Вписанная и описанная окружность в ЕГЭ — разбор задач

Для кого эта статья:

Ученики средней и старшей школы, изучающие геометрию
Студенты, изучающие математику и геометрию на более глубоком уровне
Учителя и репетиторы, которые готовят учащихся к экзаменам

Ключевые выводы из статьи:

Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника достаточно двух величин — площади и полупериметра; для описанной — трёх сторон и площади или одной стороны и противолежащего угла
Четырёхугольник допускает вписанную окружность только при равенстве сумм противоположных сторон, а описанную — только при равенстве сумм противоположных углов 180°; незнание этих условий — главная причина потери баллов
В задаче второй части ЕГЭ (профиль) можно получить 1 балл даже при незакрытом первом пункте: критерии оценивания допускают независимое начисление за корректно решённый пункт «Б»
Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится вне треугольника — эта деталь чаще всего вызывает ошибку при построении и при доказательствах в задаче №16

После прочтения этой статьи вы сможете решать задачи трёх уровней сложности: от стандартного задания №6 до планиметрической задачи №16 профильного ЕГЭ. Мы разберём 5 шаблонов решения, 5 задач с пошаговым разбором и 10 задач для самостоятельной практики. При системной работе материал осваивается за 3–4 занятия по 45 минут. Если вы уже знаете теорию — перейдите сразу к разделу «Задачи ЕГЭ: три уровня сложности».

Хотите отработать задачи экзамена по персональному плану подготовки? Попробуйте бесплатную подготовку к ЕГЭ по математике — там вы найдёте теорию, интерактивные тренажёры и разборы заданий.

Что такое вписанные и описанные многоугольники Важно

Перед разбором формул необходимо точно разграничить два понятия, которые школьники путают чаще всего: вписанная/описанная окружность и вписанный/описанный многоугольник. Это не одно и то же, хотя речь идёт об одной геометрической конфигурации, описанной с разных точек зрения.

Вписанная окружность / Описанный многоугольник

Окружность вписана в многоугольник, если она касается каждой его стороны изнутри.

Тот же многоугольник называется описанным около окружности.

Описанная окружность / Вписанный многоугольник

Окружность описана около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

Тот же многоугольник называется вписанным в окружность.

⚠️ Самая частая терминологическая ошибка в задачах ЕГЭ: фраза «окружность вписана в треугольник» означает то же самое, что «треугольник описан около окружности». Это одна и та же конфигурация, описанная с двух точек зрения. Смешение этих формулировок приводит к применению неверной формулы.

Правило одной фразой: Вписанная окружность — трогает стороны; описанная — держит вершины. Описанный многоугольник — описан около окружности; вписанный многоугольник — вписан в окружность.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника изнутри.

Описанный многоугольник — многоугольник, в который вписана окружность.

Окружность может быть вписана:

в любой треугольник;
в четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны;
в правильный многоугольник, т. е. в такой, у которого равны все стороны и все углы.

Свойства и формулы для вписанной окружности

Вписанная окружность и треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Если окружность вписана в треугольник, её центр будет совпадать с точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, можно через отношение площади этого треугольника и его полупериметра: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно рассчитать по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$.
Для равностороннего треугольника часто используют дополнительную формулу через длину его стороны: $r=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$. Её легко обосновать через теорему Пифагора: попробуйте сделать это самостоятельно!

Что ещё может понадобиться для решения задач на окружность, вписанную в треугольник?

Обратите внимание, что стороны треугольника будут являться касательными к вписанной окружности. Согласно правилу, отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны и составляют прямые углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательные к окружности, вписанной в треугольник

Отрезки касательных через полупериметр

Это одно из важнейших свойств вписанной окружности, напрямую применяемое в задачах ЕГЭ как первой, так и второй части. Если окружность с центром I вписана в треугольник ABC и касается стороны BC в точке D, стороны CA в точке E, стороны AB в точке F, то:

$AF = AE = p - a$, где $a = BC$ — сторона, противолежащая вершине A
$BF = BD = p - b$, где $b = CA$ — сторона, противолежащая вершине B
$CD = CE = p - c$, где $c = AB$ — сторона, противолежащая вершине C

Общее правило: длина отрезка касательной от вершины до точки касания равна разности полупериметра и противолежащей стороны: $x = p - a$.

