Многоугольники: определение, виды и примеры

Если вы хотите закрепить эту тему и другие разделы геометрии — ознакомьтесь с ресурсами для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике: там собраны структурированные материалы по темам экзамена, включая многоугольники.

Что такое многоугольник

Каждое звено этой ломаной линии называется стороной многоугольника, а точки, в которых она «ломается» — его вершинами.

Также у многоугольника есть углы — это внутренние углы, которые образованы сторонами фигуры. Часто название многоугольника совпадает с количеством его углов. Многоугольник с 3 углами — это треугольник, с 4 — четырёхугольник, с 6 — шестиугольник и т. д. Многоугольников с 2 и менее углами не бывает.

Виды многоугольников

Из чего состоит многоугольник: стороны, вершины, углы, диагонали

Каждый многоугольник имеет строго определённый набор элементов:

Многоугольник с n вершинами имеет ровно n сторон и n внутренних углов. Число диагоналей вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$ (подробнее — в разделе о свойствах).

Простой и самопересекающийся многоугольник

Формально такая фигура не является «правильным» многоугольником в классическом понимании Евклида. Важно: для ОГЭ и ЕГЭ самопересекающиеся многоугольники не рассматриваются — все задачи касаются простых фигур.

Выпуклые и вогнутые многоугольники

Иначе говоря, весь многоугольник лежит по одну сторону такой прямой. Все его внутренние углы меньше 180°. Сумма внутренних углов такого многоугольника равна $180° \cdot (n - 2)$, где $n$ — это число сторон многоугольника.

Такой многоугольник легко отличить — он «сгибается» внутрь в одной из сторон. При этом хотя бы один из его внутренних углов больше 180°.

Как определить выпуклость — простой визуальный тест

1. Мысленно «натяните» резинку вокруг фигуры.
2. Если контур резинки совпадает с контуром фигуры — многоугольник выпуклый.
3. Если резинка «срезает» один или несколько углов — многоугольник невыпуклый.

Произвольные многоугольники

Такое понятие используется, когда нужно сформулировать общую теорему или задачу, справедливую для любого многоугольника с заданным числом сторон.

Вписанные и описанные многоугольники

Для правильного n-угольника обе окружности всегда существуют и их центры совпадают.

Правильные многоугольники

Такие фигуры ещё называют симметричными — их можно «сложить» пополам, при этом все стороны и вершины обеих частей совпадут.

Признаки правильного многоугольника

• Все стороны равны между собой.
• Все внутренние углы равны между собой.
• Существует центр, равноудалённый от всех вершин (центр описанной окружности).
• Существует центр, равноудалённый от всех сторон (центр вписанной окружности).
• Оба центра совпадают в одной точке.
• Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.

Карточки правильных многоугольников

Ещё одно важное свойство: все биссектрисы углов между сторонами правильного многоугольника равны и проходят через его центр.

Особенности правильных многоугольников упрощают связанные с ними расчёты. Например, периметр такой фигуры: $P = an$, где $a$ — длина её стороны, а $n$ — количество углов.

Правильный треугольник: все формулы

Формулы для правильных треугольников
Формула стороны через радиус вписанной окружности	$a = 2r\sqrt{3}$
Формула стороны через радиус описанной окружности	$a = R\sqrt{3}$
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны	$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Формула площади через длину стороны	$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Формула площади через радиус вписанной окружности	$S = r^2 \cdot 3\sqrt{3}$
Формула площади через радиус описанной окружности	$S = \dfrac{R^2 \cdot 3\sqrt{3}}{4}$
Угол между сторонами	$\alpha = 60°$

Правильный четырёхугольник: все формулы

Формулы для правильных четырёхугольников
Формула стороны через радиус вписанной окружности	$a = 2r$
Формула стороны через радиус описанной окружности	$a = R\sqrt{2}$
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны	$r = a/2$
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны	$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Формула площади через длину стороны	$S = a^2$
Формула площади через радиус вписанной окружности	$S = 4r^2$
Формула площади через радиус описанной окружности	$S = 2R^2$
Угол между сторонами	$\alpha = 90°$

Правильный шестиугольник: все формулы

Формулы для правильных шестиугольников
Формула стороны через радиус вписанной окружности	$a = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}r$
Формула стороны через радиус описанной окружности	$a = R$
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны	$R = a$
Формула площади через длину стороны	$S = \dfrac{a^2 \cdot 3\sqrt{3}}{2}$
Формула площади через радиус вписанной окружности	$S = r^2 \cdot 2\sqrt{3}$
Формула площади через радиус описанной окружности	$S = \dfrac{R^2 \cdot 3\sqrt{3}}{2}$
Угол между сторонами	$\alpha = 120°$

