Четырёхугольники — виды, формулы и свойства

---

Шпаргалка: все четырёхугольники в одной таблице

Вид	Формула площади	Формула периметра	Ключевое свойство
Произвольный четырёхугольник	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$ (через диагонали)	$P = a + b + c + d$	Сумма углов = 360°
Параллелограмм	$S = a \cdot h$; $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$	$P = 2(a + b)$	Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Прямоугольник	$S = a \cdot b$	$P = 2(a + b)$	Все углы прямые; диагонали равны
Ромб	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$; $S = a^2 \cdot \sin\alpha$	$P = 4a$	Диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов
Квадрат	$S = a^2$; $S = \dfrac{1}{2} \cdot d^2$	$P = 4a$	Правильный четырёхугольник: все стороны и углы равны
Трапеция	$S = \dfrac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$	$P = a + b + c + d$	Одна пара сторон параллельна; средняя линия $= \dfrac{a+b}{2}$
Дельтоид	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$	$P = 2(a + b)$	Две пары смежных равных сторон; одна диагональ — ось симметрии

---

Определение и общие свойства четырёхугольников

Два универсальных свойства:

• У любого четырёхугольника сумма углов равна 360°.
• Периметр четырёхугольника — сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c + d$.

Четырёхугольники, как и любые многоугольники, бывают выпуклые и невыпуклые.

Диагонали четырёхугольника — это отрезки, соединяющие противоположные вершины. Они могут:

• пересекаться внутри фигуры (выпуклый четырёхугольник);
• пересекаться за пределами фигуры или одна из них выходить за контур (невыпуклый четырёхугольник);
• иметь специальные свойства (равенство, перпендикулярность, деление пополам) в частных видах.

В школьной программе большее внимание уделяется именно выпуклым фигурам, так как их проще исследовать, выводить и доказывать для них теоремы. К выпуклым четырёхугольникам относят параллелограмм квадрат, прямоугольник, ромб, трапецию. Каждая из этих фигур имеет как свои отличительные характеристики, так и то, что объединяет её с другими родственными фигурами.

Давайте подробно рассмотрим каждую из них.

---

Параллелограмм: определение, свойства, основные формулы

Свойства параллелограмма

• Противолежащие углы параллелограмма равны.

  

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.

  
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

• Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

  
• Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• В параллелограмме диагонали $d_1$, $d_2$ и стороны $a$, $b$ связаны следующим соотношением: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

• Биссектриса, проведённая из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник.

  

• Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

  

Так как по определению в параллелограмме стороны попарно параллельны, диагонали можно считать секущими, а значит, накрест лежащие углы равны.

Площадь параллелограмма можно рассчитать по следующим формулам:

	$S = ah_a$
	$S = ab\sin\alpha$
	$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi$

Формулы параллелограмма

Что вычислить	Формула	Обозначения
Площадь (через основание и высоту)	$S = a \cdot h$	a — основание, h — высота (перпендикуляр к основанию)
Площадь (через стороны и угол)	$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$	a, b — смежные стороны; α — угол между ними
Площадь (через диагонали)	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$	d₁, d₂ — диагонали; φ — угол между ними
Периметр	$P = 2(a + b)$	a, b — смежные стороны

Пример решения задачи

Типичные ошибки при работе с параллелограммом

• Подставляют сторону вместо высоты. Высота — это перпендикуляр к основанию, а не боковая сторона. Если угол ≠ 90°, то $h = b \cdot \sin\alpha \neq b$.
• Забывают тождество параллелограмма при нахождении диагоналей через стороны.
• Путают смежные и противоположные углы: смежные дополняют друг друга до 180°, противоположные равны.

Параллелограмм — важная фигура в геометрии, на которую равняются другие четырёхугольники. Практически все из них — прямоугольник, квадрат и ромб — наследуют свойства параллелограмма с учётом своих особенностей.

---

Прямоугольник: определение, свойства, основные формулы

Отличие от параллелограмма есть в названиях сторон фигуры: в прямоугольнике длинную сторону принято называть длиной, а короткую — шириной, для сторон параллелограмма особенные наименования не используются.