Как применять формулу $x = p - a$ в задачах ЕГЭ

Если известен полупериметр и стороны треугольника, длины отрезков касательных находятся мгновенно.
Если задача содержит фразу «касательная делит сторону на отрезки», используйте это свойство для составления уравнения.
В задаче №16 это свойство часто является опорным шагом для доказательства подобия или нахождения пропорции.
Проверка: сумма отрезков на каждой стороне должна равняться длине этой стороны: $(p-b) + (p-c) = a$. ✓

⚠️ Частая ошибка: путают, какой стороне противолежит каждая вершина. Запомните: $AF = p - a$, где $a = BC$ — сторона, не содержащая вершину A. Это сторона напротив A, а не стороны AB или AC.

Вписанная окружность и четырёхугольник

Окружность можно вписать в ромб, квадрат, некоторые трапеции, но нельзя в параллелограмм и прямоугольник (т. к. согласно свойству, суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника должны быть равны).
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник — это точка пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.
Радиус вписанной в квадрат окружности можно рассчитать по формуле: $r=\dfrac{a}{2}$, где а — сторона квадрата.
Для описанного ромба можно использовать формулу $r=\dfrac{h}{2}$, где h — высота ромба, или $r=\dfrac{d_{1}d_{2}}{4a}$, где a — сторона ромба, d₁ и d₂ — диагонали ромба.
Универсальная формула, подходящая для окружности, вписанной в любой четырёхугольник: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ — полупериметр.

Вписанная окружность и n-угольник

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной в него окружности.
Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Сторона правильного многоугольника может быть найдена по формуле: $a_{n}=2r\cdot\tg\dfrac{180°}{n}$.
Радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник, находится по формуле $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Апофема правильного многоугольника — это радиус вписанной окружности. Площадь через r: $S = p \cdot r$, где p — полупериметр.

Фигура	r (апофема)	Площадь через r
Правильный △ (сторона a)	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Квадрат (сторона a)	$r = \dfrac{a}{2}$	$S = a^2 = 4r^2$
Правильный шестиугольник (сторона a)	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Совет эксперта: На экзамене, увидев треугольник со сторонами 3–4–5, 5–12–13 или 8–15–17, сразу проверяйте пифагорово условие. Это прямоугольные треугольники, для которых r считается за 20 секунд по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, минуя громоздкую формулу Герона.

Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, содержащая все вершины n-угольника, т. е. все вершины лежат на окружности.

Вписанный многоугольник — многоугольник, около которого описана окружность.

Окружность можно описать около:

любого треугольника;
четырёхугольника, у которого суммы противоположных углов равны;
правильного многоугольника, т. е. такого, у которого равны все стороны и все углы.

Свойства и формулы для описанной окружности

Описанная окружность и треугольник

Любой треугольник можно описать окружностью, и только одной.
Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых ко всем сторонам данного треугольника.
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника, около прямоугольного треугольника — лежит на середине его гипотенузы, около тупоугольного треугольника — лежит вне треугольника.
Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формуле:
$R=\dfrac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь треугольника.
Для равностороннего треугольника:
$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$.
Для прямоугольного треугольника: $R=\dfrac{c}{2}$, где с — гипотенуза.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен медиане, проведённой к гипотенузе.
Теорема синусов и радиус описанной окружности:

Вид треугольника	Где находится центр описанной окружности
Остроугольный	Внутри треугольника
Прямоугольный	На середине гипотенузы
Тупоугольный	Вне треугольника (за стороной, противолежащей тупому углу)

Совет эксперта: Формула $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ — самый быстрый способ найти R, если явно дан угол и противолежащая сторона. Не тратьте время на вычисление площади и двух других сторон, если данные позволяют применить теорему синусов напрямую.

Описанная окружность и четырёхугольник

Если четырёхугольник описан, то суммы противолежащих углов равны 180° — окружность можно описать около прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции (или другого четырёхугольника, соответствующего свойствам).
Теорема Птолемея: сумма произведений противолежащих сторон вписанного четырёхугольника ABCD равна произведению диагоналей.
Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.
Радиус окружности, описанной около квадрата, можно найти через его диагональ:
$R=\dfrac{d}{2}$, где d — диагональ квадрата.

