Треугольник: формулы и свойства

Если вы готовитесь к экзамену и хотите систематизировать знания по всем темам — ознакомьтесь с программой подготовки к ЕГЭ по базовой математике: там собраны структурированные уроки, разборы типовых задач и тренировочные варианты в формате 2026 года.

🗂️ Быстрый справочник по формулам

Треугольник: определение и типы

Вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Стороны треугольника можно обозначить через названия двух вершин, точки которых являются началом и концом отрезка (стороны). Если же вершины не обозначены, стороны можно записать через малые буквы латинского алфавита.

Основные элементы треугольника MNK:

• Вершины: M, N, K
• Стороны: $a = MN$, $b = NK$, $c = MK$
• Углы: $\alpha$ (при вершине M), $\beta$ (при вершине N), $\gamma$ (при вершине K)

Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180°: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

Виды треугольников по величине углов

Треугольники бывают трёх видов:

1. Остроугольные (все углы, входящие в состав, острые).

2. Прямоугольные (один угол прямой, равен 90°, остальные острые).

3. Тупоугольные (один угол тупой, остальные острые).

Виды треугольников по сторонам

Зачастую в учебниках и справочных материалах равнобедренные треугольники рисуют таким образом, что равные боковые стороны располагаются слева и справа, основанием считается нижняя сторона. Но вы должны понимать, что равнобедренный треугольник можно легко перевернуть, при этом он не поменяет своих свойств. Именно поэтому определение лучше запомнить так:

Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Стороны в прямоугольном треугольнике называются по-особенному. Так, сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, она самая большая. Две другие стороны — катеты.

Важные свойства:

• катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы;

• в равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45°.

Кроме того, между сторонами такого треугольника существует соотношение, именуемое теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Обратная теорема Пифагора (признак прямоугольного треугольника): Если в треугольнике квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Пифагоровы тройки — наборы натуральных чисел, удовлетворяющих теореме:

Специальные прямоугольные треугольники

Два «стандартных» прямоугольных треугольника встречаются в задачах настолько часто, что их соотношения сторон нужно знать наизусть.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$ и катетами $a$ (противолежащий) и $b$ (прилежащий):

Периметр и площадь треугольника

Периметр треугольника

Периметр измеряется в единицах длины — в тех же единицах, что и стороны треугольника.

Площадь треугольника

Для вычисления площади треугольника используют большое количество формул, вот самые важные — сохраните себе и перешлите друзьям!

Формула Герона

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, зная только три его стороны, без необходимости находить высоту. Это один из наиболее универсальных инструментов планиметрии.

Высоты треугольника

Чаще всего высоту обозначают буквой h (H).

В зависимости от типа треугольника, высоты и точка их пересечения (ортоцентр) могут располагаться по-разному.

В случае тупоугольного треугольника невозможно провести высоты из вершин острых углов так, чтобы они оставались внутри треугольника. Необходимо продлить боковые стороны и спроецировать высоты именно на продолжение (т. е. на прямую, которая содержит боковую сторону).

Любую высоту треугольника можно найти с помощью формул:

$h_{a}=c\cdot\sin(B)=b\cdot\sin(C)$ или $h_{a}=\dfrac{2S}{a}$

$$AH_{A}=AC\cdot\sin C=AB\cdot\sin B=\dfrac{2S}{BC}$$

$$BH_{B}=BC\cdot\sin C=AB\cdot\sin A=\dfrac{2S}{AC}$$

$$CH_{C}=AC\cdot\sin A=CB\cdot\sin B=\dfrac{2S}{AB}$$

Интересные свойства высот в прямоугольном треугольнике:

• Высоты, проведённые в прямоугольном треугольнике, связаны соотношением $\dfrac{1}{h^{2}_{a}}+\dfrac{1}{h^{2}_{b}}=\dfrac{1}{h^{2}_{c}}$. Это соотношение ещё называют обратной теоремой Пифагора.

• Высота, проведённая из вершины прямого угла, разделит гипотенузу на отрезки m и n. Тогда:

  

  $$h^{2}_{c}=mn$$

  $$a^{2}=cn,\quad b^{2}=cm$$

  $$h_{c}=\dfrac{ab}{c}$$

Высота в прямоугольном треугольнике к гипотенузе

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, обладает важным свойством:

$$h_c^2 = a' \cdot b'$$

где $a'$ и $b'$ — отрезки, на которые высота делит гипотенузу. Кроме того: $a^2 = a' \cdot c$ и $b^2 = b' \cdot c$ (катет является средним пропорциональным между гипотенузой и её отрезком).

