Трапеция: формулы и свойства

Если вы хотите научиться решать задачи на трапецию уверенно и без ошибок, начните заниматься по программе подготовки к ЕГЭ по профильной математике от Skysmart: там вы найдёте разобранные задачи, тренажёры и поддержку опытных педагогов.

---

Шпаргалка: ключевые формулы трапеции

Что находим	Формула	Условие применения
Площадь (основная)	$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$	Известны оба основания и высота
Площадь через среднюю линию	$S = m \cdot h$	Известна средняя линия и высота
Площадь через диагонали	$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi}{2}$	Известны диагонали и угол между ними
Средняя линия	$m = \dfrac{a+b}{2}$	Всегда
Периметр	$P = a + b + c + d$	Всегда
Высота через боковую сторону	$h = c \cdot \sin\alpha$	Известна боковая сторона и угол при основании
Диагональ равнобедренной	$d = \sqrt{ab + c^2}$	Только равнобедренная трапеция
Отрезок между серединами диагоналей	$l = \dfrac{a-b}{2}$	Всегда ($a > b$)

---

Определение трапеции и её элементы

В трапеции можно провести две диагонали.

Элемент	Обозначение	Описание
Нижнее основание	a	Большая параллельная сторона
Верхнее основание	b	Меньшая параллельная сторона
Боковые стороны	c, d	Непараллельные стороны
Высота	h	Перпендикуляр между основаниями
Средняя линия	m	Отрезок, соединяющий середины боковых сторон
Диагонали	d₁, d₂	Отрезки, соединяющие противоположные вершины

Так как в трапеции основания параллельны по определению, диагональ BD можно считать секущей. И тогда указанные выше углы равны, так как являются накрест лежащими. Аналогично для диагонали АС: угол ВСА и угол CAD равны.

Знания по темам «Параллельные прямые» и «Секущая» часто применяются в решении задач про трапецию. Если эта тема у вас вызывает затруднения, приходите на в онлайн-школу Skysmart: на них вы закрепите эту и другие темы из школьной программы, а также подготовитесь к ЕГЭ или ОГЭ за короткий срок.

---

Виды трапеций

Вышеперечисленные элементы есть у всех трапеций без исключений. А по виду трапеции делятся на:

• обычные;
• равнобедренные или равнобокие — у них равны боковые стороны и углы при основании;
• прямоугольные, у которых один из углов при основании равен 90°, т. е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.

Произвольная трапеция

Боковые стороны не равны, прямых углов нет. Для неё справедливы все общие формулы без дополнительных условий.

Равнобедренная (равносторонняя) трапеция

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны: c = d. Она симметрична относительно перпендикуляра к основаниям.

Дополнительные свойства:

• Углы при каждом основании равны: ∠A = ∠B, ∠C = ∠D
• Диагонали равны: $d_1 = d_2$
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность

Прямоугольная трапеция

У прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, поэтому она одновременно является высотой: h = c.

---

Средняя линия трапеции

Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.

Длины оснований и средней линии трапеции составляют арифметическую прогрессию. То есть верхнее основание отличается от средней линии на столько же, на сколько средняя линия отличается от нижнего основания.

Например: если BC = 5 и AD = 13, то MN = (5 + 13) / 2 = 9.

Ряд чисел {5; 9; 13} — арифметическая прогрессия, в которой разница между соседними элементами равна 4.

Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой:

$ML = KN, \quad LK = \dfrac{a-b}{2}$

А как найти отрезки МL и KN?
Они равны половине верхнего основания, $ML = KN = \dfrac{b}{2}$, так как являются средними линиями для треугольников, отсекаемых соответственными диагоналями.

Отрезок между серединами диагоналей

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований:

Этот отрезок лежит на средней линии и является средним из трёх частей, на которые диагонали делят среднюю линию.

---

Высота трапеции

Формулы нахождения высоты

Способ	Формула	Условие
Из формулы площади	$h = \dfrac{2S}{a+b}$	Известны площадь и оба основания
Через боковую сторону и угол	$h = c \cdot \sin\alpha$	Известна боковая сторона c и угол α при основании
Равнобедренная трапеция (через теорему Пифагора)	$h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2}$	Только равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция	$h = c$	Боковая сторона c перпендикулярна основаниям

---

Площадь и периметр трапеции

Основная формула: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Геометрический смысл: если «перенести» одно из оснований на середину высоты, трапеция превращается в прямоугольник с шириной $\dfrac{a+b}{2}$.

Вывод через параллелограмм: возьмём две одинаковые трапеции, перевернём одну и приложим к другой. Получим параллелограмм с основанием $a + b$ и высотой $h$. Его площадь $(a + b) \cdot h$ — это площадь двух трапеций, значит одна трапеция имеет площадь $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$.

Также можно воспользоваться дополнительными формулами:

$S=\dfrac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\varphi$, где:

• d₁, d₂ — диагонали трапеции;
• $\sin\varphi$ — синус острого угла между ними.