Свойства прямоугольника

Помимо всех свойств, присущих параллелограмму, у прямоугольника есть уникальные черты:

• Все четыре угла прямые: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.
• Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.
• Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
• Стороны прямоугольника одновременно являются и его высотами.
• Прямоугольник имеет две оси симметрии (через середины противоположных сторон) и центр симметрии.
• Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, т. к. сумма противоположных углов равна 180°.
• Радиус описанной окружности: $R = d/2$.

Формулы прямоугольника

Что вычислить	Формула	Примечание
Площадь	$S = a \cdot b$	a — длина, b — ширина
Периметр	$P = 2(a + b)$
Диагональ	$d = \sqrt{a^2 + b^2}$	Теорема Пифагора
Радиус описанной окружности	$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Пример решения задачи

Типичные ошибки при работе с прямоугольником

• Используют сторону вместо диагонали при поиске R. Радиус описанной окружности равен половине диагонали, а не стороны.
• Забывают, что диагонали равны, но не перпендикулярны (перпендикулярны у ромба, а не прямоугольника).
• Путают формулы прямоугольника и квадрата: у квадрата $d = a\sqrt{2}$, у прямоугольника $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

---

Ромб: определение, свойства, основные формулы

Свойства ромба

Подобно прямоугольнику, ромб наследует все свойства параллелограмма и одновременно с этим имеет свои свойства:

• Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
• В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон равны.
• Центром вписанной окружности будет точка пересечения диагоналей ромба.
• В ромбе диагонали $d_1$, $d_2$ и сторона $a$ связаны следующим соотношением: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

Для нахождения площади ромба можно воспользоваться всеми аналогичными формулами для параллелограмма.

Формулы ромба

Что вычислить	Формула	Обозначения
Площадь (через диагонали)	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$	d₁, d₂ — диагонали
Площадь (через сторону и угол)	$S = a^2 \cdot \sin\alpha$	a — сторона, α — острый угол
Периметр	$P = 4a$	a — сторона
Радиус вписанной окружности	$r = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2 \cdot \sqrt{d_1^2 + d_2^2}}$	через диагонали
Сторона через диагонали	$a = \dfrac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$	теорема Пифагора

Типичные ошибки при работе с ромбом

• Путают формулы площади ромба и параллелограмма: у ромба есть дополнительная формула через диагонали $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$, которой нет у общего параллелограмма.
• Забывают, что диагонали ромба перпендикулярны, но не равны (равны у прямоугольника).
• Неверно применяют формулу стороны: $a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$, а не $a = \frac{d_1 + d_2}{2}$.

---

Квадрат: определение, свойства, основные формулы

Эта фигура — что-то невероятное! 🤯

• Квадрат — это правильный многоугольник, так как у него равны все стороны и все углы.
• Квадрат — это параллелограмм, так как стороны попарно параллельны.
• Квадрат — это частный случай прямоугольника, так как все его углы — прямые.
• Квадрат — это частный случай ромба, так как все его стороны имеют одинаковую длину.

А значит, квадрат собрал в себе абсолютно все свойства четырёхугольников, перечисленных выше!

А ещё:

• Диагональ квадрата можно рассчитать по формуле $d = a\sqrt{2}$.
• Вокруг любого квадрата можно описать окружность и в любой квадрат можно вписать окружность.
• Площадь квадрата можно рассчитать как $S = 4r^2 = 2R^2$, где $r$ — радиус вписанной, $R$ — радиус описанной окружности.

Формулы квадрата

Что вычислить	Формула	Примечание
Площадь (через сторону)	$S = a^2$	Основная формула
Площадь (через диагональ)	$S = \dfrac{d^2}{2}$
Площадь (через вписанную окружность)	$S = 4r^2$
Площадь (через описанную окружность)	$S = 2R^2$
Периметр	$P = 4a$
Диагональ	$d = a\sqrt{2}$
Радиус описанной окружности	$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Радиус вписанной окружности	$r = \dfrac{a}{2}$

Типичные ошибки при работе с квадратом

• Путают $d = a\sqrt{2}$ и $d = 2a$. Диагональ квадрата — это $a\sqrt{2}$, а не удвоенная сторона.
• Неверно применяют формулу через радиус: $S = 4r^2$ (вписанная) или $S = 2R^2$ (описанная). Не путайте $r$ и $R$.