Описанная окружность и n-угольник

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, рассчитывается по формуле $R=\dfrac{a}{2\sin{\dfrac{\pi}{n}}}$, где n — количество сторон n-угольника.
Площадь вписанного правильного многоугольника:
$S=\dfrac{nR^2}{2}\sin{\dfrac{2\pi}{n}}$ или $S=p\sqrt{R^{2}-\dfrac{a^2}{4}}$, где R — радиус описанной окружности, р — полупериметр многоугольника.
Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника, — это биссектриса, то есть он делит угол правильного шестиугольника пополам.

Центральный угол, опирающийся на одну сторону: $\alpha = \dfrac{360°}{n}$.
Вписанный угол, опирающийся на ту же сторону: $\beta = \dfrac{180°}{n}$.
$r = R\cdot\cos\dfrac{\pi}{n}$.

📚 Авторитетные международные источники по теме

Inscribed and Circumscribed Circles of a Triangle — UC Irvine Mathematics — разбор свойств с доказательствами
Inscribed and Circumscribed Circles — University of Cambridge NRICH Project — задачи исследовательского уровня
Properties of Inscribed and Circumscribed Polygons — University of Georgia — геометрические свойства правильных многоугольников

Важные свойства углов и ГМТ для задачи №16

Этот раздел посвящён свойствам, которые критически необходимы для решения задания №16 профильного ЕГЭ. Большинство учебников упоминают их вскользь, но именно они являются «рычагами» в доказательных задачах на окружность.

Вписанный и центральный угол

Центральный угол — угол при центре окружности, опирающийся на дугу. Его величина равна градусной мере дуги.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хорды, опирающиеся на ту же дугу.
Теорема: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle_\text{вписанный} = \dfrac{1}{2}\cdot\angle_\text{центральный}$.
Следствие: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой — это ключевой факт для доказательств «четыре точки лежат на одной окружности».

Угол между хордой и касательной

Теорема об угле между касательной и хордой

Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Иными словами: ∠(касательная, хорда) = ½ · дуга AB = ∠вписанный, опирающийся на ту же дугу AB.

Если хорда AB делит окружность на две дуги — бо́льшую и меньшую — то угол между касательной и хордой со стороны меньшей дуги равен половине меньшей дуги.
Два угла между касательной и хордой (с разных сторон хорды) в сумме дают 180°.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны — это позволяет легко находить равные углы в задачах.

Как применять теорему в задаче №16

При доказательстве того, что прямая является касательной: достаточно показать, что угол между прямой и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
При нахождении углов треугольника, одна из сторон которого является касательной к описанной окружности другого треугольника.
При доказательстве подобия треугольников, когда одна из прямых является касательной: равенство углов между касательной и хордой и вписанными углами сразу даёт угловое подобие.

Подобные треугольники при пересечении диагоналей вписанного четырёхугольника

Свойство диагоналей вписанного четырёхугольника

Если четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а его диагонали AC и BD пересекаются в точке P, то:

Треугольники △APB и △DPC подобны (∠PAB = ∠PDC как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC; ∠APB = ∠DPC как вертикальные углы).
Треугольники △APD и △BPC подобны по тем же основаниям.
Из подобия △APB ∼ △DPC следует: $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ — произведения отрезков диагоналей равны.
Это соотношение $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ используется как в вычислительных задачах, так и в доказательных.

Связь с теоремой Птолемея: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ — произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Обе теоремы (о подобии треугольников и Птолемея) работают совместно в задачах повышенной сложности и могут встречаться в задании №16.

Почему центры окружностей лежат именно там? Геометрическое место точек (ГМТ)

Геометрическое место точек и центры окружностей

Биссектриса угла — ГМТ точек, равноудалённых от обеих сторон угла. Именно поэтому инцентр (пересечение биссектрис) равноудалён от всех трёх сторон — и является центром вписанной окружности.
Серединный перпендикуляр к отрезку — ГМТ точек, равноудалённых от концов отрезка. Именно поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам равноудалена от всех вершин треугольника — и является центром описанной окружности.
Следствие для тупоугольного треугольника: серединные перпендикуляры к двум сторонам, прилежащим к тупому углу, пересекаются вне треугольника — поэтому центр описанной окружности оказывается снаружи.

