Угол между плоскостями — ЕГЭ: теория и примеры
- Школьников российских школ (основная и старшая ступени), которым нужно разобраться в стереометрии
- Родителей учеников, помогающих детям готовиться к контрольным и ЕГЭ
- Учителей и репетиторов математики, ищущих структурированный методический материал
- Студентов, абитуриентов и начинающих специалистов в области инженерии и 3D-моделирования
- Угол между двумя плоскостями — это всегда острый угол (от 0° до 90°), вычисляемый через модуль косинуса между нормальными векторами
- Существуют три метода нахождения угла: геометрический (метод перпендикуляров), векторный (через нормали) и координатный — выбор зависит от условия задачи
- В задании №14 ЕГЭ (профиль) за отсутствие описания системы координат снижают оценку на 1 балл — оформление решения критически важно
- Перпендикулярность плоскостей — частный случай, при котором скалярное произведение нормальных векторов равно нулю
Если хотите системно закрыть все стереометрические темы, которые встречаются на ЕГЭ, — ознакомьтесь с важными темами для изучения по ЕГЭ по математике: там собраны разобранные типы заданий, формулы и стратегии решения, которые экономят десятки часов подготовки.
Что такое угол между плоскостями
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в этих плоскостях.
Представим, что плоскости α и β пересекаются. Место их пересечения — это прямая а, её также называют ребром двугранного угла, который образуют пересекающиеся плоскости.
Всего образуются 4 таких угла. Если плоскости перпендикулярны, каждый из них будет равен 90°. Если нет, то между α и β будет по 2 острых и тупых угла. Тогда угол между плоскостями — это величина острого угла.
Далее обратимся к прямой а, где пересекаются плоскости, и отметим на ней произвольную точку А. От неё проводим перпендикуляры обеих плоскостей, и уже на них отмечаем точки B и D. ∠BAD — и есть искомый угол между плоскостями α и β.
Почему именно так измеряется угол
Если смотреть строго вдоль линии пересечения плоскостей (ребра двугранного угла), то обе плоскости будут выглядеть как две прямые, исходящие из одной точки. Угол между этими «видимыми прямыми» — и есть искомый двугранный угол. Именно перпендикуляры к ребру дают единственно корректный разрез, не искажённый наклоном.
Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Ключевое свойство: все линейные углы одного двугранного угла равны между собой (это доказывается через подобие треугольников).
Диапазон значений, четыре угла и частные случаи
Когда две плоскости пересекаются, они образуют четыре двугранных угла: две пары вертикальных углов ($\varphi$ и $\varphi$, $180° - \varphi$ и $180° - \varphi$). Из этих четырёх углов два — острые (или прямые), два — тупые (или прямые). По определению, углом между плоскостями принято считать наименьший из них — острый или прямой. Поэтому ответ всегда в диапазоне от 0° до 90°.
| Ситуация | Угол между плоскостями | Условие через нормали |
|---|---|---|
| Плоскости совпадают или параллельны | 0° | $\mathbf{n}_1 = k \cdot \mathbf{n}_2$ (нормали коллинеарны) |
| Пересекающиеся плоскости (общий случай) | от 0° до 90° | $|\cos \varphi| \in (0, 1)$ |
| Перпендикулярные плоскости (ортогональность) | 90° | $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0$ |
Как вычислить угол между плоскостями
Если заданы уравнения плоскостей $A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0$ и $A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$, то угол между плоскостями можно найти с помощью такой формулы:
$$\cos{\alpha} = \dfrac{|A_{1}\cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} + C_{1} \cdot C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$$
Проверить свои силы в решении задач на эту и другие темы из стереометрии можно в Тренажёре ЕГЭ. Это бесплатный сборник с автопроверкой, где есть все типы экзаменационных заданий. Он доступен 24/7 и не ограничивает вас в попытках.
Геометрический метод: метод перпендикуляров к линии пересечения
В литературе этот метод нередко называют «методом перпендикуляров» именно потому, что его суть — провести из точки на ребре два луча, каждый из которых перпендикулярен линии пересечения и лежит в своей плоскости.
- Найти линию пересечения двух плоскостей — это ребро двугранного угла.
- Выбрать произвольную точку P непосредственно на линии пересечения (не рядом с ней — иначе угол будет неверным).