Медианы треугольника

В треугольнике можно провести три медианы, все они будут лежать внутри треугольника и пересекаться в одной точке. Эта точка называется замечательной точкой треугольника, а также является его центром тяжести.

Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

AE, CD, BF — медианы.

Точка О — точка пересечения медиан.

AO : OE = 2 : 1

CO : OD = 2 : 1

BO : OF = 2 : 1

Для решения задач могут понадобиться следующие свойства медиан:

• В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к равным сторонам, равны, а третья является и биссектрисой, и высотой.

• В равностороннем треугольнике все медианы равны друг другу.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

• Медиана разбивает треугольник на два равных по площади (равновеликих) треугольника, а три медианы — на шесть равновеликих треугольников.

Биссектрисы треугольника

Биссектрисы углов лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке, которую также называют замечательной. Она является и центром вписанной в треугольник окружности.

Дополнительные свойства биссектрис треугольника:

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то такой треугольник является равнобедренным. При этом третья биссектриса будет является и медианой, и высотой.

• В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны друг другу.

• Расстояния (кратчайшие расстояния) от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.

• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

  

Средняя линия треугольника

Свойства:

• Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.

• Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному. Площадь отсечённого треугольника в 4 раза меньше площади исходного: $S_{\vartriangle ABC}=4S_{\vartriangle BMN}$.

Равенство треугольников

Как можно доказать, что треугольники равны? Есть два способа.

Первый — метод наложения. Для этого нам нужно приложить один треугольник к другому таким образом, чтобы совместить их стороны и углы. В случае, если все стороны и углы совпадут (т. е. будут попарно равны), треугольники являются равными друг другу.

Этот метод не очень удобен. Нам необходимо сравнить шесть элементов (три стороны и три угла), что уже немало, и для этого понадобится линейка, транспортир или вырезанные из бумаги треугольники. Столкнувшись со сложностями, математики ещё во времена Древней Греции составили признаки равенства треугольников, которые проще и удобнее использовать для доказательств.

Всего существует 3 универсальных признака равенства треугольников и 4 дополнительных для прямоугольных треугольников. Дополнительные признаки появились из-за того, что стороны прямоугольного треугольника называются иначе, к тому же некоторые из признаков базируются на более сложных постулатах (например, тригонометрии).

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Подобие треугольников

Слово подобный можно связать со словами «схожий, родственный, напоминающий».

Не будет ошибкой сказать, что подобные треугольники представляют собой уменьшенные или увеличенные копии друг друга, как если бы мы могли менять их размер по своему желанию.

Представьте: вы смотрите кино на экране планшета, а потом идёте на тот же фильм в кинотеатр. Размер экранов будет значительно отличаться, но сами пропорции будут оставаться прежними: герои фильма будут выглядеть такими же, вне зависимости от размера экрана, не будет искажений их тел или лиц.

Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}=\dfrac{S_{\vartriangle ABC}}{S_{\vartriangle A_{1}B_{1}C_{1}}}$.

Существует три признака подобия треугольников.

Признаки подобия треугольников — тема, которая очень часто используется при решении задач. Если в задаче один треугольник разделён на несколько треугольников с помощью биссектрис, высот, медиан, и вы не знаете, с чего начать — проверьте подобие: в 8 случаях из 10 это будет являться ключом к решению всей задачи.

Свойства подобных треугольников

Вписанная и описанная окружность

В любой треугольник можно как вписать окружность, так и описать окружность около него!

Для решения задач понадобятся следующие свойства и формулы:

Соотношение r и R

Для любого треугольника выполняется неравенство Эйлера: $OI^2 = R(R - 2r)$, откуда следует, что $R \geq 2r$ (равенство достигается только в равностороннем треугольнике).

Свойства углов и сторон треугольника

Если в прямоугольном треугольнике для нахождения сторон используют теорему Пифагора, то для остро- и тупоугольных треугольников пользуются популярностью теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов

Когда применять: задачи типа «дана сторона и два угла» или «даны две стороны и угол, не заключённый между ними» (теорема применяется для нахождения второго угла или стороны).

Теорема косинусов

Связь с теоремой Пифагора: при $\gamma = 90°$ значение $\cos\gamma = 0$, и формула принимает вид $c^2 = a^2 + b^2$. Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.

Когда применять: задачи с условиями в духе «три стороны — найти угол» или «две стороны и угол между ними — найти третью сторону».