Совет эксперта: Понимание ГМТ позволяет не запоминать, а выводить факты о центрах окружностей. На экзамене, если вы забыли расположение центра, вспомните: «инцентр — равноудалён от сторон, значит на пересечении биссектрис; описанный центр — равноудалён от вершин, значит на пересечении серединных перпендикуляров».

Задачи ЕГЭ: три уровня сложности с разбором

Изменений в кодификаторе и структуре КИМ ЕГЭ по математике в разделе задач на вписанную и описанную окружность нет. Задачи встречаются в задании №6 (1 балл) и в задании №16 профильного уровня (до 3 первичных баллов).

Уровень 1 — Базовые задачи (задание №6 ЕГЭ, 1 балл)

Задача 1. Найти радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 6, 8, 10

Анализ условия: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Прямоугольный треугольник (катеты 6 и 8, гипотенуза 10).

Распознаём прямоугольный треугольник → $r = \dfrac{a + b - c}{2}$.
$r = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Проверка через общую формулу: $S = 24$; $p = 12$; $r = \dfrac{24}{12} = 2$. ✓

Дополнительно — отрезки касательных: $AF = p - a = 12 - 10 = 2$; $BF = p - b = 12 - 8 = 4$; $CD = p - c = 12 - 6 = 6$. Можно быстро проверить: $4 + 6 = 10$ ✓, $2 + 4 = 6$ ✓, $2 + 6 = 8$ ✓.

Ответ: r = 2

⏱ Время: 1–2 минуты

Задача 2. Найти радиус описанной окружности прямоугольника 6×8

Для любого прямоугольника описанная окружность существует, её центр — точка пересечения диагоналей.
$d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
$R = \dfrac{d}{2} = 5$.

Ответ: R = 5

⏱ Время: 1 минута

Уровень 2 — Задачи средней сложности

Задача 3. Около равнобедренной трапеции описана окружность. Основания 4 и 16, боковая сторона 10. Найти радиус

Шаг 1. Проверка условия описанности. Равнобедренная трапеция всегда допускает описанную окружность (суммы противоположных углов = 180°). ✓

Шаг 2. Высота трапеции.
Проекция боковой стороны: $\dfrac{16 - 4}{2} = 6$. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$.

Шаг 3. Площадь трапеции.
$S = \dfrac{4 + 16}{2} \cdot 8 = 80$.

Шаг 4. Нахождение R.
Координаты вершин: A(0,0), B(16,0), C(10,8), D(6,8).
Диагональ $AC = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$.
$S(ACD) = \dfrac{1}{2}|\det([C-A,\ D-A])| = \dfrac{1}{2}\cdot32 = 16$.
$S(ABC) = 80 - 16 = 64$.
$R = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4\cdot S(ABC)} = \dfrac{16 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{41}}{4 \cdot 64} = \dfrac{320\sqrt{41}}{256} = \dfrac{5\sqrt{41}}{4}$.

⚠️ Распространённая ошибка: применять формулу $R = \dfrac{d}{2}$ (она работает только для прямоугольника). Для трапеции нужен полный расчёт.

Ответ: $R = \dfrac{5\sqrt{41}}{4} \approx 8{,}00$

⏱ Время: 4–6 минут

Задача 4. В правильный шестиугольник со стороной 6 вписана окружность. Найти её радиус

$n = 6$: $r = \dfrac{a}{2\cdot\tg\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{a}{2\cdot\tg 30°} = \dfrac{a}{2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $r = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$

⏱ Время: 2–3 минуты

Уровень 3 — Сложные задачи (задание №16, профильный уровень)

Задача 5. В треугольник ABC вписана окружность r = 3. Касательная, параллельная BC, отсекает треугольник A'B'C'. BC = 12, высота из A равна 9. Найти площадь A'B'C'

Шаг 1. $S(ABC) = \dfrac{BC \cdot h}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$.

Шаг 2. $p = \dfrac{S}{r} = \dfrac{54}{3} = 18$.

Шаг 3. Высота отсечённого треугольника: $h' = h - 2r = 9 - 6 = 3$.

Шаг 4. Коэффициент подобия: $k = \dfrac{h'}{h} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$. $B'C' = 4$.

Шаг 5. $S(A'B'C') = k^2 \cdot S = \dfrac{1}{9} \cdot 54 = 6$.