---

Трапеция: определение, свойства, основные формулы

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (верхним и нижним), а непараллельные стороны — боковыми.

Трапеции бывают:

• равнобокими или равнобедренными — их боковые стороны равны;
• прямоугольными — одна из сторон перпендикулярна основаниям.

Трапеция явно отличается от фигур, описанных выше: она не является «наследницей» параллелограмма, а значит, имеет отличные от него свойства (хотя некоторые из них всё равно совпадают).

Свойства трапеции

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

   

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

   

3. Треугольники $AOD$ и $COB$, образованные при пересечении диагоналей, подобны: $k = AD/BC$.

   

   Треугольники $ABO$ и $DCO$ имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.

4. «Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

   

5. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

   

Отдельно можно выделить дополнительные свойства равнобедренных трапеций:

1. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

   

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = MN \cdot h$, где:

• a, b — основания трапеции;
• h — высота трапеции;
• MN — средняя линия трапеции.

Также можно воспользоваться дополнительными формулами:

$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi$, где:

• $d_1$, $d_2$ — диагонали трапеции;
• $\sin\varphi$ — синус острого угла между ними.

$S = \dfrac{a + b + c + d}{2} \cdot r = pr$, где:

• p — полупериметр трапеции;
• r — радиус вписанной окружности.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Её длина:

Площадь трапеции через среднюю линию: $S = m \cdot h$.

Типичные ошибки при работе с трапецией

• Используют боковую сторону вместо высоты. Высота — перпендикуляр между основаниями. Боковая сторона равна высоте только в прямоугольной трапеции.
• Путают основания и боковые стороны при подстановке в формулу $S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h$: основания — параллельные стороны.
• Забывают условие вписанной окружности для трапеции: $a + b = c + d$ (сумма оснований равна сумме боковых сторон).

---

Дельтоид (воздушный змей)

Свойства дельтоида

• Одна диагональ (ось симметрии) перпендикулярна другой и делит её пополам.
• Углы между неравными сторонами равны.
• Одна пара противоположных углов равна.
• Вокруг дельтоида можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.
• В дельтоид можно вписать окружность (условие: сумма смежных пар сторон равна).

Формулы дельтоида

Что вычислить	Формула
Площадь	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$
Периметр	$P = 2(a + b)$

---

Виды четырёхугольников: наглядная классификация

Таблица признаков четырёхугольников

Признак	Параллелограмм	Прямоугольник	Ромб	Квадрат	Трапеция	Дельтоид
Параллельных пар сторон	2	2	2	2	1	0
Все стороны равны	—	—	✓	✓	—	—
Все углы прямые	—	✓	—	✓	—	—
Диагонали равны	—	✓	—	✓	только равнобедренная	—
Диагонали перпендикулярны	—	—	✓	✓	—	✓
Диагонали делятся пополам	✓	✓	✓	✓	—	только одна
Ось симметрии	—	2	2	4	только равнобедренная (1)	1

Как быстро определить вид четырёхугольника по условию задачи

1. Есть ли параллельные стороны? Нет ни одной → произвольный или дельтоид. Одна пара → трапеция. Две пары → параллелограмм или его частный случай.
2. Все стороны равны? Да + параллелограмм → ромб. Ромб + все углы прямые → квадрат.
3. Все углы прямые? Да + параллелограмм → прямоугольник. Прямоугольник + все стороны равны → квадрат.
4. Две пары смежных равных сторон, но стороны пар не равны между собой? → Дельтоид.
5. Даны диагонали и угол между ними? Используйте формулу $S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$.