- В первой плоскости из точки P провести луч PA, перпендикулярный линии пересечения.
- Во второй плоскости из той же точки P провести луч PB, перпендикулярный линии пересечения.
- Угол APB — линейный угол двугранного угла, то есть искомый угол между плоскостями.
Векторный метод через нормали к плоскостям
Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.
Для плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ нормальный вектор равен $\mathbf{n} = (A, B, C)$.
Формула угла между плоскостями через нормальные векторы:
$$\cos \varphi = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|}$$
где $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2$ — скалярное произведение нормальных векторов.
Почему модуль в числителе? Нормальные векторы к плоскости могут быть направлены в противоположные стороны ($\mathbf{n}$ и $-\mathbf{n}$ оба нормальны к одной плоскости). Без модуля угол между нормалями мог бы оказаться тупым, тогда как из четырёх образованных двугранных углов мы берём наименьший — острый или прямой. Модуль гарантирует это.
- Из уравнений плоскостей выписать нормальные векторы: $\mathbf{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$ и $\mathbf{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$.
- Вычислить скалярное произведение: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2$.
- Вычислить длины векторов: $|\mathbf{n}_1| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}$, $|\mathbf{n}_2| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}$.
- Подставить в формулу и найти $\varphi = \arccos\!\left(\dfrac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|}\right)$.
Координатный (алгебраический) метод: нахождение нормали через векторное произведение
- Ввести систему координат: явно указать начало координат и направления осей (требование критериев ЕГЭ 2026!).
- Записать координаты всех нужных вершин многогранника.
- В каждой плоскости найти два вектора, лежащих в ней. Например, если плоскость проходит через точки $P_1, P_2, P_3$, то $\mathbf{a} = \overrightarrow{P_1 P_2}$, $\mathbf{b} = \overrightarrow{P_1 P_3}$.
- Вычислить нормальный вектор через векторное произведение: $\mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.
- Применить формулу $\cos \varphi = |\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2| / (|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|)$.
$$\mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$
$$\mathbf{n} = (a_y b_z - a_z b_y;\; a_z b_x - a_x b_z;\; a_x b_y - a_y b_x)$$
Какой метод выбрать
| Метод | Когда применять | Что нужно знать | Скорость в ЕГЭ |
|---|---|---|---|
| Геометрический (метод перпендикуляров) | Задача по чертежу, простые фигуры | Линия пересечения, умение строить перпендикуляры к ребру | Быстро, если фигура «удобная» |
| Векторный (через нормали) | Заданы уравнения плоскостей | Нормальные векторы, скалярное произведение | Очень быстро — 3 действия |
| Координатный (алгебраический) | Заданы координаты вершин многогранника | Координаты точек, векторное произведение | Универсально, но требует аккуратности |
Примеры решения задач
Задача. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB = 3$, $BC = 4$, $AA_1 = 5$ найти угол между диагональной плоскостью $ABB_1A_1$ и основанием $ABCD$.
- Линия пересечения плоскостей $ABB_1A_1$ и $ABCD$ — прямая $AB$ (общее ребро).
- Из точки $B$ в плоскости основания $ABCD$ проводим перпендикуляр к $AB$ — луч $BC$ ($\angle ABC = 90°$).
- Из той же точки $B$ в плоскости $ABB_1A_1$ проводим перпендикуляр к $AB$ — луч $BB_1$ ($BB_1 \perp AB$).
- Линейный угол двугранного угла — $\angle CBB_1$, где $BC = 4$, $BB_1 = 5$.
- $\tan(\angle CBB_1) = BB_1 / BC = 5/4$. Следовательно, $\varphi = \arctan(5/4) \approx 51{,}3°$.
Задача. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной 1. Найти угол между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $AB_1C$.
$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $B_1 = (1,0,1)$
Плоскость 1 (основание ABCD): $z = 0$, нормаль $\mathbf{n}_1 = (0,0,1)$.
Плоскость 2 (через точки $A$, $B_1$, $C$):
$$\overrightarrow{AB_1} = (1,0,1), \quad \overrightarrow{AC} = (1,1,0)$$
$$\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AC} = (-1;\; 1;\; 1)$$
$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 1, \quad |\mathbf{n}_1| = 1, \quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{3}$$
$$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 \;\Rightarrow\; \varphi \approx 54{,}7°$$
Задача. Правильная треугольная пирамида $SABC$ с ребром основания $a = 2$ и высотой $h = 3$. Найти двугранный угол при ребре основания $AB$.