Правильный восьмиугольник: все формулы

Формулы для правильных восьмиугольников
Формула стороны через радиус вписанной окружности	$a = 2r(\sqrt{2} - 1)$
Формула стороны через радиус описанной окружности	$a = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$
Формула радиуса вписанной окружности через длину стороны	$r = \dfrac{a(\sqrt{2} + 1)}{2}$
Формула радиуса описанной окружности через длину стороны	$R = \dfrac{a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2}$
Формула площади через длину стороны	$S = a^2 \cdot 2(\sqrt{2} + 1)$
Формула площади через радиус вписанной окружности	$S = r^2 \cdot 8(\sqrt{2} - 1)$
Формула площади через радиус описанной окружности	$S = R^2 \cdot 2\sqrt{2}$
Угол между сторонами	$\alpha = 135°$

Периметр многоугольника

Для примера рассчитаем периметр шестиугольника $А_1 А_2 А_3 А_4 А_5 А_6$ на картинке ниже:

$P = А_1А_2 + А_2А_3 + А_3А_4 + А_4А_5 + А_5А_6 + А_6А_1 = 2 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 = 16$

Периметр n-угольника

Общий случай: $P = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ (сумма всех сторон).

Правильный n-угольник (все стороны равны $a$): $P = n \cdot a$.

Диагональ многоугольника

При этом у треугольника диагонали быть не может, потому что все его углы имеют общие стороны.

Вычислить количество диагоналей в многоугольнике можно по формуле $N = n(n - 3) : 2$, где $n$ — это количество углов. Так, для фигуры на картинке выше справедливы такие расчёты:

$N = 6(6 - 3) : 2 = 6 \cdot 3 : 2 = 18 : 2 = 9$

Если провести все возможные диагонали из одной вершины, они разделят фигуру на треугольники. При этом в случае с любым многоугольником их будет на 2 меньше, чем углов: $t = n - 2$.

$t = 6 - 2 = 4$

Составные фигуры и площадь многоугольника

Площадь многоугольников

Треугольник, прямоугольник, параллелограмм, трапеция — формулы

Правильный n-угольник: формула через апофему и через радиусы окружностей

Пусть a — сторона правильного n-угольника, r — радиус вписанной окружности (апофема), R — радиус описанной окружности.

• Через апофему: $S=\dfrac{1}{2}\cdot P\cdot r=\dfrac{1}{2}\cdot n\cdot a\cdot r$
• Через сторону: $S=\dfrac{n\cdot a^2}{4\cdot\operatorname{tg}(\pi/n)}$
• Через R: $S=\dfrac{1}{2}\cdot n\cdot R^2\cdot\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$

Разбор задачи для правильного шестиугольника

Сторона правильного шестиугольника равна 6 см. Найдите его площадь.

1. Для правильного шестиугольника: $S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$
2. $S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36=54\sqrt{3}\approx 93{,}5$ см².

Ответ: $S=54\sqrt{3}\approx 93{,}5$ см²

Площадь составных фигур

Ключевое свойство: площадь составной фигуры равна сумме площадей её составных частей (при условии, что части не перекрываются).

Многие практические задачи ОГЭ и ЕГЭ содержат фигуры, которые не являются стандартными многоугольниками, но могут быть разбиты на несколько простых фигур или получены вычитанием одной фигуры из другой.

Алгоритм нахождения площади составной фигуры

• Внимательно прочитайте условие и определите, из каких частей состоит фигура.
• Нарисуйте (или обозначьте) линии разбиения фигуры на стандартные части (треугольники, прямоугольники, трапеции и т. д.).
• Вычислите площадь каждой части отдельно, используя соответствующие формулы.
• Сложите площади всех частей (или вычтите площадь «вырезанной» части из большой фигуры).
• Проверьте ответ: убедитесь, что единицы измерения совпадают и ответ разумен по порядку величины.

Пример задачи: Г-образная фигура

Условие: Г-образная фигура состоит из двух прямоугольников: большого (8×5 см) и маленького (3×2 см), «вырезанного» из угла. Найдите площадь фигуры.

