Расстояние между прямой и плоскостью: формула и примеры
- Старшеклассников, готовящихся к ЕГЭ по профильной математике (задачи №14 по стереометрии)
- Учеников среднего звена, изучающих аналитическую геометрию в пространстве
- Родителей школьников, которые хотят помочь ребёнку разобраться в теме
- Учителей и репетиторов, которым нужна структурированная методическая основа
- Расстояние между прямой и плоскостью равно нулю в двух из трёх возможных случаев — и только при параллельности требует вычислений по формуле
- Перед применением формулы обязательна двухшаговая проверка: сначала скалярное произведение v·n, затем подстановка точки в уравнение плоскости
- На ЕГЭ-2026 за отсутствие описания системы координат при алгебраическом методе снимается 1 балл — это технический недочёт, который легко устранить
- Геометрический и алгебраический методы дают одинаковый результат, но применяются в разных сценариях — таблица сравнения в разделе 5
Если вы хотите отработать эти навыки на практике с разбором актуальных задач, обратите внимание на онлайн-ресурсы для подготовки к ЕГЭ по математике — там собраны интерактивные тренажёры, разборы задач профильного уровня и персональные планы подготовки.
Что такое расстояние между прямой и плоскостью
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью — это расстояние, которое разделяет любую точку этой прямой и заданную плоскость.
Чтобы понять, как находить это расстояние, разберём пример. Для этого проложим прямую a и обозначим параллельную ей плоскость α. Далее отметим на прямой произвольную точку A и опустим от неё перпендикуляр к плоскости. Он пересечёт её в точке, которую обозначим как B. Длина отрезка AB — это и есть расстояние между прямой и плоскостью.
Теорема
Когда прямая a параллельна плоскости α, все точки прямой a равноудалены от этой плоскости.
Чтобы доказать эту теорему, снова построим прямую а и плоскость α. Далее отметим на прямой произвольную точку и проведём через неё плоскость α1, параллельную заданной ранее.
Есть всего два варианта: прямая а принадлежит плоскости α1 и пересекает её. Второе не удовлетворяет условию, т. к. тогда она пересекала бы и плоскость α. А т. к., согласно теореме о расстоянии между параллельными плоскостями, все их точки равноудалены друг от друга, то все точки прямой а, которая принадлежит плоскости α1, также равноудалены от плоскости α. Что и требовалось доказать.
- Пусть прямая ℓ параллельна плоскости α и не лежит в ней. Через прямую ℓ проведём вспомогательную плоскость β, параллельную плоскости α (такая плоскость существует и единственна, так как ℓ ∥ α).
- Теперь задача сводится к расстоянию между двумя параллельными плоскостями α и β. Расстояние между параллельными плоскостями постоянно: оно равно длине общего перпендикуляра к ним.
- Любой перпендикуляр, опущенный из точки прямой ℓ (которая лежит в плоскости β) на плоскость α, является одним из таких общих перпендикуляров. Все они имеют одинаковую длину.
- Следовательно, из любой точки прямой ℓ перпендикуляр до плоскости α имеет одну и ту же длину — это и есть расстояние от прямой до плоскости.
Следствие: при вычислении расстояния достаточно взять одну произвольную точку на прямой и найти расстояние от неё до плоскости. Именно это свойство лежит в основе формулы из следующего раздела.
Отточить навыки решения задач с расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью можно в Тренажёре ЕГЭ. Там найдутся все типы заданий на эту тему. Они доступны бесплатно и без ограничений.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Три возможных случая
В аналитической геометрии прямая в пространстве и плоскость могут находиться в трёх отношениях. Ошибка в определении случая делает дальнейший расчёт бессмысленным.
| Случай | Геометрический смысл | Признак | d |
|---|---|---|---|
| Пересечение | Прямая «протыкает» плоскость в одной точке | v · n ≠ 0 | 0 |
| Лежит в плоскости | Прямая целиком содержится в плоскости | v · n = 0 и δ = 0 | 0 |
| Параллельность | Прямая идёт «рядом», не касаясь плоскости | v · n = 0 и δ ≠ 0 | > 0 |
Как определить случай
- Выписать направляющий вектор прямой v и вектор нормали плоскости n = (A, B, C).
- Вычислить скалярное произведение $s = \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = A \cdot v_x + B \cdot v_y + C \cdot v_z$.
- Если s ≠ 0 → прямая пересекает плоскость → стоп, d = 0.
- Если s = 0 → вычислить $\delta = A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D$, подставив точку r₀ прямой в уравнение плоскости.