5.3 Сравнение теорем: когда что применять

Основные свойства углов

Помимо этих теорем, не забывайте следующие свойства:

• сумма углов любого треугольника равна 180°;

• сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

• внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним;

• в треугольнике напротив большего угла лежит бо́льшая сторона, напротив меньшего угла — меньшая сторона;

• в треугольнике любого типа соблюдается неравенство — сумма двух сторон строго больше длины третьей:

  a + b > c

  c + b > a

  a + c > b

Свойства сторон

• Неравенство треугольника: Сумма любых двух сторон больше третьей: $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$
• Зависимость стороны и угла: Против большего угла лежит большая сторона, и наоборот

Частые ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Путают внешний угол с вертикальным. Внешний угол — это угол между стороной и продолжением другой стороны, а не противоположный угол.

Ошибка 2: Неверная проверка неравенства треугольника — достаточно проверить только одно неравенство: сумма двух меньших сторон должна быть больше наибольшей.

Типовые задачи с пошаговым решением

Как решать планиметрические задачи

1. Внимательно прочитайте условие и зарисуйте треугольник с подписанными данными.
2. Определите тип треугольника (прямоугольный, равнобедренный и т. д.) — это сразу сужает набор применимых формул.
3. Если треугольник делится на части, проверьте подобие — это ключ к большинству задач.
4. Выпишите все известные величины и подберите формулу, которая связывает их с искомой.
5. Проверьте ответ на разумность (площадь не может быть отрицательной, сторона не может быть больше суммы двух других).

Задача 1. Теорема косинусов: нахождение угла

Условие: В треугольнике стороны $a = 7$, $b = 8$, $c = 5$. Найти угол $\gamma$ (угол между сторонами $a$ и $b$).

Задача 2. Формула Герона и высота

Условие: В треугольнике со сторонами 13, 14, 15 найти высоту, опущенную на сторону 14.

Задача 3. Подобие треугольников

Условие: Средняя линия треугольника с площадью 48 делит его на трапецию и меньший треугольник. Найти площадь меньшего треугольника.

Задача 4. Вписанная окружность

Условие: В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найти радиус вписанной окружности.

Задача 5. Медиана треугольника

Условие: В треугольнике стороны $a = 6$, $b = 5$, $c = 7$. Найти длину медианы $m_a$.

Треугольники в ЕГЭ и ОГЭ 2025-2026

Где встречаются треугольники на экзаменах

Топ-5 ошибок на экзамене

Памятка с формулами

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

❓ Чем отличается медиана от высоты и биссектрисы?

Медиана делит противолежащую сторону пополам. Высота — перпендикуляр из вершины на противолежащую сторону (или её продолжение). Биссектриса делит угол при вершине пополам. Все три совпадают только в равностороннем треугольнике.

❓ Всегда ли медианы, высоты и биссектрисы лежат внутри треугольника?

Медианы — всегда внутри. Биссектрисы внутренних углов — всегда внутри. Высоты — только в остроугольном треугольнике; в прямоугольном две высоты совпадают с катетами, а в тупоугольном две высоты опускаются на продолжения сторон.

❓ Как быстро проверить, существует ли треугольник с данными сторонами?

Найдите два меньших значения из трёх сторон и проверьте: их сумма должна быть строго больше наибольшей стороны. Если условие выполнено — треугольник существует.

❓ Когда применять теорему синусов, а когда — косинусов?

Теорему косинусов применяют, когда известны три стороны или две стороны и угол между ними. Теорему синусов — когда известны сторона и два угла, или две стороны и угол, не заключённый между ними.

❓ Чему равна сумма углов треугольника?

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Это фундаментальное свойство евклидовой геометрии.

❓ Что такое ортоцентр, центроид и инцентр?

Ортоцентр (H) — точка пересечения высот. Центроид (G) — точка пересечения медиан (центр тяжести), делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Инцентр (I) — точка пересечения биссектрис, является центром вписанной окружности.

❓ Как связаны радиусы вписанной и описанной окружностей?

Для любого треугольника выполняется неравенство Эйлера: $R \geq 2r$. Равенство $R = 2r$ достигается только в равностороннем треугольнике.

Как вы уже заметили, тема «Треугольники» включает в себя множество формул, правил, свойств и теорем. Лучше запомнить их поможет наш бесплатный тренажер ЕГЭ, в котором вы сможете решать типовые задачи и применять свои знания на практике. Пользуйтесь сами и отправляйте ссылку друзьям — обсуждайте задачи, сверяйте ответы и готовьтесь к экзаменам и контрольным вместе!