Решение:
$S_{\text{большой}} = 8 \times 5 = 40$ см²
$S_{\text{вырезанный}} = 3 \times 2 = 6$ см²
$S_{\text{фигуры}} = 40 - 6 = \mathbf{34}$ см²

Ответ: 34 см²

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге — формула Пика

Для многоугольников, вершины которых расположены в узлах клетчатой бумаги, используется формула Пика:

Многоугольник на клетчатой бумаге имеет 6 граничных узлов и 4 внутренних. Найдите его площадь.

$S = \dfrac{6}{2} + 4 - 1 = 3 + 4 - 1 = \mathbf{6}$ клеток²

Ответ: 6 клеток²

Метод	Формула / условие	Когда применять
Разбиение на треугольники	$S = \sum S_{\triangle_i}$	Любой многоугольник
Через апофему (правильный)	$S = \dfrac{1}{2} \cdot P \cdot r$	Правильный n-угольник
Формула Герона (треугольник)	$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	Треугольник по трём сторонам
Формула Пика (сетка)	$S = \dfrac{B}{2} + I - 1$	Многоугольник на клетчатой бумаге (ОГЭ)
Через координаты (Гаусс)	$S = \dfrac{1}{2}|\sum(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)|$	Координатная плоскость

Построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный n-угольник можно построить, равномерно разместив n точек на окружности с угловым шагом $\dfrac{360°}{n}$.

1. Начертите окружность произвольного радиуса R с центром O.
2. Вычислите центральный угол: $\varphi = \dfrac{360°}{n}$.
3. Отметьте первую точку A₁ на окружности (например, в правой крайней точке).
4. Отложите угол φ от центра O и отметьте следующую точку A₂. Повторите n раз.
5. Соедините последовательно все точки отрезками — получится правильный n-угольник.

Особые случаи: быстрые построения без транспортира

Равные и равновеликие многоугольники

Равные многоугольники: точное совпадение при наложении

Формально существует взаимно однозначное соответствие между вершинами, при котором все соответствующие стороны и все соответствующие углы равны.

• Равные многоугольники имеют одинаковые периметры.
• Равные многоугольники имеют одинаковые площади.
• Но: одинаковые периметры и площади не гарантируют равенства фигур.

Равновеликие многоугольники: одинаковая площадь, но не обязательно одинаковая форма

Равновеликость — более слабое условие, чем равенство.

Пример равновеликих, но неравных фигур

Иллюстрирующий пример — Квадрат 4×4 см и прямоугольник 2×8 см

• $S_{\text{квадрата}} = 4 \times 4 = 16$ см²
• $S_{\text{прямоугольника}} = 2 \times 8 = 16$ см²
• Площади равны → фигуры равновеликие.
• Периметр квадрата = 16 см, периметр прямоугольника = 20 см → фигуры не равны.

Вывод: равные фигуры всегда равновелики, но равновеликие фигуры не обязательно равны.

Преобразование фигур с сохранением площади

Понятие равновеликости лежит в основе задач на преобразование фигур: например, как построить прямоугольник, равновеликий данному треугольнику; или как разрезать фигуру и сложить из частей другую фигуру равной площади. Подобные задачи встречаются в олимпиадных вариантах и в части 2 ЕГЭ профильного уровня.

Неравенство многоугольника

Задачи для практики по теме

Задача 1 — сумма углов. Найдите сумму внутренних углов правильного восьмиугольника.

$S = (n-2)\cdot 180° = (8-2)\cdot 180° = 6\cdot 180° = \mathbf{1080°}$

Ответ: 1080°

Задача 2 — каждый угол правильного многоугольника. Найдите величину каждого угла правильного двенадцатиугольника.

Сумма углов: $(12-2)\cdot 180° = 10\cdot 180° = 1800°$
Каждый угол: $1800° \div 12 = \mathbf{150°}$

Ответ: 150°

Задача 3 — число диагоналей. Сколько диагоналей у правильного десятиугольника?

$D = \dfrac{n(n-3)}{2} = \dfrac{10\cdot 7}{2} = \dfrac{70}{2} = \mathbf{35}$

Ответ: 35 диагоналей

Задача 4 — площадь правильного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника равна 6 см. Найдите его площадь.

$S = \dfrac{a^2 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{36 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{108\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} \approx \mathbf{93{,}53}$ см²

Ответ: $54\sqrt{3} \approx 93{,}53$ см²

Задача 5 — неизвестный угол. Сумма четырёх углов пятиугольника равна 460°. Найдите пятый угол.

Сумма всех углов пятиугольника: $(5-2)\cdot 180° = 540°$
Пятый угол: $540° - 460° = \mathbf{80°}$

Ответ: 80°

Мини-тест: проверь себя

1. Сколько диагоналей у пятиугольника?