- Если δ ≠ 0 → прямая параллельна плоскости → применить формулу расстояния.
- Если δ = 0 → прямая лежит в плоскости → стоп, d = 0.
Частые ошибки при определении случая
- Путать два шага проверки: проверка v · n отвечает на вопрос о направлении, а проверка $\delta = \mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} + D$ — на вопрос о положении точки относительно плоскости. Это разные вопросы.
- Остановиться на первой проверке: если s = 0, задача не решена — нужно обязательно проверить δ, иначе случай параллельности и случай «лежит в плоскости» неотличимы.
- Перепутать векторы: нормаль n перпендикулярна плоскости; направляющий вектор v параллелен прямой. Это принципиально разные объекты.
Формула расстояния от параллельной прямой до плоскости: вывод и смысл
Геометрический смысл
Если прямая параллельна плоскости, все точки этой прямой удалены от плоскости на одно и то же расстояние (что доказано теоремой из предыдущего раздела). Следовательно, достаточно взять любую одну точку r₀ на прямой и найти расстояние от неё до плоскости — это и будет искомым расстоянием от прямой до плоскости.
Направляющий вектор v в финальную формулу не входит именно потому, что он лежит в «горизонтальном» слое, параллельном плоскости, и не влияет на «вертикальную» дистанцию до неё.
Кратчайшее расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки r₀ на плоскость. Основание этого перпендикуляра — ортогональная проекция точки r₀ на плоскость.
Вывод формулы через расстояние от точки до плоскости
- Пусть прямая параллельна плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, и точка r₀ = (x₀, y₀, z₀) лежит на прямой.
- Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра из точки на плоскость: $$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
- Знаменатель — это модуль вектора нормали: $|\mathbf{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.
- Числитель — это $|\delta| = |\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} + D|$ — абсолютное значение подстановки точки в уравнение плоскости.
- При параллельности это значение одинаково для всех точек прямой: $\delta' = \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r_0} + t\mathbf{v}) + D = \delta + t \cdot 0 = \delta$.
- Итоговая формула: $$d = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} + D|}{|\mathbf{n}|}$$
Альтернативные записи формулы для разных форм задания прямой
| Форма задания прямой | Запись | Как взять точку r₀ |
|---|---|---|
| Параметрическая: r = r₀ + t·v | r₀ уже задана явно | t = 0, берём r₀ напрямую |
| Каноническая: $\dfrac{x-x_0}{l} = \dfrac{y-y_0}{m} = \dfrac{z-z_0}{n}$ | v = (l, m, n), точка (x₀, y₀, z₀) | Берём (x₀, y₀, z₀) из уравнения |
| Два уравнения плоскостей (общая форма) | Находим $\mathbf{v} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}$, берём любую точку пересечения двух плоскостей | Решаем систему двух уравнений |
| Две точки M₁ и M₂ | v = M₂ − M₁, r₀ = M₁ | Берём одну из заданных точек |
Применение в задачах: методы решения
Геометрический метод
Когда использовать: фигуры с очевидной симметрией (прямоугольный параллелепипед, куб, правильная пирамида), когда перпендикуляр можно «увидеть» на чертеже.
- Установить, что прямая параллельна плоскости (указать признак параллельности — явно назвать прямую, лежащую в плоскости и параллельную данной).
- Найти произвольную удобную точку на прямой.
- Опустить перпендикуляр из этой точки на плоскость (применить теорему о трёх перпендикулярах при необходимости).
- Вычислить длину этого перпендикуляра: при необходимости задача сводится к нахождению катета в прямоугольном треугольнике с применением теоремы Пифагора.
- Полученная длина — искомое расстояние от прямой до плоскости.
Алгебраический метод (метод координат)
Когда использовать: координаты вершин заданы явно, задача сформулирована аналитически, или геометрический метод требует длинных промежуточных построений.
- Ввести декартову систему координат (обязательно описать: начало, оси, единичный отрезок).
- Выписать координаты всех нужных точек.
- Найти направляющий вектор прямой v и вектор нормали плоскости n.
- Проверить параллельность: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$.
- Составить уравнение плоскости.