---

Вписанная и описанная окружности четырёхугольника

Условия существования вписанной окружности

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

Это условие носит название теоремы Питота (и обратной к ней). Для параллелограмма оно выполняется только в случае ромба (все стороны равны). Для трапеции — если сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Условия существования описанной окружности

Вокруг четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°:

Такой четырёхугольник называется вписанным (или циклическим).

Формула площади вписанного четырёхугольника (формула Брахмагупты)

Для четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d, вписанного в окружность, площадь вычисляется по формуле Брахмагупты:

где $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ — полупериметр.

Формула радиуса описанной окружности вписанного четырёхугольника

Для вписанного четырёхугольника радиус описанной окружности выражается через стороны и площадь:

---

Средняя линия произвольного четырёхугольника

В произвольном четырёхугольнике ABCD отрезок, соединяющий середины противоположных сторон AB и CD, является средней линией. По теореме Вариньона, середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм (параллелограмм Вариньона), диагонали которого соединяют середины противоположных сторон исходного четырёхугольника.

---

Четырёхугольники на координатной плоскости

Определение вида по координатам

Если заданы координаты вершин $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$, $D(x_4,y_4)$, последовательность действий следующая:

1. Вычислить длины всех сторон: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ и аналогично для остальных.
2. Вычислить длины диагоналей: $AC$ и $BD$.
3. Проверить параллельность: $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{DC}$ тогда и только тогда, когда $\dfrac{x_2-x_1}{x_3-x_4} = \dfrac{y_2-y_1}{y_3-y_4}$.
4. По полученным данным (равенство сторон, параллельность, равенство диагоналей) определить вид.

Площадь по формуле Гаусса (формула шнура)

Формула работает для любого простого (несамопересекающегося) многоугольника при обходе вершин в одном направлении.

---

Симметрия четырёхугольников

---

Формулы площади: когда и какую применять

Что известно в задаче	Используйте формулу	Пример ситуации
Основание и высота (параллелограмм/трапеция)	$S = a \cdot h$ / $S = \dfrac{1}{2}(a+b)\cdot h$	Стандартная задача ОГЭ задание 17
Две стороны и угол (параллелограмм/ромб)	$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ / $S = a^2 \cdot \sin\alpha$	Задача с синусом угла
Обе диагонали ⊥ (ромб/квадрат/дельтоид)	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$	Задача на ромб или дельтоид
Обе диагонали и угол (произвольный)	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$	Произвольный четырёхугольник
Длина и ширина (прямоугольник)	$S = a \cdot b$	Практико-ориентированная задача ЕГЭ База
Сторона (квадрат)	$S = a^2$	Нахождение площади квадратного участка
Диагональ (квадрат)	$S = \dfrac{d^2}{2}$	Когда задана диагональ квадрата
Координаты вершин (произвольный)	Формула Гаусса (Шнура)	Аналитическая геометрия, ЕГЭ профиль
Нет дополнительных данных (произвольный)	Разбиение на треугольники	Универсальный метод

---

Разбор типовых задач (ОГЭ/ЕГЭ)

Задача 1. Найти площадь параллелограмма по двум сторонам и углу

Условие: Стороны параллелограмма равны 7 и 9 см, угол между ними 45°. Найдите площадь.

Задача 2. Найти диагональ прямоугольника

Условие: Стороны прямоугольника 8 и 15 см. Найдите диагональ.

Задача 3. Найти площадь трапеции по основаниям и высоте

Условие: Основания трапеции 14 и 6 см, высота 5 см. Найдите площадь.

Задача 4. Найти сторону ромба по диагоналям

Условие: Диагонали ромба равны 16 и 12 см. Найдите сторону ромба.

Задача 5. Произвольный четырёхугольник: разбиение на треугольники

Условие: В четырёхугольнике ABCD диагональ AC = 10 см. Высота из B на AC равна 4 см, высота из D на AC равна 6 см. Найдите площадь ABCD.

