Прямоугольный треугольник — теория, свойства и задачи

Если вы готовитесь к ЕГЭ и хотите получить структурированную программу с разбором всех тем — изучите подготовку к ЕГЭ по математике на базовом уровне от Skysmart: там собраны актуальные материалы, соответствующие формату экзамена 2026 года, с разбором планиметрии, тригонометрии и векторов.

Определение прямоугольного треугольника

Основные элементы и обозначения

Точное понимание терминов устраняет 80% ошибок при решении задач. Разберём каждый элемент.

Катеты — две стороны, образующие прямой угол. Их обозначение зависит от того, относительно какого угла рассматривается задача:

• Противолежащий катет — катет, лежащий напротив рассматриваемого острого угла α
• Прилежащий катет — катет, образующий рассматриваемый острый угол α вместе с гипотенузой

Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу. Всегда самая длинная сторона треугольника.

Медиана, биссектриса, высота прямоугольного треугольника — отрезки, проведённые из вершин к противоположным сторонам (медиана — к середине, биссектриса — делит угол пополам, высота — перпендикулярна стороне).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3. Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник равнобедренный.

   

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

   

   И наоборот, если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий угол равен 30°.

5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине (и радиусу окружности, описанной около прямоугольного треугольника).

   

   $m_c = \dfrac{1}{2}c = R$

6. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.

7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно рассчитать по формуле: $r = \dfrac{a + b - c}{2}$.

   

Основные формулы

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора позволяет рассчитать длину одной из сторон прямоугольного треугольника по двум другим.

Сформулировать это правило можно так: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Из этой формулы можно выразить катеты a и b и найти их длины, если это необходимо.

Так, если гипотенуза треугольника ABC равна 13, а один из катетов — 5, то другой катет равен $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Как найти любую сторону — три рабочие формулы

Пример решения задачи

Типичная ошибка: школьники нередко складывают не квадраты, а сами числа: c = 6 + 8 = 14. Это грубое нарушение формулы. Всегда сначала возводите в квадрат, потом суммируйте, затем берёте корень.

Площадь и периметр прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника — сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить с помощью нескольких формул. Приведём самые базовые:

• $S = \dfrac{1}{2}ab$, где a и b — катеты прямоугольного треугольника.
• $S = \dfrac{1}{2}ac\sin\alpha$, где a — катет, c — гипотенуза, $\sin\alpha$ — угол между катетом и гипотенузой.

Если от объёма информации разбежались глаза — в этом нет ничего страшного. Чтобы запомнить все формулы и отработать навыки решения задач по теме «Прямоугольный треугольник», переходите по ссылке в наш бесплатный тренажёр ЕГЭ.

Пример решения задач — базовый уровень

S = (a · b) / 2 = (5 · 12) / 2 = 60 / 2 = 30 см²

Пример решения задач — средний уровень

S = (c · h) / 2 = (10 · 6) / 2 = 30 см²

Ключевой выбор формулы: если даны два катета — используйте первую формулу. Если дана гипотенуза и высота — вторую. Если известны стороны и угол — третью через синус.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс — впервые определяются именно через стороны прямоугольного треугольника. Эти определения используются в задачах ОГЭ и ЕГЭ чаще всего.

Определения через стороны треугольника

Для острого угла α в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c, противолежащим катетом a и прилежащим катетом b:

Табличные значения — обязательный минимум

Нахождение катетов через угол и гипотенузу

Пример решения задач — тригонометрия

Специальные прямоугольные треугольники

Два «особых» прямоугольных треугольника встречаются на экзаменах постоянно. Знание их соотношений сторон позволяет решать задачи вдвое быстрее, не тратя время на тригонометрические вычисления.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу

Высота h, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, — один из самых плодотворных элементов прямоугольного треугольника. Она порождает несколько важных формул и двух подобных треугольников.

Свойства высоты к гипотенузе

Пусть высота h делит гипотенузу c на отрезки p и q (p — ближе к катету a, q — ближе к катету b). Тогда:

Пример решения задач

Задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме «Прямоугольный треугольник»

Задача 1 ОГЭ

Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
R = AC / 2 = 17 / 2 = 8,5
Проверка: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ✓

Задача 2 ЕГЭ

CM = AB / 2
AB = 2 · CM = 2 · 6,5 = 13

Задача 3 ЕГЭ

Меньший катет лежит напротив меньшего угла (36°):
a = c · sin 36° = 12 · 0,588 ≈ 7,06

Частые ошибки при решении задач

Часто задаваемые вопросы

Все формулы по теме «Прямоугольный треугольник»