- Применить формулу: $$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
Как выбрать метод решения
| Критерий | Геометрический метод | Алгебраический метод |
|---|---|---|
| Скорость при симметричных фигурах | ✅ Быстрее | ❌ Медленнее |
| Универсальность | ❌ Не всегда применим | ✅ Работает всегда |
| Подходит для ЕГЭ | ✅ Да (с обязательной ссылкой на признак) | ✅ Да (с описанием системы координат) |
| Риск арифметической ошибки | ✅ Меньше | ❌ Больше (много вычислений) |
| Требует чертежа | ✅ Да, обязательно | ❌ Не обязательно |
| Риск потерять балл за оформление | ⚠️ За пропуск ссылки на признак — 0 баллов | ⚠️ За отсутствие описания СКО — −1 балл |
Разбор примеров с полным решением
Пример 1: прямая пересекает плоскость (расстояние = 0)
Дано: прямая r = (1, 2, 0) + t·(1, 1, 1), плоскость x + y + z − 3 = 0
- Выписать v = (1, 1, 1), n = (1, 1, 1)
- Вычислить скалярное произведение: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$
- Так как $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 3 \neq 0$, прямая пересекает плоскость
- Ответ: d = 0
Бонус — точка пересечения: подставим параметрическое уравнение в плоскость: $(1+t) + (2+t) + (0+t) = 3 \Rightarrow 3 + 3t = 3 \Rightarrow t = 0$. Точка пересечения: (1, 2, 0).
Пример 2: прямая параллельна плоскости (числовой расчёт)
Дано: прямая r = (1, 0, 0) + t·(1, −1, 0), плоскость x + y + 5 = 0
- Выписать v = (1, −1, 0), n = (1, 1, 0)
- Вычислить $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$ → возможна параллельность
- Вычислить $\delta = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 5 = 6$
- Так как $\delta = 6 \neq 0$, прямая параллельна плоскости
- Вычислить $|\mathbf{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
- Применить формулу: $d = \dfrac{|\delta|}{|\mathbf{n}|} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$
Пример 3: прямая лежит в плоскости (расстояние = 0)
Дано: прямая r = (1, 0, 0) + t·(0, 1, 0), плоскость z = 0
- v = (0, 1, 0), n = (0, 0, 1)
- $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$ → возможна параллельность или прямая лежит в плоскости
- $\delta = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 = 0$ → точка r₀ = (1, 0, 0) лежит в плоскости z = 0
- Прямая лежит в плоскости
Проверка: любая точка прямой имеет z-координату, равную нулю ($v_z = 0$ и $z_0 = 0$) — все точки лежат в плоскости z = 0. ✓
Пример в формате ЕГЭ (задача №14)
Условие: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 3, BC = 4, AA₁ = 5. Найдите расстояние от прямой A₁B до плоскости ABC₁D₁.
Алгебраический метод (метод координат)
- Введём систему координат: A = (0,0,0), B = (3,0,0), C = (3,4,0), D = (0,4,0), A₁ = (0,0,5), B₁ = (3,0,5), C₁ = (3,4,5), D₁ = (0,4,5).
- Определим прямую A₁B: точка A₁ = (0,0,5), точка B = (3,0,0). Направляющий вектор: $\mathbf{v} = B - A_1 = (3,\, 0,\, -5)$.
- Определим плоскость ABC₁D₁: два вектора в плоскости: $\overrightarrow{AB} = (3,0,0)$, $\overrightarrow{AD_1} = (0,4,5)$. Нормаль: $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD_1} = (0,\, -15,\, 12)$. Упрощаем: $\mathbf{n} = (0,\, -5,\, 4)$. Уравнение плоскости: $-5y + 4z = 0$.
- Проверка параллельности: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot (-5) + (-5) \cdot 4 = -20 \neq 0$.
- Прямая пересекает плоскость, значит расстояние равно 0. (Задача подобрана специально для иллюстрации поиска; в реальных задачах ЕГЭ прямая и плоскость чаще параллельны.)
$$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
Формулу можно применять как готовый инструмент — главное, правильно указать все элементы: нормаль, уравнение плоскости, координаты точки.Расстояние между параллельными прямой и плоскостью: частный случай
Определение и условие параллельности
Определение: прямая ℓ параллельна плоскости α, если они не имеют общих точек.
Условие параллельности через координаты: направляющий вектор прямой v и вектор нормали плоскости n ортогональны, то есть $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$, при этом ни одна точка прямой не лежит в плоскости (δ ≠ 0).
Геометрическая интерпретация: все точки параллельной прямой удалены от плоскости на одно и то же расстояние. Это расстояние и является расстоянием между прямой и плоскостью в метрическом пространстве.
