Взаимное расположение прямых в пространстве
- Учеников 9–11 классов, готовящихся к ЕГЭ и профильным контрольным
- Учеников 7–8 классов, изучающих стереометрию и решающих школьные задачи
- Родителей школьников, помогающих с домашними заданиями и поиском объяснений
- Учителей и репетиторов математики, ищущих наглядные материалы и разборы задач
- В пространстве существует ровно три случая взаимного расположения прямых: параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся — каждый определяется через направляющие векторы и совместность системы уравнений.
- Универсальный алгоритм из четырёх шагов позволяет однозначно определить тип расположения для любых двух прямых, заданных параметрически.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется через смешанное произведение векторов — это единственная формула, которую требуют методические рекомендации ЕГЭ с явным описанием системы координат.
- Угол между любыми двумя прямыми в пространстве всегда острый или прямой (от 0° до 90°) и вычисляется через модуль косинуса скалярного произведения направляющих векторов.
Если вы хотите выстроить системную подготовку и не тратить время на хаотичное повторение тем — изучите подробное руководство о том, как организовать учебный процесс подготовки к ЕГЭ по математике: там собраны пошаговые стратегии, разбивка тем по блокам и рекомендации.
Три варианта взаимного расположения прямых
В стереометрии любые две прямые в пространстве находятся ровно в одном из трёх положений относительно друг друга. Никаких промежуточных вариантов нет. Прежде чем переходить к формулам, важно закрепить геометрическую картину.
| Тип расположения | Общие точки | Лежат в одной плоскости? | Направляющие векторы |
|---|---|---|---|
| Параллельные | Нет | Да | Коллинеарны: v₁ = λv₂ |
| Пересекающиеся | Одна точка | Да | Неколлинеарны |
| Скрещивающиеся | Нет | Нет | Неколлинеарны |
Формально совпадающие прямые можно рассматривать как предельный случай параллельных: векторы v₁ и v₂ коллинеарны, и при этом любая точка одной прямой лежит на другой. Совпадающие прямые не являются отдельным «четвёртым типом» взаимного расположения — это вырожденный (частный) случай внутри анализа на параллельность, который обязательно проверяется на шаге 2а алгоритма. Некоторые учебники для 7–9 классов перечисляют его явно, поэтому стоит держать его в уме.
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Из этого следует важное свойство: для параллельных прямых их направляющие векторы коллинеарны (пропорциональны).
Условие параллельности через координаты
Прямые ℓ₁ с направляющим вектором v₁ = (a₁, b₁, c₁) и ℓ₂ с направляющим вектором v₂ = (a₂, b₂, c₂) параллельны тогда и только тогда, когда:
$$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = \lambda \quad \text{(пропорциональность координат)}$$
И при этом точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой.
Как отличить параллельные от совпадающих — типичная ошибка
Если векторы v₁ и v₂ коллинеарны, следует дополнительно проверить: лежит ли точка r₁ (с первой прямой) на второй прямой. Для этого подставляем координаты r₁ в параметрическое уравнение ℓ₂ и проверяем, даёт ли система уравнений единственное решение. Если даёт — прямые совпадают, если нет — параллельны.
Пример
Условие: Определить взаимное расположение прямых:
$\ell_2\colon x = 5 + 4u,\; y = 1 - 2u,\; z = 0 + 8u$
- Направляющие векторы: v₁ = (2, −1, 4), v₂ = (4, −2, 8)
- Проверяем пропорциональность: 4/2 = 2; (−2)/(−1) = 2; 8/4 = 2. Векторы коллинеарны: v₂ = 2v₁
- Точка на ℓ₁ при t = 0: r₁ = (1, 3, 2). Подставляем в ℓ₂: 1 = 5 + 4u → u = −1; y: 3 = 1 − 2(−1) = 3 ✓; z: 2 = 8(−1) = −8 ✗. Противоречие.
- Точка r₁ не лежит на ℓ₂ → прямые параллельны.
Пересекающиеся прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.
Такие прямые лежат в одной плоскости, а их направляющие векторы не коллинеарны.
