Теорема косинусов и синусов: формулы, доказательства, примеры

---

---

Краткое содержание — формулы и когда применять (быстрый старт)

Две главные формулы

Теорема	Формула
Теорема косинусов	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Теорема синусов	$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

где a, b, c — длины сторон треугольника, A, B, C — противолежащие им углы, R — радиус описанной окружности.

Таблица-шпаргалка: что известно → какую теорему применять

Случай	Что дано	Что найти	Теорема	Правило одной фразой
SAS	Две стороны + угол между ними	Третья сторона	Косинусов	Угол «зажат» между двумя сторонами — берём косинус
SSS	Три стороны	Любой угол	Косинусов	Все стороны известны — находим угол через arccos
ASA / AAS	Два угла + сторона	Остальные стороны	Синусов	Два угла в руках — пропорция синусов даёт всё остальное
SSA	Две стороны + угол напротив одной	Угол / сторона	Синусов (осторожно!)	Проверяй число решений: 0, 1 или 2 треугольника

---

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула теоремы Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Геометрический смысл теоремы косинусов

Слагаемое $-2ab\cos C$ — это «поправочный коэффициент» к теореме Пифагора. Он учитывает, насколько угол $C$ отклоняется от прямого:

Тип угла C	Значение $\cos C$	Поправка	Что происходит с третьей стороной
Острый угол ($C < 90°$)	$\cos C > 0$	Отрицательная	Сторона $c$ короче, чем по Пифагору
Прямой угол ($C = 90°$)	$\cos C = 0$	Нулевая	Это классическая теорема Пифагора
Тупой угол ($C > 90°$)	$\cos C < 0$	Положительная	Сторона $c$ длиннее, чем по Пифагору

Доказательство 1 — через координаты

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

$BC^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

В доказательстве теоремы косинусов $BC$ — это сторона треугольника $ABC$, которая обозначена буквой $a$. Введём удобную систему координат и найдём координаты нужных нам точек. У точки $B$ координаты $(c;\, 0)$.
Координаты точки $C$ — $(b\cos\alpha;\; b\sin\alpha)$ при $\alpha \in (0°;\, 180°)$.

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ — основное тригонометрическое тождество.

$$BC^2 = a^2 = (b\cos\alpha - c)^2 + b^2\sin^2\alpha = b^2\cos^2\alpha + b^2\sin^2\alpha - 2bc\cos\alpha + c^2 = b^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2bc\cos\alpha + c^2$$

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2 — через высоту

Сформулируем ещё одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, в котором из вершины $C$ на сторону $AB$ опустили высоту $CD$. Это значит:

• $AD = b \cdot \cos\alpha$,
• $DB = c - b \cdot \cos\alpha$.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников $ADC$ и $BDC$:

• $h^2 = b^2 - (b \cdot \cos\alpha)^2$
• $h^2 = a^2 - (c - b \cdot \cos\alpha)^2$

Приравниваем правые части уравнений:

• $b^2 - (b \cdot \cos\alpha)^2 = a^2 - (c - b \cdot \cos\alpha)^2$

либо

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), случай полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны $b$ и $c$:

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$;
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$.

Альтернативное векторное доказательство

Обозначим векторы: $\vec{a} = \overrightarrow{BC}$, $\vec{b} = \overrightarrow{CA}$. Тогда $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

1. $c^2 = |\vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
2. Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\pi - C) = -ab\cos C$
3. Подставляем: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Векторное доказательство особенно удобно в планиметрии и в курсах физики при сложении сил и скоростей.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

• Когда $b^2 + c^2 - a^2 > 0$, угол $\alpha$ будет острым.
• Когда $b^2 + c^2 - a^2 = 0$, угол $\alpha$ будет прямым.
• Когда $b^2 + c^2 - a^2 < 0$, угол $\alpha$ будет тупым.

---

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Частный случай — прямоугольный треугольник: если $C = 90°$, то $\cos 90° = 0$, и формула немедленно превращается в теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник.

Обратная форма (для нахождения угла по трём сторонам):

• $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

---

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Аналогично:

$$\cos\beta = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

$$\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

---

Теорема синусов

Формулировка теоремы синусов

Стандартная форма: в произвольном треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх пар:

Расширенная теорема синусов — связь с радиусом описанной окружности:

где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника. Это следствие напрямую позволяет находить радиус описанной окружности по одной стороне и противолежащему углу: $R = \dfrac{a}{2\sin A}$.

Следствие из теоремы синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

Наглядное объяснение теоремы синусов

Геометрический смысл: каждая сторона треугольника является хордой описанной окружности. Связь хорды и вписанного угла (теорема о вписанном угле) приводит к тому, что отношение стороны к синусу угла — это всегда диаметр описанной окружности. Все три таких отношения численно равны $2R$.