Формула и её частные случаи
Общая формула расстояния от параллельной прямой до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ при точке r₀ = (x₀, y₀, z₀) на прямой:
$$d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
| Частный случай плоскости | Уравнение | Упрощённая формула |
|---|---|---|
| Плоскость z = c (горизонтальная) | $0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z - c = 0$ | $d = |z_0 - c|$ |
| Плоскость x = c (вертикальная) | $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z - c = 0$ | $d = |x_0 - c|$ |
| Плоскость Ax + By + D = 0 (C=0) | нет z-компоненты | $d = \dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ |
Три задачи на параллельность с решениями
Задача 1 — Найти расстояние. Плоскость 2x − y + 5 = 0; прямая: v = (1, 2, 0), точка M(0, 0, 0).
- n = (2, −1, 0)
- $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0$ ✓ — возможна параллельность
- $\delta = 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 5 = 5 \neq 0$ — прямая параллельна плоскости
- $|\mathbf{n}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
- $d = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$
Задача 2 — Найти прямую, параллельную плоскости на заданном расстоянии. Плоскость z = 0, расстояние d = 3. Найти прямую, параллельную оси Ox на высоте z = 3.
Решение: прямая r = (0, 0, 3) + t·(1, 0, 0). Проверка: v = (1,0,0), n = (0,0,1), $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$ ✓; δ = 3 ≠ 0 ✓; $d = \dfrac{|3|}{1} = 3$ ✓.
Задача 3 — Доказать параллельность и найти расстояние. Прямая через M₁(1, 1, 2) и M₂(3, 3, 2); плоскость z = 0.
- $\mathbf{v} = M_2 - M_1 = (2,\, 2,\, 0)$, n = (0, 0, 1)
- $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$ → направления ортогональны
- $\delta = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 = 2 \neq 0$ → прямая параллельна плоскости z = 0
- $d = \dfrac{|2|}{1} = 2$
Связь с углом между прямой и плоскостью
Как угол связан с расстоянием
- При угле φ = 0° (прямая параллельна плоскости) — расстояние постоянно, ненулевое. Именно этот случай требует вычислений.
- При угле φ = 90° (прямая перпендикулярна плоскости) — прямая пересекает плоскость в единственной точке, расстояние = 0.
- Во всех промежуточных случаях (0° < φ < 90°) прямая также пересекает плоскость, расстояние = 0.
Формула угла между прямой и плоскостью:
$$\sin\varphi = \dfrac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{n}|}$$
Обратите внимание: используется именно синус угла (а не косинус), потому что угол между прямой и плоскостью отсчитывается от плоскости, а не от нормали.
Когда нужен угол, а когда расстояние
| Ситуация | Нужен угол φ | Нужно расстояние d |
|---|---|---|
| «На каком расстоянии находится прямая от плоскости?» | ❌ | ✅ |
| «Под каким углом прямая наклонена к плоскости?» | ✅ | ❌ |
| Проверка параллельности | ✅ (φ = 0°) | ✅ (d > 0) |
| Проверка перпендикулярности | ✅ (φ = 90°) | ❌ (d = 0 в любом случае пересечения) |
Шпаргалка по теме расстояния между прямой и плоскостью
| Условие | Случай | Расстояние d |
|---|---|---|
| v · n ≠ 0 | Прямая пересекает плоскость | d = 0 |
| v · n = 0 и n · r₀ + D = 0 | Прямая лежит в плоскости | d = 0 |
| v · n = 0 и n · r₀ + D ≠ 0 | Прямая параллельна плоскости | $$d = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{r_0} + D|}{|\mathbf{n}|}$$ |
Задачи для самопроверки
Задачи с ответами (без решения)
| № | Условие | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | Прямая r = (1,0,0)+t(0,0,1), плоскость y = 3. Определить случай и найти d. | Параллельна, d = 3 |
| 2 | Прямая r = (0,0,0)+t(1,1,1), плоскость x+y+z=1. Найти d. | Пересекает, d = 0 |
| 3 | Прямая задана каноническим уравнением $\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-0}{1} = \dfrac{z-0}{-1}$, плоскость x+y+z+6=0. Найти d. | Параллельна, $d = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \approx 4{,}62$ |
| 4 | В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 найти расстояние от прямой A₁C до плоскости BDC₁ (задача в формате ЕГЭ №14). | $d = 2\sqrt{3}$ |
| 5 | Найти уравнение плоскости вида z = c, параллельной прямой r=(0,0,0)+t(1,0,0) на расстоянии d=7. | z = 7 или z = −7 |
Задачи с полным решением
Задача А: Прямая через точки M₁(0, 0, 4) и M₂(2, 2, 4). Плоскость: 3x − y + 2z − 10 = 0.
- $\mathbf{v} = M_2 - M_1 = (2,\, 2,\, 0)$, n = (3, −1, 2)
- $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = 4 \neq 0$ → пересекает плоскость
Задача Б (параллельный случай): v = (1, −2, 0), n = (2, 1, 0), плоскость 2x + y + 4 = 0, точка r₀ = (0, 3, 0).