$S=\dfrac{a+b+c+d}{2}\cdot r=pr$, где:

• p — полупериметр трапеции;
• r — радиус вписанной окружности.

Не забывайте, что площадь любой фигуры также можно найти через сумму площадей фигур, которые её составляют. Например, если в трапеции проведены диагонали, делящие её на четыре треугольника, то площадь трапеции будет равна сумме площадей этих треугольников.

Формула площади через площади треугольников при диагоналях

где $S_1$ и $S_2$ — площади треугольников, образованных диагоналями у каждого из оснований. Это изящная формула, которая редко упоминается в учебниках, но регулярно встречается в олимпиадных задачах.

Формула площади трапеции через координаты вершин (формула Гаусса)

Пошаговый пример: вершины $A(0,\,0)$, $B(8,\,0)$, $C(6,\,4)$, $D(2,\,4)$.

1. $x_1=0,\; y_1=0;\; x_2=8,\; y_2=0;\; x_3=6,\; y_3=4;\; x_4=2,\; y_4=4$
2. $S = \dfrac{1}{2} |0\cdot(0-4) + 8\cdot(4-0) + 6\cdot(4-0) + 2\cdot(0-4)|$
3. $= \dfrac{1}{2} |0 + 32 + 24 - 8| = \dfrac{1}{2} \cdot 48 = \mathbf{24}$

---

Вписанная и описанная трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

1. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
2. Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b, то $r= \sqrt{ab}$.
3. Радиус вписанной окружности также можно найти через формулу $r= \dfrac{h}{2}$, где h — высота трапеции.

Дополнительные формулы радиусов

Что вычислить	Формула	Условие
Радиус вписанной окружности (основная)	$r = \dfrac{h}{2} = \dfrac{S}{a+b}$	$a + b = c + d$
Радиус вписанной через отрезки касания	$r = \sqrt{ab}$, где a и b — части боковой стороны	$a + b = c + d$
Радиус описанной окружности	$R = \dfrac{d}{2\sin\alpha}$	Только равнобедренная трапеция

---

Свойства трапеции

Основные свойства

Как у любой другой геометрической фигуры, у трапеции есть определённые свойства или характеристики, которые являются для неё отличительными, выделяют из списка фигур.

1. Для трапеции справедливо свойство любого четырёхугольника: сумма её углов равна 360°.

2. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

   

3. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

   

4. Треугольники AOD и COB, образованные при пересечении диагоналей, подобны: k = AD/BC.

   

   Треугольники ABO и DCO имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.

5. «Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

   

6. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

   

Свойства равнобедренных трапеций

Отдельно можно выделить дополнительные свойства равнобедренных трапеций:

1. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

   

---

Все формулы трапеции — сводная таблица

Что находим	Формула	Когда применять
Площадь (основная)	$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$	Известны оба основания и высота
Площадь через среднюю линию	$S = m \cdot h$	Известна средняя линия и высота
Площадь через диагонали	$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi}{2}$	Известны диагонали и угол между ними
Площадь через площади треугольников при диагоналях	$S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$	Известны площади двух треугольников у оснований
Средняя линия	$m = \dfrac{a+b}{2}$	Всегда
Отрезок между серединами диагоналей	$l = \dfrac{a-b}{2}$	Всегда ($a > b$)
Периметр	$P = a + b + c + d$	Всегда
Высота из формулы площади	$h = \dfrac{2S}{a+b}$	Известны площадь и оба основания
Высота через боковую сторону	$h = c \cdot \sin\alpha$	Известна боковая сторона и угол при основании
Высота равнобедренной	$h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2}$	Равнобедренная трапеция
Диагональ равнобедренной	$d = \sqrt{ab + c^2}$	Только равнобедренная
Диагональ по теореме косинусов	$d_1^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\alpha$	Известна боковая сторона c и угол α
Радиус вписанной окружности	$r = \dfrac{h}{2} = \dfrac{S}{a+b}$	$a + b = c + d$
Радиус описанной окружности	$R = \dfrac{d}{2\sin\alpha}$	Только равнобедренная
Сумма углов при боковой стороне	$\alpha + \beta = 180°$	Всегда

---

Примеры решения задач

Задача 1 (базовая) — найти площадь трапеции

Задача 2 (средняя) — найти высоту через боковую сторону

Задача 3 (средняя) — задача на среднюю линию

Задача 4 (средняя) — отрезок между серединами диагоналей

Задача 5 (повышенная) — трапеция в координатах

---

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найдите площадь трапеции с основаниями 3 и 9, высотой 5.

Решение: $S = \dfrac{3+9}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = \mathbf{30}$

Задача 2. Средняя линия трапеции равна 11, одно основание — 8. Найдите второе основание.

