Окружность и круг: формулы, свойства и примеры

Если вы готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ, одних формул недостаточно — важна система отработки задач. Начните заниматься подготовкой к ЕГЭ по математике в 11 классе в Skysmart— там собраны структурированные курсы, разборы типовых заданий и интерактивные тренажёры, которые помогут закрыть пробелы именно по вашим слабым темам.

---

Шпаргалка: все формулы

Величина	Формула	Обозначения
Длина окружности	$C = 2\pi r = \pi d$	r — радиус, d — диаметр
Площадь круга	$S = \pi r^2$	r — радиус
Длина дуги (радианы)	$l = r\theta$	θ — центральный угол в радианах
Длина дуги (градусы)	$l = \dfrac{\pi d\alpha}{360}$	α — центральный угол в градусах
Площадь сектора (радианы)	$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$	θ — угол в радианах
Площадь сектора (градусы)	$S = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360}$	α — угол в градусах
Длина хорды	$c = 2r \cdot \sin\dfrac{\alpha}{2}$	α — центральный угол
Расстояние от центра до хорды	$d = r \cdot \cos\dfrac{\alpha}{2}$	α — центральный угол
Произведение отрезков хорд	$AM \cdot MB = CM \cdot MD$	хорды AB и CD пересекаются в точке M
Квадрат касательной	$PT^2 = PA \cdot PB$	PT — касательная, PA·PB — секущая из точки P
Угол между хордами	$\varphi = \dfrac{1}{2}(\cup AC + \cup BD)$	⌢AC, ⌢BD — дуги между хордами
Угол между касательной и хордой	$\varphi = \dfrac{1}{2}\cup AB$	⌢AB — дуга, стягиваемая хордой внутри угла
Диаметр и радиус	$d = 2r$	—
Площадь кольца	$S = \pi(R^2 - r^2)$	R — внешний радиус, r — внутренний
Площадь сегмента	$S = \dfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$	θ — центральный угол в радианах
Уравнение окружности	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$	(a, b) — центр, r — радиус

---

Окружность и круг — определения

Чтобы разница между фигурами стала более понятной, представьте следующие примеры: окружность — бублик, круг — ватрушка; или окружность — забор вокруг поля, круг — само поле. Как вы могли заметить, круг представляет собой заполненную фигуру, в то время как окружность — это по сути круглая рамка.

И хотя у этих понятий есть чёткие различия, значения их элементов полностью совпадают (и у окружности, и у круга есть центр, диаметр, радиус и т. д.).

Формально:

• Окружность: $\{(x,\, y) : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\}$ — только граница.
• Круг: $\{(x,\, y) : (x-a)^2 + (y-b)^2 \leq r^2\}$ — граница и всё, что внутри.

Аксиома о точках и окружности

Фундаментальное геометрическое свойство, которое часто задаётся неявно в задачах описанных окружностей:

• Через одну точку можно провести бесконечное множество окружностей.
• Через две точки также можно провести бесконечное множество окружностей.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Эта окружность называется описанной около треугольника, образованного этими тремя точками.

---

Радиус и диаметр окружности

Радиус обозначается с помощью сочетания букв, например OA, OB, OC, где О — центр окружности, а точки А, В и С лежат на окружности.

Для обозначения радиуса вписанной окружности чаще всего используют маленькую букву r, а для описанной окружности — заглавную R, в остальных же случаях вы можете выбирать между строчной и заглавной буквой по своему усмотрению.

Диаметр может обозначаться буквами d или D, а также через сочетания букв (например AB, CD и т. д., при этом не нужно называть и точку центра окружности, которая лежит на этом отрезке).

В один диаметр умещается два радиуса $D = 2r$, или радиус окружности равен половине её диаметра $r = \dfrac{1}{2}D$.

Центр окружности

---

Хорда окружности и её свойства

Для хорды нет какого-то особенного обозначения, её называют по точкам, которые она соединяет.

Свойства хорды:

1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

   

2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

   

3. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.

4. Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

   

   $\angle AMC = \angle BMD = \dfrac{1}{2}(\cup AC + \cup BD)$

5. Угол между пересекающимися хордами окружности равен половине суммы дуг, заключенных между ними.

Формулы длины хорды и расстояния от центра

где α — центральный угол, стягивающий данную хорду.

Пример: Найти длину хорды, если r = 10 см, центральный угол α = 120°.

1. Записываем формулу: $c = 2r \cdot \sin\dfrac{\alpha}{2}$
2. Подставляем: $c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(60°)$
3. $\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$
4. $c = 20 \cdot 0{,}866 = 17{,}32$ см

Ответ: длина хорды равна $10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ см.