✓ Ответ: $D = \dfrac{5\cdot 2}{2} = 5$ диагоналей.

2. Чему равна сумма внутренних углов семиугольника?

✓ Ответ: $(7-2)\cdot 180° = 5\cdot 180° = 900°$.

3. Чему равен каждый угол правильного шестиугольника?

✓ Ответ: $\dfrac{(6-2)\cdot 180°}{6} = \dfrac{720°}{6} = 120°$.

4. Может ли многоугольник иметь угол, равный 200°?

✓ Ответ: Да, если многоугольник невыпуклый (вогнутый). У выпуклого многоугольника все углы меньше 180°.

5. Правда ли, что у правильного треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной?

✓ Ответ: Да. $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, поэтому $R = 2r$.

Повторить свойства многоугольников, а также потренироваться решать задачи на эту тему можно в Тренажёре ЕГЭ. В нём собраны все темы по математике, которые встретятся на экзамене базового и профильного уровня. Задания доступны бесплатно и в любое время.

Шпаргалка по многоугольникам

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается выпуклый многоугольник от невыпуклого?

У выпуклого многоугольника все внутренние углы меньше 180°, и любой отрезок между двумя его точками целиком лежит внутри фигуры. У невыпуклого хотя бы один угол «заходит внутрь» — больше 180°. Быстрый тест: натяните воображаемую резинку вокруг фигуры — если она «срезает» угол, фигура невыпуклая.

Как найти сумму углов многоугольника?

Используйте формулу $S=(n-2)\cdot 180°$, где $n$ — количество сторон. Например, для пятиугольника: $S=(5-2)\cdot 180°=3\cdot 180°=540°$.

Как посчитать количество диагоналей?

По формуле $D=\dfrac{n(n-3)}{2}$. Например, для шестиугольника: $D=\dfrac{6\cdot 3}{2}=9$ диагоналей.

Что такое правильный многоугольник?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Примеры: равносторонний треугольник (3 стороны), квадрат (4), правильный шестиугольник (6). Для правильного n-угольника всегда существуют вписанная и описанная окружности с общим центром.

Как вписать многоугольник в окружность?

Для правильного n-угольника: начертите окружность радиуса R, вычислите центральный угол $\dfrac{360°}{n}$, отметьте n равноудалённых точек на окружности с шагом в этот угол — и соедините их последовательно отрезками. Для произвольного вписанного многоугольника необходимо, чтобы все его вершины лежали на одной окружности, что возможно не для любой фигуры.

Что такое апофема многоугольника?

Апофема правильного многоугольника — это перпендикуляр, опущенный из центра фигуры на любую из её сторон. Апофема равна радиусу вписанной окружности: $r=\dfrac{a}{2\operatorname{tg}(\pi/n)}$. Апофема используется для вычисления площади правильного n-угольника: $S=\dfrac{1}{2}\cdot P\cdot r$.

В чём разница между равными и равновеликими многоугольниками?

Равные многоугольники совпадают при наложении (одинаковые стороны, углы, форма и размер). Равновеликие многоугольники имеют одинаковые площади, но могут различаться по форме и периметру. Например, квадрат $4\times 4$ и прямоугольник $2\times 8$ — равновеликие (оба имеют площадь 16 см²), но неравные фигуры.

Что такое формула Пика и когда её применять?

Формула Пика $S=\dfrac{B}{2}+I-1$ применяется для многоугольников, чьи вершины расположены в узлах клетчатой бумаги (сетки). B — число узлов на границе, I — число узлов внутри. Это быстрый способ найти площадь нестандартных фигур на клетчатой бумаге — часто встречается в заданиях ОГЭ.

Какие темы о многоугольниках входят в ЕГЭ 2026?

В кодификатор ЕГЭ профильного уровня 2026 года входят: свойства и признаки правильных многоугольников, формулы сумм углов, площадей, радиусов вписанных и описанных окружностей. Задачи на вычисление площади составных фигур присутствуют как в первой (базовой), так и во второй (развёрнутой) части. Самопересекающиеся многоугольники и формула Пика в обязательный минимум не входят, но могут встретиться в олимпиадных вариантах.

Как из суммы углов найти число сторон многоугольника?

Из формулы $S_\angle = (n-2)\cdot 180°$ выразите $n$: $n = \dfrac{S_\angle}{180°} + 2$. Например, если сумма углов равна 1440°: $n = \dfrac{1440°}{180°} + 2 = 8 + 2 = 10$ сторон (десятиугольник).

---