Задача 6. Трапеция: подобие треугольников при диагоналях

Условие: В трапеции ABCD основания AB = 12 см и CD = 4 см. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите AO, если AC = 9 см.

---

Проверь себя: быстрый тест по четырёхугольникам

Базовый уровень:

1. Чему равна сумма внутренних углов любого четырёхугольника?

Ответ: 360°

2. Как называется четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые?

Ответ: квадрат

3. Найдите периметр ромба со стороной 5 см.

Ответ: 20 см

Средний уровень:

4. Стороны прямоугольника 6 и 8 см. Найдите его диагональ.

Ответ: 10 см

5. Основания трапеции 10 и 4 см. Найдите среднюю линию.

Ответ: 7 см

6. Стороны параллелограмма 5 и 7 см, угол 30°. Найдите площадь.

Ответ: $S = 5 \cdot 7 \cdot \sin 30° = $ 17,5 см²

Продвинутый уровень:

7. Диагонали ромба 18 и 24 см. Найдите сторону и площадь ромба.

Ответ: $a = \dfrac{1}{2}\sqrt{18^2+24^2} = $ 15 см; $S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = $ 216 см²

8. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOB и COD равны (по двум сторонам и углу между ними — вертикальные углы). Значит, AB = CD и AB ∥ CD. Аналогично BC = AD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм по определению.

9. Вписанный четырёхугольник: ∠A = 75°, ∠B = 110°. Найдите ∠C и ∠D.

В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают 180°.
∠C = 180° − 75° = 105°; ∠D = 180° − 110° = 70°

10. По координатам вершин $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(5;3)$, $D(1;3)$ найдите площадь ABCD.

По формуле Гаусса:
$S = \dfrac{1}{2}|(0·0−4·0)+(4·3−5·0)+(5·3−1·3)+(1·0−0·3)| = \dfrac{1}{2}|0+12+12+0| = $ 12 кв. ед.

11. В трапеции с основаниями 8 и 2 см диагонали пересекаются в точке O. Найдите OA, если AC = 10 см.

Коэффициент подобия $k = 8/2 = 4$, поэтому $AO/OC = 4/1$.
$OA = \dfrac{4}{5} \cdot 10 = $ 8 см; $OC = $ 2 см

---

Часто задаваемые вопросы

Является ли квадрат прямоугольником?

Да. Квадрат — частный случай прямоугольника (у него все углы прямые) и одновременно частный случай ромба (все стороны равны). Поэтому квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба одновременно.

Является ли ромб квадратом?

Не всегда. Ромб становится квадратом только если хотя бы один его угол прямой. В общем случае у ромба углы не прямые, поэтому ромб ≠ квадрат, но квадрат — всегда ромб.

Чем трапеция отличается от параллелограмма?

У трапеции параллельна только одна пара сторон (основания), у параллелограмма — обе пары. Поэтому трапеция не является частным случаем параллелограмма и не наследует его свойств (диагонали не делятся пополам и т. д.).

Как найти площадь произвольного четырёхугольника?

Наиболее универсальный способ — разбить его диагональю на два треугольника и найти сумму их площадей. Также можно воспользоваться формулой $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ (через диагонали и угол между ними) или формулой Гаусса, если известны координаты вершин.

Можно ли вписать окружность в любой четырёхугольник?

Нет. Вписанная окружность существует только если суммы противоположных сторон равны: $a + c = b + d$ (теорема Питота). Из школьных фигур этому условию удовлетворяют: ромб, квадрат, и трапеция при условии, что $a + b = c + d$.

Сколько осей симметрии у квадрата?

Четыре: две соединяют середины противоположных сторон, и две проходят по диагоналям. Помимо этого, квадрат имеет центр симметрии — точку пересечения диагоналей.

---

Источники и дополнительные материалы

---

Четырёхугольники — это лёгкая и интересная тема, которую можно освоить за считанные дни. Проходите по ссылке и решайте оригинальные задачи в нашем бесплатном тренажёре ЕГЭ, практикуйтесь сами и приглашайте друзей: контрольные и экзамены — не за горами!