Зная один угол треугольника и его противолежащую сторону, мы немедленно определяем масштаб всей пропорции. Дальше задача решается через простую пропорцию.

Доказательство теоремы синусов

Способ 1 — через высоту треугольника

1. В треугольнике $ABC$ опустим высоту $h$ из вершины $C$ на сторону $AB$ (точка $H$).
2. Из прямоугольного треугольника $ACH$: $h = b\sin A$.
3. Из прямоугольного треугольника $BCH$: $h = a\sin B$.
4. Приравниваем: $b\sin A = a\sin B$, откуда $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$.
5. Аналогичными рассуждениями для высоты из $B$: $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$.
6. Объединяя: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$.

Этот способ работает для остроугольного треугольника. Для тупоугольного треугольника рассуждение повторяется с учётом того, что высота опускается на продолжение стороны, а синус тупого угла равен синусу его смежного угла ($\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$).

Способ 2 — через площадь треугольника

1. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить тремя способами: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ac\sin B$.
2. Из первых двух равенств: $\dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A$.
3. Сокращаем на $\dfrac{1}{2}b$: $a\sin C = c\sin A$, откуда $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$.
4. Аналогично из первого и третьего: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$.
5. Итог: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$.

Доказательство расширенной теоремы (связь с 2R)

1. Впишем треугольник $ABC$ в окружность радиуса $R$ с центром $O$. Проведём диаметр $BG$ через вершину $B$.
2. По теореме о вписанном угле $\angle BGA = A$ (если $A$ и $G$ по одну сторону от $BC$) либо $\angle BGA = 180° - A$ (если по разные стороны).
3. Угол $GCB$ прямой (опирается на диаметр). Из прямоугольного треугольника $GCB$: $\dfrac{BC}{BG} = \sin A$, то есть $a = 2R\sin A$.
4. Поскольку $\sin(180° - A) = \sin A$, равенство $a = 2R\sin A$ верно в обоих случаях.
5. Делим обе части на $\sin A$: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$. Аналогично для $b$ и $c$.

---

Формула площади треугольника через синус

Формула и её вывод

Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними — прямое следствие определения синуса:

Вывод: из прямоугольного треугольника высота $h$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна $h = b\sin C$. Подставляем в классическую формулу $S = \dfrac{1}{2}ah$ и получаем $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$.

Эта же формула лежит в основе одного из доказательств теоремы синусов (способ 2 из раздела 3.3): приравнивая три выражения для площади одного треугольника, немедленно получаем пропорцию синусов.

Связь с теоремой синусов и описанной окружностью

Из расширенной теоремы синусов: $a = 2R\sin A$. Подставляем в формулу площади:

$$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}bc \cdot \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$$

---

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка $(0°;\, 180°)$ определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан $\cos\alpha$, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол $\alpha$. Следовательно, $\cos\alpha$ однозначно определяет точку $M(\cos\alpha;\, \sin\alpha)$ и однозначно определяется угол $\angle AOM$.

---

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса $\alpha$. Вспомним, что если $\alpha$ — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: $-1 < \cos\alpha < 1$.

Предел изменения синуса: $0 < \sin\alpha \leq 1$.

• Если $\cos\alpha > 0$, то $\alpha \in (0°;\, 90°)$
• Если $\cos\alpha < 0$, то $\alpha \in (90°;\, 180°)$
• Если $\cos\alpha = 0$, то $\alpha = 90°$

---

Как решать задачи с теоремой синусов и косинусов

Алгоритм применения теоремы косинусов

Случай SAS: две стороны и угол между ними → третья сторона

1. Запишите нужную форму формулы: сторона, которую ищем, стоит слева. Например, ищем $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
2. Подставьте числа. Если угол тупой — обязательно учтите знак косинуса.
3. Вычислите $c^2$ и возьмите арифметический квадратный корень.
4. Проверьте: полученная сторона должна удовлетворять неравенству треугольника.

Случай SSS: три стороны → угол

1. Запишите обратную форму: например, $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
2. Вычислите значение $\cos C$. Если результат отрицательный — угол тупой.
3. Найдите угол: $C = \arccos(\ldots)$. Помните, что $\arccos$ возвращает значение от 0° до 180°.
4. Проверьте: сумма трёх найденных углов должна равняться 180°.

Алгоритм применения теоремы синусов

Случай ASA/AAS: два угла + сторона → остальные стороны

1. Найдите третий угол: $C = 180° - A - B$.
2. Запишите пропорцию, используя известную сторону и один из известных углов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$.
3. Выразите неизвестную сторону: $b = a \cdot \dfrac{\sin B}{\sin A}$.
4. Аналогично найдите третью сторону.