Пересекающиеся хорды: теорема об угле

Теорема об угле между пересекающимися хордами. Угол между двумя пересекающимися внутри круга хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключённых между его сторонами:

Это соотношение следует из подобия треугольников AMC и DMB (они вписаны в одну окружность).

---

Дуга, длина дуги, градусная мера дуги

Дуга окружности обозначается символом ◡, например ◡АВ, ◡CD.

Любые две различные точки A и B окружности разбивают её на две части; каждая из этих частей называется дугой.

Для дуги есть два измерения: её градусная мера и длина кривой линии, рисующая дугу.

Длину дуги можно рассчитать по формуле:

$l = \dfrac{\pi R}{180°}\cdot\alpha$, где R — радиус окружности, α — центральный угол, стягивающий дугу.

Градусная мера дуги равна центральному углу, на который она опирается.

Т. е. если угол α равен 60°, то и малая дуга АВ также равна 60°.

Перевод градусов в радианы

Градусы (°)	Радианы
30°	$\dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}524$
45°	$\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$
60°	$\dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}047$
90°	$\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571$
180°	$\pi \approx 3{,}14159$
360°	$2\pi \approx 6{,}283$

Формула перевода: $\theta\text{ (рад)} = \alpha° \cdot \dfrac{\pi}{180}$

Формулы длины дуги

где l — длина дуги, r — радиус, θ — центральный угол в радианах, α — центральный угол в градусах.

Пример: Найти длину дуги при r = 6 см и α = 60°.

1. Используем формулу в градусах: $l = \dfrac{\pi r\alpha}{180}$
2. Подставляем: $l = \dfrac{3{,}14 \cdot 6 \cdot 60}{180}$
3. Вычисляем: $l = 3{,}14 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 3{,}14 \cdot 2 = 6{,}28$ см

Ответ: длина дуги равна 6,28 см ($\approx 2\pi$ см).

Вы уже заметили, что дуга связана с центральным углом, но что это? Давайте узнаем!

---

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Между центральным и вписанным углом, стоящих на одной дуге, есть следующее соотношение — вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ADB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$.

Какие ещё свойства важно знать для решения задач?

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

   

   $\angle ADC = \angle ABC = \angle AEC$

2. Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то такой угол — прямой.

   

Чем можно объяснить это свойство? Диаметр отсекает половину окружности, градусная мера этой дуги равна 180°. Тогда вписанный угол, который на неё опирается, будет равен половине дуги, т. е. 90°. Это следствие используется в десятках задач ОГЭ и ЕГЭ.

Пример: Найти вписанный угол, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 80°.

1. По теореме: вписанный угол $= \dfrac{1}{2} \cdot$ центрального угла
2. Вписанный угол $= \dfrac{1}{2} \cdot 80° = 40°$

Ответ: вписанный угол равен 40°.

---

Касательная и секущая окружности

Свойства касательных

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания.

2. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Эти отрезки составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

   

Теоремы о секущей и касательных

1. Для любых секущей и касательной, проходящих через точку А, верно равенство:

   $AC^2 = AD \cdot AE$

   

2. Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

   

Квадрат касательной (теорема)

где PT — касательная из внешней точки P, PA и PB — отрезки секущей из той же точки P. Это прямое следствие подобия треугольников, вписанных в окружность.

Углы и дуги между касательными и секущими

Между дугами и углами, образованными секущими и касательными, соблюдаются следующие соотношения. Сохраняйте памятку себе и отправляйте друзьям!

---

Основные свойства окружности

1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

   

2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

   

4. Градусная мера окружности равна 360°.

---

Формулы длины окружности и площади круга

Длина окружности — аналог периметра: если в многоугольнике периметр равен сумме всех сторон, то длина окружности — это длина кривой (т. к. в окружности нет сторон, было бы неверным применять для неё понятие периметра).

Длина окружности чаще всего обозначается буквами l или С.

$C = 2\pi R = \pi D$, где:

• $\pi \approx 3{,}14$ — математическая константа (постоянная величина);
• $R$ — радиус окружности;
• $D$ — диаметр окружности.

Площадь круга можно вычислить по формуле

$S = \pi R^{2} = \dfrac{1}{4}\pi D^2$, где:

• $R$ — радиус круга;
• $D$ — диаметр круга.

Пример: длина окружности

Базовый уровень. Найти длину окружности с радиусом r = 5 см.

1. Записываем формулу: $C = 2\pi r$
2. Подставляем значения: $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5$
3. Вычисляем: $C = 31{,}4$ см

Ответ: длина окружности равна 31,4 см.

Пример: площадь круга

Базовый уровень. Найти площадь круга с диаметром d = 10 см.