Решение: $b = 2m - a = 22 - 8 = \mathbf{14}$

Задача 3. В равнобедренной трапеции основания 6 и 14, боковая сторона 5. Найдите высоту.

Решение: $p = \dfrac{14-6}{2} = 4$; $h = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = \mathbf{3}$

Задача 4. Найдите периметр равнобедренной трапеции, если основания 4 и 12, высота 3.

Решение: $c = \sqrt{3^2 + \left(\dfrac{12-4}{2}\right)^2} = \sqrt{9+16} = 5$; $P = 4 + 12 + 5 + 5 = \mathbf{26}$

Задача 5. Диагонали трапеции равны 6 и 8, угол между ними 30°. Найдите площадь.

Решение: $S = \dfrac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi}{2} = \dfrac{6 \cdot 8 \cdot 0{,}5}{2} = \dfrac{24}{2} = \mathbf{12}$

Задача 6. В трапеции основания a = 18 и b = 8. Найдите длину отрезка между серединами диагоналей.

Решение: $l = \dfrac{a-b}{2} = \dfrac{18-8}{2} = \mathbf{5}$

Задача 7. Треугольники, образованные диагоналями трапеции у оснований, имеют площади 9 и 25. Найдите площадь трапеции.

Решение: $S = (\sqrt{9} + \sqrt{25})^2 = (3+5)^2 = \mathbf{64}$. Боковые треугольники: $S_3 = S_4 = \sqrt{9 \cdot 25} = 15$; итого $9 + 25 + 15 + 15 = \mathbf{64}\ ✓$

---

Типичные ошибки при решении задач на трапецию

Ошибка	В чём проблема	Как избежать
Подстановка боковой стороны вместо высоты	$h \neq c$ в общем случае	Высота — перпендикуляр между основаниями. Используйте $h = c \cdot \sin\alpha$
Путаница «угол между диагоналями» и «угол при основании»	В формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi$ угол $\varphi$ — между диагоналями, а не при основании	Явно обозначайте угол на чертеже перед подстановкой
Применение формулы $d = \sqrt{ab + c^2}$ к произвольной трапеции	Эта формула работает только для равнобедренной трапеции	Для произвольной трапеции используйте теорему косинусов
Считают, что средняя линия делит площадь пополам	Средняя линия делит трапецию на две трапеции, но их площади не равны	Площади двух частей: $S_1 = \frac{3a+b}{4} \cdot \frac{h}{2}$, $S_2 = \frac{a+3b}{4} \cdot \frac{h}{2}$
Забывают условие вписанной окружности	Вписанная окружность существует только при $a + b = c + d$	Всегда проверяйте это условие перед применением формулы $r = h/2$

---

Часто задаваемые вопросы

Является ли параллелограмм частным случаем трапеции?

В российской школьной программе — нет. По определению трапеция имеет ровно одну пару параллельных сторон, а у параллелограмма их две. Поэтому параллелограмм и трапеция — это два разных вида четырёхугольников. В некоторых зарубежных учебниках используется «включающее» определение, по которому параллелограмм считается частным случаем трапеции, но в ОГЭ и ЕГЭ принято российское определение.

Можно ли вписать окружность в любую трапецию?

Нет. Вписанная окружность существует тогда и только тогда, когда выполнено условие: $a + b = c + d$ (сумма оснований равна сумме боковых сторон). Из частных случаев это условие выполняется для равнобедренной трапеции при $a + b = 2c$ и для прямоугольной трапеции при соответствующем соотношении сторон.

Как отличить «высоту трапеции» от «боковой стороны»?

Высота — это всегда перпендикуляр между основаниями. Боковая сторона перпендикулярна основаниям только в прямоугольной трапеции (тогда $h = c$). Во всех остальных случаях $h < c$, и для нахождения высоты нужно использовать тригонометрию ($h = c \cdot \sin\alpha$) или теорему Пифагора.

Почему средняя линия не делит площадь трапеции пополам?

Средняя линия делит трапецию на две трапеции с одинаковой высотой $h/2$, но с разными суммами оснований: нижняя часть имеет основания $a$ и $m$, верхняя — $m$ и $b$. Поскольку $m$ расположена между $a$ и $b$, нижняя часть всегда больше верхней (при $a > b$). Линия, делящая площадь пополам, расположена ниже средней.

Что такое «прямая Ньютона» в трапеции?

Прямая Ньютона (или прямая Ньютона–Гаусса) — это прямая, на которой лежат три точки: точка пересечения диагоналей трапеции, середина отрезка, соединяющего середины оснований, и точка пересечения продолжений боковых сторон. Это замечательное свойство трапеции используется в олимпиадных задачах на доказательство.

---

Проверить, насколько хорошо вы усвоили тему «Трапеция», можно в нашем бесплатном тренажёре ЕГЭ. Переходите по ссылке и делитесь с друзьями классным инструментом, с помощью которого можно закрыть пробелы в знаниях и подготовиться к контрольным и экзаменам!