Шаг 6. Проверка через касательные отрезки: отрезки касательных от A: $x = p - a = 18 - 12 = 6$. Отсечённый треугольник подобен с $k = \dfrac{1}{3}$ — результат подтверждён. ✓

Критерии оценивания: максимальная оценка — 3 первичных балла. Пункты оцениваются независимо: 1 балл за корректное доказательство пункта «А» или за верное решение пункта «Б» с опорой на недоказанное утверждение из пункта «А». Не оставляйте задачу пустой — частичное решение даёт реальные баллы.

Ответ: $S(A'B'C') = 6$; $S(ABC) = 54$

⏱ Время: 8–12 минут

Шпаргалка: всё самое важное по теме

Как мгновенно отличить вписанную окружность от описанной

Тип окружности	Где находится	Что с фигурой	Ключевое слово
Вписанная	Внутри фигуры	Касается всех сторон изнутри	«Вписана в фигуру» = окружность внутри
Описанная	Снаружи фигуры	Проходит через все вершины	«Описана около фигуры» = фигура внутри окружности

Вписанная окружность — ключевые факты

Что ищем	Формула / Свойство	Примечание
Радиус (общая формула)	$r = \dfrac{S}{p}$	S — площадь, p — полупериметр
Центр (инцентр)	Пересечение биссектрис всех углов	Всегда внутри треугольника
Прямоугольный △	$r = \dfrac{a + b - c}{2}$	c — гипотенуза
Равносторонний △	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	a — сторона
Условие для треугольника	Существует всегда	Для любого треугольника
Условие для четырёхугольника	$AB + CD = BC + AD$	Теорема Пита (суммы противоположных сторон равны)

Описанная окружность — ключевые факты

Что ищем	Формула / Свойство	Примечание
Радиус треугольника	$R = \dfrac{abc}{4S}$	a, b, c — стороны, S — площадь
Радиус через синус	$R = \dfrac{a}{2\sin A}$	Следствие теоремы синусов
Прямоугольный △	$R = \dfrac{c}{2}$	c — гипотенуза
Центр (описанная)	Пересечение серединных перпендикуляров	Может быть вне треугольника
Условие для треугольника	Существует всегда	Для любого треугольника
Условие для четырёхугольника	$\angle A + \angle C = 180°$, $\angle B + \angle D = 180°$	Суммы противоположных углов равны 180°

Формулы для правильных многоугольников (n-угольник)

Формула	Запись	Что обозначает
Радиус вписанной	$r = \dfrac{a}{2\tg\dfrac{\pi}{n}}$	a — сторона, n — число сторон
Радиус описанной	$R = \dfrac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}}$	a — сторона, n — число сторон
Связь R и r	$r = R\cdot\cos\dfrac{\pi}{n}$	Апофема = проекция радиуса

Фигура	n	r (через сторону a)	R (через сторону a)
Равносторонний △	3	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Квадрат	4	$r = \dfrac{a}{2}$	$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Правильный шестиугольник	6	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$R = a$
Правильный восьмиугольник	8	$r = \dfrac{a(1 + \sqrt{2})}{2}$	$R = \dfrac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Шаблоны решения задач

Шаблон 1. Найти радиус вписанной окружности треугольника

Шаг 1. Найди площадь треугольника S (формула Герона, через основание и высоту, или через две стороны и угол между ними).
Шаг 2. Найди полупериметр: $p = \dfrac{a + b + c}{2}$.
Шаг 3. Вычисли: $r = \dfrac{S}{p}$.

⚠️ Частая ошибка: путают периметр и полупериметр. Для треугольника со сторонами 5–12–13: p = 15, не 30. Подставляя 30 вместо 15, получают r вдвое меньше правильного значения.

Частный случай (прямоугольный треугольник): $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где c — гипотенуза. Это быстрее формулы через S и p.

Шаблон 2. Найти радиус описанной окружности треугольника

Ситуация	Формула	Когда применять
Прямоугольный △	$R = \dfrac{c}{2}$	Всегда, если есть прямой угол
Произвольный △ (знаем все стороны)	$R = \dfrac{abc}{4S}$	Общий случай
Знаем сторону и противолежащий угол	$R = \dfrac{a}{2\sin A}$	Теорема синусов, быстрый способ

Шаблон 3. Задачи на четырёхугольник + вписанная окружность

Шаг 1. Проверь условие: $AB + CD = BC + AD$. Если не выполняется — вписанной окружности не существует.
Шаг 2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис всех четырёх углов.
Шаг 3. $r = \dfrac{S}{p}$ (S — площадь четырёхугольника, p — полупериметр).