1. Находим радиус: $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ см
2. Записываем формулу: $S = \pi r^2$
3. Подставляем: $S = 3{,}14 \cdot 5^2 = 3{,}14 \cdot 25$
4. Вычисляем: $S = 78{,}5$ см²

Ответ: площадь круга равна 78,5 см².

---

Сектор и сегмент окружности, их площади

Сектор ограничен двумя радиусами и дугой — он всегда содержит центр окружности (если угол меньше 360°). Сегмент ограничен хордой и дугой — центр окружности в него не входит (если дуга меньше 180°).

Фигура	Иллюстрация	Формула площади
Сектор		$S = \pi R^{2}\dfrac{\alpha}{360°}$, где α — угол сектора, R — радиус
Сегмент		$S = \dfrac{R^2}{2}\left(\dfrac{\pi\alpha}{180°}-\sin\alpha\right)$, где α — угол сегмента, R — радиус

Формулы площади через радианы

где θ — центральный угол в радианах. Эти формулы удобны при работе с задачами, где угол задан в радианах.

---

Концентрические окружности и кольцо

где R — радиус внешней окружности, r — радиус внутренней.

Пример: $R = 8$, $r = 5$: $S = 3{,}14 \cdot (64 - 25) = 3{,}14 \cdot 39 \approx 122{,}46$ см².

---

Уравнение окружности

Окружность, как кривую, можно задать с помощью уравнения.

Так, окружность с центром в точке О, совпадающей с началом координат в декартовой системе, задаётся уравнением:

$x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — радиус окружности.

Если центр окружности задан точкой с координатами $(a;\, b)$, уравнение окружности выглядит так:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Например, уравнение окружности с центром в точке $(-2;\, 3)$ и радиусом, равным 5, выглядит так:

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$ или $x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0$

Как определить центр и радиус по уравнению

Из уравнения $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$: центр — точка $(a,\, b)$, радиус — r (корень из числа справа).

Пример: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 16$ → центр $(1;\, -3)$, $r = 4$.

---

Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность

Фигура	Условие существования	Радиус вписанной окружности
Любой треугольник	Всегда существует	$r = \dfrac{S}{p}$, где S — площадь, p — полупериметр
Четырёхугольник	$a + c = b + d$ (суммы противоположных сторон равны)	$r = \dfrac{S}{p}$
Правильный n-угольник	Всегда существует	$r = \dfrac{a}{2\tan(\pi/n)}$, где a — сторона

Описанная окружность

Фигура	Условие существования	Радиус описанной окружности
Любой треугольник	Всегда существует	$R = \dfrac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны, S — площадь
Прямоугольный треугольник	Всегда существует	$R = \dfrac{c}{2}$, где c — гипотенуза
Четырёхугольник	Сумма противоположных углов = 180°	Зависит от вида четырёхугольника

---

Практические примеры и задачи

🟢 Базовый уровень

Задача 1. Радиус окружности равен 7 см. Найти длину окружности и площадь круга.

1. $C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 7 = 43{,}96$ см
2. $S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 49 = 153{,}86$ см²

Ответ: $C \approx 43{,}96$ см, $S \approx 153{,}86$ см².

Задача 2. Найти длину дуги при r = 9 см и α = 40°.

1. $l = \dfrac{\pi r\alpha}{180} = \dfrac{3{,}14 \cdot 9 \cdot 40}{180}$
2. $l = 3{,}14 \cdot 9 \cdot \dfrac{2}{9} = 3{,}14 \cdot 2 = 6{,}28$ см

Ответ: l = 6,28 см.

Задача 3. Найти площадь сектора при r = 6 см и α = 120°.

1. $S = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360} = \dfrac{3{,}14 \cdot 36 \cdot 120}{360}$
2. $S = 3{,}14 \cdot 36 \cdot \dfrac{1}{3} = 3{,}14 \cdot 12 = 37{,}68$ см²

Ответ: S = 37,68 см².

🟡 Средний уровень

Задача 4. Радиус окружности r = 13 см, центральный угол α = 90°. Найти длину хорды и расстояние от центра до хорды.

1. $c = 2r \cdot \sin\dfrac{\alpha}{2} = 2 \cdot 13 \cdot \sin(45°) = 26 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2} \approx 18{,}38$ см
2. $d = r \cdot \cos\dfrac{\alpha}{2} = 13 \cdot \cos(45°) = 13 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{13\sqrt{2}}{2} \approx 9{,}19$ см

Ответ: хорда $\approx 18{,}38$ см, расстояние до хорды $\approx 9{,}19$ см.

Задача 5. Найти площадь сегмента при r = 10 см и α = 90°.