Геометрический метод:
Середина $AB$ — точка $M$. Апофема основания: $OM = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Апофема боковой грани: $SM = \sqrt{h^2 + OM^2} = \sqrt{9 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{28}{3}}$.
Линия пересечения боковой грани $SAB$ и основания $ABC$ — ребро $AB$. Из $M$ перпендикуляр к $AB$ в основании — отрезок $MO$; из $M$ перпендикуляр к $AB$ в боковой грани — отрезок $MS$. Линейный угол — угол $OMS$.
$$\cos(\angle OMS) = \frac{OM}{SM} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{28/3}} = \frac{1}{\sqrt{28}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$$
$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right) \approx 79{,}1°$$
Координатный метод:
$A = (0,0,0)$, $B = (2,0,0)$, $C = (1,\sqrt{3},0)$, $S = \!\left(1,\, \dfrac{1}{\sqrt{3}},\, 3\right)$
$$\overrightarrow{AB} = (2,0,0), \quad \overrightarrow{AS} = \!\left(1,\, \frac{1}{\sqrt{3}},\, 3\right)$$
$$\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} = \!\left(0;\; -6;\; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$
$$\cos \varphi = \frac{1}{2\sqrt{7}} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 79{,}1°$$
Задача. Даны плоскости: $2x - y + z = 5$ и $x + 3y - 2z = 1$. Найти угол между ними.
$\mathbf{n}_1 = (2,-1,1)$, $\mathbf{n}_2 = (1,3,-2)$
$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 2 - 3 - 2 = -3$$
$$|\mathbf{n}_1| = \sqrt{6}, \quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{14}$$
$$\cos \varphi = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}$$
$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right) \approx 70{,}9°$$
Угол между прямой и плоскостью
Определение и отличие от двугранного угла
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.
Проекция прямой — это «тень» прямой на плоскость при параллельном освещении перпендикулярно плоскости. Угол между прямой и её проекцией является наименьшим углом между данной прямой и любой прямой, лежащей в плоскости.
Ключевое отличие от двугранного угла: двугранный угол измеряется через косинус (перпендикуляры к ребру находятся в плоскостях), а угол между прямой и плоскостью — через синус, так как нормаль плоскости и прямая образуют дополнение до 90°.
Формула через направляющий вектор прямой и нормаль плоскости
$$\sin \varphi = \frac{|\mathbf{l} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{l}| \cdot |\mathbf{n}|}$$
где $\mathbf{l}$ — направляющий вектор прямой, $\mathbf{n}$ — нормальный вектор плоскости.
Почему синус, а не косинус? Нормаль перпендикулярна плоскости. Угол $\alpha$ между прямой $\mathbf{l}$ и нормалью $\mathbf{n}$ таков, что $\varphi + \alpha = 90°$, где $\varphi$ — угол между прямой и плоскостью. Следовательно, $\sin \varphi = \cos \alpha = |\mathbf{l} \cdot \mathbf{n}| / (|\mathbf{l}| \cdot |\mathbf{n}|)$.
Геометрический метод: роль проекции
Построение проекции — ключевой шаг геометрического метода. Нужно опустить перпендикуляр из любой точки прямой (не лежащей в плоскости) на плоскость и соединить основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости. Полученный отрезок — проекция, а угол между исходной прямой и её проекцией — искомый.
Пример. Прямая проходит через вершину $S$ правильной треугольной пирамиды и середину ребра основания $M$. Найти угол $SM$ с основанием.
Решение: проекция $SM$ на основание — отрезок $OM$ ($O$ — центр основания). Угол $SMO$ — искомый. $\tan\varphi = SO / OM = h \big/ \!\left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)$.
Алгебраический (координатный) метод
Пример. Прямая задана направляющим вектором $\mathbf{l} = (1,1,1)$. Плоскость: $x + 2y - 2z = 0$, нормаль $\mathbf{n} = (1,2,-2)$.
$$\mathbf{l} \cdot \mathbf{n} = 1 + 2 - 2 = 1$$
$$|\mathbf{l}| = \sqrt{3}, \quad |\mathbf{n}| = 3$$
$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$$
$$\varphi = \arcsin\!\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) \approx 11{,}1°$$
Перпендикулярность плоскостей как частный случай
Определение и признаки
Две плоскости называются перпендикулярными (ортогональными), если угол между ними равен 90°.