Для ромба: $r = \dfrac{a \cdot \sin\alpha}{2}$, где a — сторона, α — острый угол.

Для трапеции с вписанной окружностью: $r = \dfrac{h}{2}$ (r равен половине высоты трапеции).

Шаблон 4. Задачи на четырёхугольник + описанная окружность

Шаг 1. Проверь условие: $\angle A + \angle C = 180°$. Если не выполняется — описанной окружности нет.
Шаг 2. Используй теорему о вписанном угле.
Шаг 3. Для прямоугольника: $R = \dfrac{d}{2}$. Для квадрата: $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

⚠️ Типичная ловушка: Ромб с углами 60° и 120°: $\angle A + \angle C = 60° + 60° = 120° \neq 180°$ — описать окружность около такого ромба нельзя. Около любого прямоугольника описать окружность можно ($\angle A + \angle C = 90° + 90° = 180°$).

Шаблон 5. Правильный n-угольник — стандартный алгоритм

Определи центральный угол: $\alpha = \dfrac{360°}{n}$.
Для радиуса описанной: $R = \dfrac{a}{2\sin\dfrac{180°}{n}}$.
Для радиуса вписанной (апофемы): $r = \dfrac{a}{2\tg\dfrac{180°}{n}}$.
Связь между ними: $r = R\cdot\cos\dfrac{180°}{n}$.

Когда использовать r, когда R: если задача про площадь — чаще нужен r (апофема); если про хорды и углы — R.

Практика: 10 задач с проверкой

⏱ Режим экзамена: задайте таймер на 30 минут. Норма: задачи 1–4 за 8 мин, задачи 5–7 за 12 мин, задачи 8–10 за оставшееся время.

№	Условие	Тема	Уровень	Ответ
1	Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найти r вписанной окружности	Вписанная в прямоугольный △	★☆☆	$r = 2$
2	Сторона равностороннего треугольника равна 6. Найти R описанной окружности	Описанная около равностороннего △	★☆☆	$R = 2\sqrt{3}$
3	Сторона квадрата равна 8. Найти r вписанной окружности	Вписанная в квадрат	★☆☆	$r = 4$
4	Стороны прямоугольника 5 и 12. Найти R описанной окружности	Описанная около прямоугольника	★★☆	$R = 6{,}5$
5	В трапецию с основаниями 6 и 14 и боковыми сторонами по 5 вписана окружность. Найти r	Вписанная в трапецию	★★☆	$r = 2$ ($h = 4$, $r = \dfrac{h}{2} = 2$)
6	Около равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 8 и боковой стороной 5 описана окружность. Найти R	Описанная около трапеции	★★☆	$R = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}$
7	Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен $3\sqrt{3}$. Найти R описанной	Правильный n-угольник: найти R по r	★★☆	$R = 6$
8	Из внешней точки P проведены касательные длиной 8 каждая; расстояние от P до центра = 10. Найти r	Касательные из внешней точки	★★★	$r = 6$
9	В равносторонний треугольник со стороной a вписана и описана окружности. Найти R/r	Две окружности одновременно	★★★	$\dfrac{R}{r} = 2$
10	В △ABC (AB=13, BC=14, CA=15) вписана окружность. Касательная, параллельная AB, пересекает BC и CA. Найти длину отрезка	Задача уровня №16: треугольник + окружность + отрезки касательных	★★★	Длина = 6 ($k = \dfrac{6}{13}$)

Где теряют баллы: разбор типичных ошибок

Ошибка 1. Путают радиус вписанной и описанной окружности

Почему возникает: формулы $r = \dfrac{S}{p}$ и $R = \dfrac{abc}{4S}$ внешне похожи.

Как избежать: начинайте задачу с чертежа. Нарисуйте окружность и фигуру, явно подпишите — что внутри, что снаружи. 20 секунд на чертёж исключают путаницу.

Ошибка 2. Не проверяют условие вписанности/описанности четырёхугольника

Почему возникает: автоматически применяют формулу, не убедившись в условии.

Как избежать: введите обязательный шаг-вопрос: «Выполняется ли условие?» — это первое, что проверяется, до любых вычислений.