Случай SSA: две стороны + угол напротив одной → неоднозначность

1. Запишите: $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a}$. Вычислите числовое значение $\sin B$.
2. Если $\sin B > 1$ — треугольника не существует.
3. Если $\sin B = 1$ — единственный треугольник (прямоугольный).
4. Если $\sin B < 1$ — два потенциальных значения: $B_1 = \arcsin(\sin B)$ и $B_2 = 180° - B_1$.
5. Проверьте каждый вариант: подходит ли $B + A < 180°$? Оба могут подойти — это случай двух решений.

---

Примеры задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачи по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник $ABC$. Найти длину $CM$.

$\angle C = 90°$, $AB = 9$, $BC = 3$, $AM/MB = 1/2$, где $M$ — точка на гипотенузе $AB$.

Как решаем:

1. Так как $AM + MB = 9$, а $AM/MB = 1/2$, то $AM = 3$, $MB = 6$.
   Из треугольника $ABC$ найдём $\cos B$:
   
2. Из треугольника $CMB$ по теореме косинусов найдём $CM$:
   
   
   

Ответ: $CM = \sqrt{33}$.

Пример 2. Дан треугольник $ABC$, в котором $a^2 + b^2 < c^2$. Доказать, что $\angle C$ — тупой угол.

Как доказываем:

1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла $\angle C$:
   
2. Так как $a^2 + b^2 < c^2$, то $\cos C < 0$, следовательно, $\angle C$ — тупой.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить, тупой угол или острый.

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то $\angle C = 90°$.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то $\angle C$ — острый.

---

Задачи из ОГЭ и ЕГЭ с разбором

Задача уровня ОГЭ

Задача уровня ЕГЭ (профиль, часть 1)

Задача уровня ЕГЭ (профиль, часть 2)

---

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка	В чём проблема	Как правильно
Применение теоремы Пифагора к нетипичному треугольнику	Пифагора — только для прямоугольного треугольника	Сначала убедитесь, что угол $= 90°$; иначе — теорема косинусов
Потеря знака косинуса тупого угла	$\cos 120° = -0{,}5$, а не $+0{,}5$; итог отличается на $2ab \cdot 0{,}5$	Всегда подставляйте числовое значение косинуса явно, со знаком
Одно решение там, где два (случай SSA)	Уравнение $\sin B = k$ при $k < 1$ имеет два корня на $(0°;\, 180°)$	Проверяйте оба значения: $B_1 = \arcsin(k)$ и $B_2 = 180° - B_1$
Смешивание теорем синусов и косинусов	Выбор неверной теоремы — тупик или бессмысленное уравнение	Используйте таблицу-шпаргалку из раздела 1
Вычисление $\arccos$ при значении $> 1$ или $< -1$	Такого треугольника не существует; арифметическая ошибка	Если после подстановки $|\cos C| > 1$ — проверьте исходные данные
Округление на промежуточном шаге	Накопленная погрешность искажает финальный ответ	Округляйте только итоговый результат; храните промежуточные значения полностью

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при угле 90°. Когда угол между двумя сторонами равен 90°, $\cos 90° = 0$, и «поправочный» член исчезает. Теорема косинусов работает для любого треугольника, а Пифагора — только для прямоугольного.

Когда у задачи SSA два решения, какое выбрать для ЕГЭ?

Если условие не исключает ни одного из вариантов — нужно рассмотреть оба треугольника и дать два ответа. Если из геометрического контекста ясно, что угол должен быть острым или тупым, выбирают соответствующий. На ЕГЭ в профильной части нужно явно проверить оба значения и обосновать выбор.

Можно ли применять теорему синусов к тупоугольному треугольнику?

Да, теорема синусов справедлива для любого треугольника — острого, прямого или тупоугольного. Единственная тонкость: синус тупого угла равен синусу его смежного острого угла ($\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$), поэтому уравнение $\sin B = k$ может давать два решения в случае SSA.

Как быстро запомнить, какую теорему применять?

Простое правило: если в условии есть угол между двумя известными сторонами — берёте теорему косинусов. Если есть угол напротив известной стороны (и ещё один угол или сторона) — теорему синусов. Распечатайте таблицу-шпаргалку из раздела 1 и держите её рядом до тех пор, пока выбор не станет автоматическим.

Нужно ли доказательство теорем для ЕГЭ?

В КИМ ЕГЭ 2026 доказательства теорем синусов и косинусов не требуются. Однако понимание вывода помогает не путаться в знаках и быстрее восстанавливать формулу, если она «вылетела» из памяти во время экзамена. Рекомендуем знать хотя бы координатное доказательство теоремы косинусов и доказательство через площадь для теоремы синусов.

Что такое расширенная теорема синусов и зачем она нужна?

Расширенная теорема синусов устанавливает, что каждое из отношений $\dfrac{a}{\sin A}$, $\dfrac{b}{\sin B}$, $\dfrac{c}{\sin C}$ равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$). Это позволяет за одно действие находить $R$ или, наоборот, сторону треугольникие $\arccos$ при значении $> 1$ или $< -1$Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ в контексте сечений многогранников.

---