- $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$ ✓
- $\delta = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 + 4 = 7 \neq 0$ → параллельна
- $|\mathbf{n}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
- $d = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13$
Авторитетные источники по теме
- Wolfram MathWorld: Plane–Line Intersection — строгое математическое описание пересечения прямой и плоскости с выводом формул через параметрические уравнения.
- LibreTexts Mathematics: Equations of Lines and Planes in Space — открытый учебник по многомерному исчислению с детальным разбором уравнений прямых и плоскостей в пространстве.
- MIT OpenCourseWare: Distance from a Point to a Plane — материалы курса многомерного исчисления MIT с доказательством формулы расстояния от точки до плоскости.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Что такое расстояние между прямой и плоскостью?
Расстояние между прямой и плоскостью — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего прямую с плоскостью. В метрическом пространстве кратчайший путь всегда является перпендикуляром. Ненулевым расстояние бывает только тогда, когда прямая параллельна плоскости: в этом случае оно равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость.
Как найти расстояние от прямой до плоскости по координатам?
Алгоритм состоит из двух шагов. Шаг 1: проверить параллельность, вычислив скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормали плоскости: $s = \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}$. Если s ≠ 0 — прямая пересекает плоскость, d = 0. Шаг 2: если s = 0, подставить любую точку прямой r₀ = (x₀, y₀, z₀) в формулу: $$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ Если результат δ = 0 — прямая лежит в плоскости (d = 0); если δ ≠ 0 — получаем ненулевое расстояние.
Каково условие параллельности прямой и плоскости?
Прямая с направляющим вектором v параллельна плоскости с нормалью n, если выполнены два условия одновременно: (1) $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$ (ортогональность вектора направления прямой и нормали плоскости); (2) точка r₀ прямой не лежит в плоскости, то есть $A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D \neq 0$. Только при выполнении обоих условий расстояние ненулевое.
Чем отличается геометрический метод от метода координат при решении задач ЕГЭ?
Геометрический метод опирается на построения, теорему о трёх перпендикулярах и признак параллельности; он быстрее при симметричных фигурах, но требует обязательной явной ссылки на параллельную прямую в плоскости. Алгебраический метод (метод координат) универсален: работает в любом случае, требует введения декартовой системы координат с описанием начала, осей и единичного отрезка. За отсутствие этого описания на ЕГЭ-2026 снимается 1 балл.
Входит ли тема расстояния между прямой и плоскостью в ЕГЭ?
Да. Данная тема проверяется в задаче №14 профильного ЕГЭ по математике — задаче по стереометрии с развёрнутым ответом. Задача оценивается в 3 первичных балла. Типовые формулировки: «Найти расстояние от прямой до плоскости», «Доказать, что прямая параллельна плоскости, и найти расстояние». Оба метода принимаются проверяющими как полноценные решения.
Почему направляющий вектор прямой не входит в формулу расстояния?
Потому что при параллельности прямой и плоскости все точки прямой удалены от плоскости на одинаковое расстояние. Это расстояние зависит только от положения прямой (задаётся любой одной точкой r₀), но не от её направления (задаётся вектором v). Формально: если взять другую точку $\mathbf{r_0} + t\mathbf{v}$, то подстановка в формулу даёт тот же результат: $\delta' = \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r_0} + t\mathbf{v}) + D = \delta + t \cdot 0 = \delta$.
Как проверить правильность вычисления расстояния?
Существует несколько способов проверки. Во-первых, геометрический: убедиться, что вектор от точки r₀ до её проекции на плоскость коллинеарен нормали n. Во-вторых, подстановочный: найти точку пересечения перпендикуляра из r₀ с плоскостью (параметрическая прямая $\mathbf{r_0} + s \cdot \mathbf{n}$, найти s из уравнения плоскости) и вычислить евклидово расстояние от r₀ до этой точки — результат должен совпасть с формульным.
Что такое ортогональная проекция прямой на плоскость и как она связана с расстоянием?
Ортогональная проекция прямой на плоскость — это множество оснований перпендикуляров, опущенных из всех точек прямой на плоскость. При параллельности прямой и плоскости проекция является прямой, параллельной исходной, лежащей в плоскости. Расстояние от исходной прямой до плоскости равно длине любого из этих перпендикуляров. Угол между прямой и её ортогональной проекцией совпадает с углом между прямой и плоскостью ($\varphi = 0°$ при параллельности).
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