1. $S_{\text{сектора}} = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360} = \dfrac{3{,}14 \cdot 100 \cdot 90}{360} = 78{,}5$ см²
2. $S_{\text{треугольника}} = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin(90°) = 0{,}5 \cdot 100 \cdot 1 = 50$ см²
3. $S_{\text{сегм}} = 78{,}5 - 50 = 28{,}5$ см²

Ответ: площадь сегмента = 28,5 см².

Задача 6. Хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке M. AM = 3 см, MB = 12 см, CM = 4 см. Найти MD.

1. По теореме о пересекающихся хордах: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$
2. $3 \cdot 12 = 4 \cdot MD$
3. $MD = \dfrac{36}{4} = 9$ см

Ответ: MD = 9 см.

🔴 Продвинутый уровень

Задача 7. Из внешней точки P проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в точках A и B. PA = 3 см, PB = 12 см. Найти PT.

1. По теореме о касательной и секущей: $PT^2 = PA \cdot PB$
2. $PT^2 = 3 \cdot 12 = 36$
3. $PT = 6$ см

Ответ: PT = 6 см.

Задача 8. В равносторонний треугольник со стороной a = 6 см вписана окружность. Найти её радиус и длину этой окружности.

1. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
2. $r = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ см
3. $C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}732 \approx 10{,}88$ см

Ответ: $r = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ см, $C \approx 10{,}88$ см.

---

Авторитетные источники по теме

Следующие материалы на английском языке от признанных научных организаций помогут углубить понимание математических констант и геометрических концепций:

• NASA JPL: The Science of Pi — о природе числа π и его применении в реальных расчётах (на англ.)
• U.S. Department of Energy: Geometrical Definitions and Rules — справочник геометрических определений и правил (на англ.)

Типичные ошибки при решении задач на окружность

Ошибка	В чём проблема	Как избежать
Путают окружность и круг	Формула $C = 2\pi r$ — это длина окружности (линии), а не «периметр круга»	Запомните: у линии нет площади, у фигуры — нет «длины» в том же смысле
Подставляют диаметр вместо радиуса в $S = \pi r^2$	Получают площадь в 4 раза больше правильной	Всегда проверяйте: в обеих основных формулах стоит r, а не d
Путают центральный и вписанный углы	Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу	Проверяйте, где вершина угла: в центре или на окружности
Неверно применяют формулу длины дуги	Используют радиус там, где нужен диаметр, или наоборот	Запомните: $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}$ — здесь стоит радиус, а не диаметр
Забывают условие вписанной окружности для четырёхугольника	Применяют $r = h/2$ к произвольному четырёхугольнику	Вписанная окружность существует только при $a + c = b + d$
Считают, что центр описанной окружности всегда внутри фигуры	В тупоугольном треугольнике он лежит вне треугольника	Всегда рисуйте чертёж и отмечайте пересечение серединных перпендикуляров

---

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между окружностью и кругом?

Окружность — это линия (граница), круг — это фигура (граница + внутренность). Формально: окружность — множество точек, равноудалённых от центра, а круг — множество точек, расстояние от которых до центра не превышает радиуса.

Чем сектор отличается от сегмента?

Сектор ограничен двумя радиусами и дугой — он всегда содержит центр окружности (если угол меньше 360°). Сегмент ограничен хордой и дугой — центр окружности в него не входит (если дуга меньше 180°).

Как найти площадь кольца?

$S = \pi(R^2 - r^2)$, где R — радиус внешней окружности, r — радиус внутренней. Пример: $R = 8$, $r = 5$: $S = 3{,}14 \cdot (64 - 25) = 3{,}14 \cdot 39 \approx 122{,}46$ см².

Как определить центр и радиус окружности по уравнению?

Из уравнения $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$: центр — точка $(a,\, b)$, радиус — r (корень из числа справа). Пример: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 16$ → центр $(1;\, -3)$, $r = 4$.

Что такое число π и чему оно равно?

Число $\pi$ — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. $\pi \approx 3{,}14159\ldots$ Оно иррационально и трансцендентно, его десятичное разложение бесконечно и непериодично. В школьных задачах используется приближение $\pi \approx 3{,}14$.

Через сколько точек можно провести единственную окружность?

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Через одну или две точки — бесконечно много. Это фундаментальное свойство лежит в основе построения описанной окружности треугольника.

---

Хотите закрепить новые знания на практике? Переходите в бесплатный тренажёр ЕГЭ от Skysmart и решайте типовые задачи на окружность по геометрии. Так вы не только повторите пройденную тему, но и сможете подготовиться к контрольным работам и экзаменам!