Аналитический признак перпендикулярности через нормали:
$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$$
Геометрический признак: плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда в одной из них существует прямая, перпендикулярная другой.
Пример задачи на доказательство перпендикулярности
Задача. Доказать, что плоскости $3x - y + 2z = 5$ и $x + y - z = 1$ перпендикулярны.
$\mathbf{n}_1 = (3,-1,2)$, $\mathbf{n}_2 = (1,1,-1)$
$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 3 - 1 - 2 = 0 \quad \checkmark$$
Скалярное произведение равно нулю — нормальные векторы ортогональны, следовательно, плоскости перпендикулярны. ∎
Алгоритм решения задач ЕГЭ: как не потерять баллы
- Прочитать задачу и определить метод. Если дана конкретная фигура с числовыми рёбрами → координатный метод надёжнее.
- Явно описать систему координат. Написать: «Введём систему координат с началом в точке X, осью Ox вдоль XY, осью Oy вдоль XZ, осью Oz вертикально.»
- Вычислить координаты всех задействованных вершин. Записывать каждую точку явно — не «очевидно».
- Найти нормальные векторы. Через векторное произведение или из уравнения плоскости.
- Применить формулу и вычислить arccos. Ответ записать в градусах.
- Проверить: угол должен быть от 0° до 90°.
Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $2 \times 2$ и высотой 3 найдите угол между боковой гранью $SAB$ и основанием $ABCD$.
$A=(0,0,0)$, $B=(2,0,0)$, $C=(2,2,0)$, $D=(0,2,0)$, $O=(1,1,0)$, $S=(1,1,3)$
Нормаль к основанию: $\mathbf{n}_1 = (0,0,1)$
$$\overrightarrow{AS} = (1,1,3), \quad \overrightarrow{AB} = (2,0,0)$$
$$\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{AS} \times \overrightarrow{AB} = (0;\; 6;\; -2)$$
$$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = -2, \quad |\mathbf{n}_2| = 2\sqrt{10}$$
$$\cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
$$\varphi = \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 71{,}6°$$
Частые ошибки и как их избежать
| Ошибка | Почему возникает | Как исправить |
|---|---|---|
| Берут угол между нормалями без модуля | Забывают, что из 4 углов берём наименьший | Всегда брать $|\cos \varphi|$; ответ не может быть тупым |
| Путают нормаль и направляющий вектор | Смешивают формулы для прямой и плоскости | Для плоскости — нормаль ($\perp$ плоскости), для прямой — направляющий ($\parallel$ прямой) |
| Перпендикуляры строят не из точки на линии пересечения | Берут произвольную точку в стороне от ребра | Оба луча должны выходить из одной точки, лежащей именно на линии пересечения плоскостей |
| Ошибка при вычислении векторного произведения | Перепутывают порядок компонент или знаки | Использовать раскладку по первой строке определителя $3\times3$; проверять знак каждого члена |
| Не переводят arccos в градусы | Оставляют ответ в радианах | Умножить на $180°/\pi$ или использовать калькулятор в градусном режиме |
| Не описывают систему координат | Считают это «очевидным» | Явно записывать начало координат и направления осей — требование ЕГЭ 2026 |
| Используют неверную проекцию при нахождении угла прямой с плоскостью | Путают проекцию точки и проекцию прямой | Проекция прямой — это прямая, соединяющая проекции двух её точек на плоскость |
Шпаргалка: формулы и алгоритмы кратко
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ
Через нормальные векторы $\mathbf{n}_1$, $\mathbf{n}_2$:
$$\cos \varphi = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|}$$
Через уравнения $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$, $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$:
$$\cos \varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$
Перпендикулярность: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0 \;\Rightarrow\; \varphi = 90°$
Параллельность: $\mathbf{n}_1 = k \cdot \mathbf{n}_2 \;\Rightarrow\; \varphi = 0°$
При пересечении образуются 4 угла — берём наименьший ($\leq 90°$)
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
$$\sin \varphi = \frac{|\mathbf{l} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{l}| \cdot |\mathbf{n}|}$$
($\mathbf{l}$ — направляющий вектор прямой, $\mathbf{n}$ — нормаль плоскости)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
$$\mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y;\; a_z b_x - a_x b_z;\; a_x b_y - a_y b_x)$$
МЕТОД ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ (геометрический)
Точка P на линии пересечения → луч $PA \perp$ ребру в $\alpha$ → луч $PB \perp$ ребру в $\beta$. Угол $\angle APB$ = двугранный угол.
Задачи для самостоятельного решения
Базовый уровень
Куб со стороной 2. Найти угол между диагональной плоскостью, проходящей через ребро и противоположное ребро, и основанием.
Ответ и краткое решение
Диагональное сечение через $AB$ и $C_1D_1$. Нормаль к основанию $(0,0,1)$. Нормаль к диагональному сечению через векторное произведение. Ответ: 45°.
Прямоугольная пирамида с квадратным основанием $4 \times 4$ и высотой 3. Найти угол между боковой гранью и основанием.
Ответ и краткое решение
Апофема основания $= 2$. Апофема боковой грани $= \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$. $\tan \varphi = 3/2$. $\varphi = \arctan(3/2) \approx 56{,}3°$.
Средний уровень
Правильная треугольная призма со стороной основания 2 и высотой 4. Найти двугранный угол между боковой гранью и основанием.
Ответ и краткое решение
Боковая грань — прямоугольник. Линия пересечения с основанием — ребро основания. В прямой призме боковые грани перпендикулярны основанию. Ответ: 90°.
Плоскости: $3x - y + 2z = 0$ и $x + 2y - z = 4$. Найти угол между ними.
Ответ и краткое решение
$\mathbf{n}_1 = (3,-1,2)$, $\mathbf{n}_2 = (1,2,-1)$. $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 3 - 2 - 2 = -1$. $|\mathbf{n}_1| = \sqrt{14}$, $|\mathbf{n}_2| = \sqrt{6}$. $\cos \varphi = 1/\sqrt{84}$. $\varphi = \arccos\!\left(1/(2\sqrt{21})\right) \approx 87{,}5°$.
Повышенный уровень (ЕГЭ)
Правильная четырёхугольная пирамида с ребром основания $a$ и боковым ребром $b$. Найти двугранный угол при ребре основания.
Ответ и краткое решение
Апофема основания $= a/2$. Высота $= \sqrt{b^2 - a^2/2}$. Апофема боковой грани $= \sqrt{b^2 - a^2/4}$. $\cos \varphi = (a/2) / \sqrt{b^2 - a^2/4}$. $\varphi = \arccos\!\left(a / \left(2\sqrt{b^2 - a^2/4}\right)\right)$.
Правильный тетраэдр с ребром $a$. Найти двугранный угол между двумя гранями.
Ответ и краткое решение
Координаты при $a=1$: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1/2,\sqrt{3}/2,0)$, $D=(1/2,\sqrt{3}/6,\sqrt{6}/3)$. Через нормали к граням: $\cos \varphi = 1/3$. Ответ: $\arccos(1/3) \approx 70{,}5°$.
Мини-тест: проверь себя
Вопрос 1. Чему равен угол между плоскостями, если их нормальные векторы $\mathbf{n}_1 = (1,0,0)$ и $\mathbf{n}_2 = (0,1,0)$?
- ○ 0°
- ○ 45°
- ● 90°
- ○ 180°
Пояснение
$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0 \;\Rightarrow\; \cos \varphi = 0 \;\Rightarrow\; \varphi = 90°$. Нормали перпендикулярны → плоскости перпендикулярны.
Вопрос 2. Как изменится формула, если скалярное произведение нормалей отрицательно?
- ○ Нужно взять модуль $\cos \varphi$
- ● Нужно взять модуль числителя $|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|$
- ○ Угол будет тупым
Пояснение
Угол между плоскостями по определению $\leq 90°$. Из четырёх двугранных углов мы берём наименьший. Модуль числителя — это и есть стандартная формула, гарантирующая острый или прямой результат.
Вопрос 3. Даны плоскости $x + y = 0$ и $x - y = 0$. Найти угол между ними.
Решение и ответ
$\mathbf{n}_1 = (1,1,0)$, $\mathbf{n}_2 = (1,-1,0)$. $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 1 - 1 + 0 = 0$. $\cos \varphi = 0$. $\varphi = 90°$. Плоскости перпендикулярны.
• MathWorld (Wolfram): Dihedral Angle — строгое математическое определение двугранного угла с формулами и иллюстрациями
• LibreTexts Mathematics: Equations of Lines and Planes in Space — академическое изложение уравнений плоскостей и углов между ними в декартовых координатах
FAQ: часто задаваемые вопросы
Что такое угол между плоскостями?
Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Он измеряется как угол между двумя лучами, проведёнными из одной точки на линии пересечения плоскостей перпендикулярно к этой линии в каждой из плоскостей. При пересечении образуются 4 двугранных угла — по определению выбирается наименьший (от 0° до 90°).
Как найти угол между двумя плоскостями через координаты?
Нужно найти нормальные векторы каждой плоскости, затем применить формулу: $\cos \varphi = |\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2| / (|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|)$. Если плоскости заданы уравнениями $A_1x+B_1y+C_1z=D_1$ и $A_2x+B_2y+C_2z=D_2$, то нормали — это векторы $(A_1,B_1,C_1)$ и $(A_2,B_2,C_2)$. Это и есть алгебраический (координатный) метод.
Почему в формуле угла между плоскостями стоит модуль?
Потому что две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. По определению, угол между плоскостями — наименьший из них (острый или прямой). Модуль в числителе формулы гарантирует, что косинус всегда неотрицателен, а итоговый угол не превышает 90°.
Чем отличается двугранный угол от линейного угла?
Двугранный угол — пространственная фигура (две полуплоскости с общим ребром). Линейный угол двугранного угла — плоский угол, образованный двумя лучами, проведёнными из точки на ребре перпендикулярно этому ребру в каждой из полуплоскостей. Все линейные углы одного двугранного угла равны, а их градусная мера равна мере двугранного угла.
Как найти нормальный вектор плоскости, если заданы три точки?
Из трёх точек $P_1, P_2, P_3$ строим два вектора: $\mathbf{a} = \overrightarrow{P_1 P_2}$ и $\mathbf{b} = \overrightarrow{P_1 P_3}$. Нормальный вектор плоскости — это их векторное произведение: $\mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Компоненты: $n_x = a_y b_z - a_z b_y$, $n_y = a_z b_x - a_x b_z$, $n_z = a_x b_y - a_y b_x$.
Когда плоскости перпендикулярны?
Две плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°. Аналитический критерий: скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$. Геометрический критерий: прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой.
Как решать задание №14 ЕГЭ по стереометрии на угол между плоскостями?
Наиболее надёжен координатный (алгебраический) метод: 1) явно описать систему координат (начало + оси) — обязательное требование ЕГЭ 2026; 2) записать координаты всех вершин; 3) найти нормальные векторы; 4) вычислить $\cos \varphi$ по формуле; 5) найти $\varphi = \arccos(|\cos \varphi|)$ в градусах. Максимальный балл — 3 (1 за доказательство, 2 за вычисление).
Чем отличается формула угла между прямой и плоскостью от формулы угла между двумя плоскостями?
Угол между плоскостями вычисляется через косинус: $\cos \varphi = |\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2| / (|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|)$. Угол между прямой и плоскостью — через синус: $\sin \varphi = |\mathbf{l} \cdot \mathbf{n}| / (|\mathbf{l}| \cdot |\mathbf{n}|)$, где $\mathbf{l}$ — направляющий вектор прямой, $\mathbf{n}$ — нормаль плоскости. Синус используется потому, что нормаль перпендикулярна плоскости, и угол между прямой и нормалью дополняет угол между прямой и плоскостью до 90°. Кроме того, при геометрическом методе для прямой обязательно строится проекция на плоскость.
Что такое метод перпендикуляров и чем он отличается от координатного метода?
Метод перпендикуляров — другое название геометрического метода нахождения двугранного угла. Его суть: из точки на ребре (линии пересечения плоскостей) строят два луча, каждый из которых перпендикулярен ребру и лежит в своей плоскости. Угол между лучами — искомый. Координатный (алгебраический) метод работает без построений: нормали вычисляются через векторное произведение, угол — через скалярное произведение. Оба метода дают одинаковый результат; на ЕГЭ 2026 оба закреплены как обязательные.
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
