как разность координат конца и начала каждой прямой; (4) примените формулу $\cos \varphi = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Что значит, если при вычислении получилось $|\cos\varphi| > 1$?

Это невозможное значение для косинуса и однозначный признак арифметической ошибки. Наиболее вероятные причины: неверно вычислено скалярное произведение, неверно найден модуль одного из векторов, или перепутаны компоненты векторов.

Авторитетные источники по теме

• Wolfram MathWorld: Line-Line Angle — математически строгое определение угла между прямыми с формулами и обобщениями на $n$-мерное пространство.
• Lumen Learning — Finding the Angle Between Two Lines — открытый курс с разбором примеров и интерактивными упражнениями.
• University of Plymouth: Angle Between Lines in 2D and 3D — академический PDF-материал с доказательствами формул для плоскости и пространства.

Чтобы закрепить пройденный материал и ещё лучше понять тему на практике, воспользуйтесь нашим бесплатным тренажёром ЕГЭ. Это лёгкий и полезный инструмент, который пригодится вам не только для подготовки к контрольным работам, но и для углубления знаний и расширения математического кругозора!