Ошибка 3. Берут периметр вместо полупериметра

Конкретный пример: треугольник 3–4–5. $p = 6$, $S = 6$, $r = 1$. Если подставить периметр 12 вместо $p = 6$, $r = 0{,}5$ — ошибка вдвое.

Как избежать: записывайте $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ явно в черновике перед подстановкой.

Ошибка 4. Неправильное расположение центра описанной окружности

Почему возникает: рисуют центр внутри тупоугольного треугольника.

Как избежать: определите вид треугольника. Тупоугольный → центр вне. Нарисуйте все три серединных перпендикуляра — они пересекутся за пределами треугольника.

Ошибка 5. Подмена формул для произвольного и правильного многоугольника

Почему возникает: $r = \dfrac{a}{2\cdot\tg\dfrac{\pi}{n}}$ применяют к произвольной трапеции или пятиугольнику.

Как избежать: убедитесь, что все стороны и все углы фигуры равны, прежде чем использовать формулы для правильного n-угольника.

Ошибка 6. Не используют формулу $x = p - a$ для отрезков касательных

Почему возникает: ученик решает систему уравнений «в лоб», не зная о свойстве касательных из внешней точки.

Как избежать: при задачах, где нужно найти отрезки на сторонах треугольника, сразу применяйте формулы $AF = p - a$, $BF = p - b$, $CD = p - c$. Это сокращает решение с трёх уравнений до одного шага.

Совет эксперта по времени: на задачу уровня №6 с окружностью — не более 3 минут. Если нет продвижения — пропустите и вернитесь в конце. Потеря 1 балла за базовую задачу лучше, чем потеря 10 минут на задачу №16.

Часто задаваемые вопросы

Как быстро определить — вписанная или описанная окружность?

Смотрите на расположение. Окружность касается сторон изнутри — вписанная. Вершины фигуры лежат на окружности — описанная. Запомните: «вписанная — в фигуру, описанная — около фигуры». Многоугольник при этом называется наоборот: описанный около вписанной окружности и вписанный в описанную окружность.

Существует ли вписанная окружность у любого четырёхугольника?

Нет. Вписать окружность в четырёхугольник можно только при $AB + CD = BC + AD$ (теорема Пита). Например, в прямоугольник (не квадрат) вписать окружность нельзя, а в ромб — можно всегда.

Нужен ли калькулятор для задач на окружности в ЕГЭ?

В профильном ЕГЭ калькулятор не разрешён. Умейте работать с иррациональными числами: $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. В задачах первой части ответы рациональные или простые корни — это сделано намеренно. В базовом ЕГЭ калькулятор разрешён.

Чем отличается вписанный угол от центрального?

Центральный угол — при центре окружности, опирающийся на дугу; равен градусной мере дуги. Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды; равен половине центрального угла на той же дуге. Следствие: все вписанные углы на одну дугу равны.

Что такое угол между касательной и хордой и зачем он нужен?

Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, — то есть равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу с другой стороны. Это свойство используется в задаче №16 для доказательства подобия треугольников и определения касательных.

Какие формулы обязательно знать наизусть для ЕГЭ?

$r = \dfrac{S}{p}$ — радиус вписанной окружности треугольника
$R = \dfrac{abc}{4S}$ — радиус описанной окружности треугольника
$R = \dfrac{a}{2\sin A}$ — следствие теоремы синусов
Прямоугольный △: $R = \dfrac{c}{2}$ и $r = \dfrac{a+b-c}{2}$
Отрезки касательных: $x = p - a$ (длина касательной от вершины A)
Условие вписанности четырёхугольника: $AB + CD = BC + AD$
Условие описанности четырёхугольника: $\angle A + \angle C = 180°$
Угол между касательной и хордой = вписанный угол на ту же дугу

Сколько задач на вписанную/описанную окружность бывает в ЕГЭ?

Как правило, 1–2 задачи. Одна — в базовой части (задание №6, 1 первичный балл). Вторая может встретиться в задании №16 профильного уровня (до 3 первичных баллов). Пункты задачи №16 оцениваются независимо.

Где находится центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике?

Вне треугольника — по другую сторону от стороны, противолежащей тупому углу. Серединные перпендикуляры к двум сторонам, прилежащим к тупому углу, пересекаются за пределами треугольника. Это важно при построении и при оформлении доказательств в задаче №16.

Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего

Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка