Куб: формулы и свойства

Шпаргалка: все формулы куба

Все ключевые формулы в одном месте. Обозначение: a — длина ребра куба.

Что такое куб и из чего он состоит

Эти стороны называются гранями. Каждая грань куба пересекается с 4 другими под углом 90° и параллельна оставшейся. А т. к. все они — равные квадраты, то грани куба имеют одинаковую площадь, и их стороны, т. е. рёбра куба, равны между собой.

Точки, где они сходятся, называют вершинами куба. Всего у куба 8 вершин, и в каждой сходятся по 3 ребра.

Основные элементы куба

• Вершина куба — точка пересечения ровно трёх рёбер куба. У куба 8 вершин.
• Ребро куба — отрезок, соединяющий две смежные вершины и являющийся стороной квадратной грани. Все 12 рёбер куба равны между собой и имеют длину a.
• Грань куба — часть плоскости, ограниченная четырьмя рёбрами и образующая квадрат со стороной a. У куба 6 одинаковых квадратных граней.
• Ось куба — прямая, проходящая через центры двух параллельных (противоположных) граней и через центр куба. Таких осей у куба ровно 3 — по одной на каждую пару параллельных граней. Оси куба взаимно перпендикулярны.
• Центр куба — точка пересечения всех пространственных диагоналей, равноудалённая от всех вершин и от всех граней.

Формула Эйлера для куба подтверждает правильность подсчёта: $V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2$, что соответствует закону для всех выпуклых многогранников.

Всего у куба 4 диагонали. При этом они равны между собой, пересекаются в центре куба и делятся им пополам.

Также диагональ есть у каждой грани фигуры. В этом случае отрезок находится в её плоскости и соединяет противоположные вершины каждой из сторон-квадратов. Они также равны между собой и пересекаются в центре грани.

Диагональ грани куба выводится через теорему Пифагора: грань куба — квадрат со стороной $a$. Диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$:

Пространственная диагональ куба выводится в два шага:

1. Диагональ грани: $d_1 = a\sqrt{2}$ (получена выше).
2. Пространственная диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — диагональ грани $d_1 = a\sqrt{2}$, а другой — ребро куба $a$:
   $d^2 = d_1^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \;\to\; d = a\sqrt{3}$

Пример (при $a = 6$ см):

• Диагональ грани: $d_1 = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ см
• Пространственная диагональ: $d = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ см

У каждого куба есть 3 оси, и все они взаимно перпендикулярны.

Площадь поверхности, периметр и объём куба

При решении задач можно найти её через формулу $S = 6a^2$, где $a$ — это длина ребра куба.

Пример: если $a = 10$, то $S = 6a^2 = 6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600$.

Откуда берётся формула площади поверхности

Куб состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Площадь одного квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. Суммируя площади всех шести граней, получаем:

Это же видно на развёртке куба — плоской фигуре из 6 квадратов, при сборке которой образуется куб. Площадь развёртки и есть площадь полной поверхности.

Обратная задача: найти ребро по площади поверхности

Из формулы $S = 6a^2$ выражаем ребро:

Пример: $S = 96$ см² $\to a = \sqrt{96/6} = \sqrt{16} = \mathbf{4}$ см

Т. к. у куба 12 рёбер, для решения задач с периметром можно воспользоваться формулой $P = 12a$, где $a$ — это длина ребра куба.

Пример: если $a = 10$, то $P = 12a = 12 \cdot 10 = 120$.

Обратная задача: дан периметр $P$ → найти ребро: $a = P/12$.
Пример: $P = 60$ см $\to a = 60/12 = \mathbf{5}$ см

Иначе говоря, это вместимость трёхмерной фигуры. Чтобы вычислить её, перемножают длины рёбер многогранника, но т. к. у куба все рёбра равны, достаточно использовать формулу $V = a^3$.

Пример: если $a = 10$, то $V = a^3 = 10^3 = 1\,000$.

Также объём куба можно вычислить по длине его диагонали:

Откуда берётся формула объёма

Представьте куб со стороной 3 единицы. Его можно полностью заполнить маленькими единичными кубиками размером $1 \times 1 \times 1$. В одном слое — $3 \times 3 = 9$ кубиков, слоёв всего 3, итого $27 = 3^3$. В общем случае: $V = a \times a \times a = a^3$.

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. У куба основание — квадрат с площадью $a^2$, а высота равна $a$. Поэтому $V = a^2 \times a = a^3$.

Как перевести объём куба в литры

1 литр = 1 дм³ = 1000 см³. Если ребро куба задано в сантиметрах, вычислите $V$ в см³ и разделите на 1000 для получения значения в литрах.

Пример: $a = 10$ см $\to V = 10^3 = 1000$ см³ = 1 литр

Как меняются параметры куба при изменении ребра

Пусть исходное ребро куба равно a, а новое ребро — ka, где $k > 0$ — коэффициент масштабирования.

Куб и сфера

При этом все 6 граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сфере, а её радиус равен половине длины ребра $a$.

Радиус такой сферы равен половине длины диагонали куба.

Отношение радиусов

Из формул $r = a/2$ и $R = a\sqrt{3}/2$ следует:

Это полезное соотношение позволяет быстро находить один радиус по другому, без знания ребра.

Пример с числами (при $a = 10$ см):

• Радиус вписанной сферы: $r = 10/2 = \mathbf{5}$ см
• Радиус описанной сферы: $R = 10\sqrt{3}/2 = 5\sqrt{3} \approx \mathbf{8{,}66}$ см

Свойства куба

В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все 4 вершины тетраэдра совпадали с 4 вершинами куба, а все 6 рёбер тетраэдра располагались на 6 соответствующих гранях куба. При этом рёбра будут равны диагонали грани куба.

Ещё одно важное свойство куба состоит в том, что в него можно вписать правильный шестиугольник так, что все 6 вершин будут располагаться в центрах граней куба.

Полный список геометрических свойств

• Все 12 рёбер куба равны между собой
• Все 6 граней — равные квадраты
• Все двугранные углы прямые (90°)
• Все плоские углы при вершинах прямые (90°)
• Куб — правильный многогранник (правильный гексаэдр), является частным случаем прямоугольного параллелепипеда и правильной прямой призмы
• Куб обладает центральной симметрией; центр симметрии — точка пересечения пространственных диагоналей
• Осей симметрии — 13: 3 оси (порядка 4) — через центры противоположных граней; 6 осей (порядка 2) — через середины параллельных рёбер; 4 оси (порядка 3) — через противоположные вершины
• Плоскостей симметрии — 9: 3 плоскости параллельны граням и проходят через центр; 6 плоскостей проходят через пары противоположных рёбер по диагонали
• Три пары граней попарно параллельны между собой
• Смежные рёбра взаимно перпендикулярны

Координаты вершин куба

Куб — это фигура в трёхмерном пространстве, и у каждой её точки есть место на системе координат. Если куб расположен в начале этой системы так, что рёбра этой вершины лежат на осях координат, тогда его вершины будут иметь такие координаты:

$A(a,\, 0,\, 0)$, $B(a,\, a,\, 0)$, $C(0,\, a,\, 0)$, $D(0,\, 0,\, 0)$,
$E(a,\, 0,\, a)$, $F(a,\, a,\, a)$, $G(0,\, a,\, a)$, $H(0,\, 0,\, a)$,

где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ и $H$ — вершины куба, $a$ — длина его ребра. При этом вершина $D$ находится в начале системы координат.

Если же куб расположен так, что начало системы координат совпадает с центром фигуры, а рёбра параллельны осям координат, тогда координаты вершин куба с длиной ребра $2a$ будут выглядеть так:

$A(a,\, {-a},\, {-a})$, $B(a,\, a,\, {-a})$, $C({-a},\, a,\, {-a})$, $D({-a},\, {-a},\, {-a})$,
$E(a,\, {-a},\, a)$, $F(a,\, a,\, a)$, $G({-a},\, a,\, a)$, $H({-a},\, {-a},\, a)$.

При этом гранью такого куба будет единичный квадрат со сторонами 1:1:1:1. Если начало системы координат совпадает с вершиной $D$, то координаты его вершин будут такими:

$A(1,\, 0,\, 0)$, $B(1,\, 1,\, 0)$, $C(0,\, 1,\, 0)$, $D(0,\, 0,\, 0)$,
$E(1,\, 0,\, 1)$, $F(1,\, 1,\, 1)$, $G(0,\, 1,\, 1)$, $H(0,\, 0,\, 1)$.

Пересечение куба плоскостью

Если куб пересекает плоскость, которая проходит через его центр и центры двух его противоположных граней, то в сечении будет квадрат. При этом длина стороны этого квадрата будет равна длине ребра куба. Такая плоскость делит куб на 2 одинаковых прямоугольных параллелепипеда.

Если куб пересекает плоскость с ребром $a$, которая проходит через центр этого куба и два его параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник. Его стороны будут равны $a$ и $a\sqrt{2}$, а площадь сечения — $a^2\sqrt{2}$. Такая плоскость делит куб на 2 одинаковые призмы.

Если куб пересекает плоскость, которая проходит через 3 его вершины, то в сечении будет правильный треугольник. Его сторона будет равна $a\sqrt{2}$, площадь сечения — $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$, объём большей части — $\dfrac{5a^3}{6}$, а меньшей — $\dfrac{a^3}{6}$. Одна из диагоналей куба будет перпендикулярна плоскости сечения и будет делиться ею в отношении 2:1.

Если куб пересекает плоскость, которая проходит через его центр и середины 6 граней, то в сечении будет правильный шестиугольник. Сторона такого шестиугольника будет равна $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, а площадь сечения — $\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$. В этом случае одна из диагоналей каждой грани куба, что пересекаются, будет перпендикулярна стороне шестиугольника.

Виды сечений куба

Все формулы для решения задач с кубом

Убедитесь, что вы готовы к заданиям по стереометрии — проверьте свои силы на Тренажёре ЕГЭ. В нём 24/7 доступны экзаменационные задачи с кубами и на другие темы. Причём можно выбрать для практики как один тип заданий, так и написать пробный экзамен целиком. Это бесплатно!

---

Примеры задач с решениями

Задача 1 — базовый уровень: ребро куба равно 7 см

Условие: Ребро куба равно 7 см. Найдите объём, площадь поверхности и пространственную диагональ.

• Объём: $V = 7^3 = \mathbf{343}$ см³
• Площадь поверхности: $S = 6 \times 7^2 = 6 \times 49 = \mathbf{294}$ см²
• Пространственная диагональ: $d = 7\sqrt{3} \approx \mathbf{12{,}12}$ см

Ответ: $V = 343$ см³, $S = 294$ см², $d \approx 12{,}12$ см

Задача 2 — средний уровень: пространственная диагональ равна $9\sqrt{3}$ см

Условие: Пространственная диагональ куба равна $9\sqrt{3}$ см. Найдите ребро и площадь поверхности.

• Из формулы $d = a\sqrt{3}$: $a = d/\sqrt{3} = 9\sqrt{3}/\sqrt{3} = \mathbf{9}$ см
• Площадь поверхности: $S = 6 \times 9^2 = 6 \times 81 = \mathbf{486}$ см²

Ответ: $a = 9$ см, $S = 486$ см²

Задача 3 — средний уровень: площадь поверхности равна 294 см²

Условие: Площадь полной поверхности куба равна 294 см². Найдите объём.

• Из формулы $S = 6a^2$: $a^2 = S/6 = 294/6 = 49$, значит $a = \sqrt{49} = \mathbf{7}$ см
• Объём: $V = 7^3 = \mathbf{343}$ см³

Ответ: $V = 343$ см³

Задача 4 — уровень ЕГЭ: радиус описанной сферы равен 6 см

Условие: Радиус описанной сферы куба равен 6 см. Найдите объём куба.

1. Из формулы $R = a\sqrt{3}/2$ выражаем ребро:
   $a = \dfrac{2R}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \times 6}{\sqrt{3}} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см
2. Вычисляем объём:
   $V = (4\sqrt{3})^3 = 64 \times 3\sqrt{3} = \mathbf{192\sqrt{3}} \approx 332{,}6$ см³

Ответ: $V = 192\sqrt{3} \approx 332{,}6$ см³

Задача 5 — уровень ЕГЭ: ребро куба увеличили в 3 раза

Условие: Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился объём куба и во сколько раз — площадь его поверхности?

• Коэффициент масштабирования $k = 3$
• Площадь поверхности увеличится в $k^2 = 3^2 = \mathbf{9}$ раз
• Объём увеличится в $k^3 = 3^3 = \mathbf{27}$ раз
• Проверка: если исходно $a = 2$, то $V = 8$; новое $a = 6$, $V = 216$; $216/8 = 27$ ✓

Ответ: площадь увеличится в 9 раз, объём — в 27 раз

Задача 6 — олимпиадный уровень: площадь шестиугольного сечения куба

Условие: Найдите площадь правильного шестиугольного сечения куба с ребром $a$.

1. Плоскость, перпендикулярная главной диагонали и проходящая через её середину, пересекает куб по правильному шестиугольнику.
2. Каждая сторона правильного шестиугольника равна $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина диагонали грани), откуда $s^2 = \dfrac{a^2}{2}$.
3. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$: $S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot s^2$
4. Подставляем: $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}299a^2$

Ответ: $S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

💡 Совет для ЕГЭ: задачи на сечение куба в профильном уровне (задания второй части) решаются координатным методом значительно проще, чем классическим геометрическим. Запишите координаты трёх точек, через которые проходит плоскость сечения, составьте уравнение плоскости — и дальше всё сводится к стандартным формулам аналитической геометрии.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)