Условие пересечения
Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда система уравнений:
$$x_1 + t\cdot a_1 = x_2 + u\cdot a_2; \quad y_1 + t\cdot b_1 = y_2 + u\cdot b_2; \quad z_1 + t\cdot c_1 = z_2 + u\cdot c_2$$
совместна (имеет единственное решение относительно t и u), а направляющие векторы не коллинеарны.
Алгоритм нахождения точки пересечения
- Из первых двух уравнений системы найти t и u
- Подставить найденные t и u в третье уравнение — оно должно выполняться
- Найти координаты точки пересечения, подставив t в уравнение ℓ₁
Пример
Условие: ℓ₁: x = t, y = t, z = t и ℓ₂: x = 2−s, y = s, z = 1.
- Система: t = 2−s (I); t = s (II); t = 1 (III)
- Из (III): t = 1. Из (II): s = 1. Проверка (I): 1 = 2−1 = 1 ✓
- Система совместна → прямые пересекаются в точке P = (1, 1, 1).
Скрещивающиеся прямые
Это самый сложный и наиболее проверяемый на ЕГЭ случай взаимного расположения прямых в пространстве.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны, не пересекаются и не лежат ни в какой одной плоскости (некомпланарны).
Скрещивающиеся прямые — явление исключительно трёхмерной геометрии: в плоскости скрещивающихся прямых не существует.
Прежде чем использовать координатно-векторный аппарат, важно понять геометрическую суть скрещивания. Этот раздел незаменим при оформлении пункта А задания №14 ЕГЭ сугубо геометрическим методом — без введения системы координат.
Признак скрещивающихся прямых (теорема)
Теорема (Признак скрещивающихся прямых).
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости α, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то данные прямые являются скрещивающимися.
Доказательство методом от противного
Пусть прямая ℓ₁ лежит в плоскости α, а прямая ℓ₂ пересекает плоскость α в точке M, не лежащей на ℓ₁.
Допустим от противного, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ не являются скрещивающимися. Тогда возможны два случая:
- ℓ₁ и ℓ₂ пересекаются — тогда они имеют общую точку P. Точка P лежит на ℓ₁, значит P ∈ α. Точка M тоже лежит на ℓ₂ и, по условию, в плоскости α. Две точки P и M, лежащие на прямой ℓ₂, обе принадлежат α → вся прямая ℓ₂ лежит в α. Но тогда ℓ₂ не пересекает α в одной точке, а лежит в ней целиком — противоречие.
- ℓ₁ ∥ ℓ₂ — тогда через ℓ₁ проходит плоскость α, содержащая ℓ₁. Параллельная к ℓ₁ прямая ℓ₂ при наличии общей точки M с α должна лежать в α целиком. Снова противоречие.
Оба варианта приводят к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно: прямые ℓ₁ и ℓ₂ скрещиваются.
Пример применения признака
Условие: В тетраэдре ABCD доказать, что ребро AB и ребро CD скрещиваются.
- Рассмотрим плоскость α = ABC (плоскость грани ABC). Ребро AB лежит в плоскости α.
- Ребро CD: вершина C лежит в плоскости ABC (C ∈ α), вершина D не лежит в плоскости ABC (иначе тетраэдр был бы плоским).
- Значит, прямая CD пересекает плоскость α именно в точке C.
- Точка C не лежит на прямой AB (она является отдельной вершиной тетраэдра).
- По признаку скрещивающихся прямых: AB и CD скрещиваются.
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Скрещивающиеся прямые не лежат ни в какой общей плоскости и тоже не имеют общих точек. Именно отсутствие компланарности отличает скрещивающиеся прямые от параллельных — и это самая частая точка путаницы в стереометрии.
Признак скрещивающихся прямых через смешанное произведение
Прямые ℓ₁ и ℓ₂ скрещиваются тогда и только тогда, когда:
$$(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) \neq 0$$
Геометрический смысл: смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх векторах. Если этот объём ненулевой — три вектора некомпланарны, значит, прямые скрещиваются.
Вычисление смешанного произведения через определитель матрицы
$$(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) = \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}, \quad \text{где } (d_1, d_2, d_3) = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$$
Почему неверно: В плоскости это утверждение справедливо (аксиома Евклида). В трёхмерном пространстве оно неверно: прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными — именно так и возникают скрещивающиеся прямые. Всегда проверяйте коллинеарность направляющих векторов отдельно.
Пример: как доказать, что прямые скрещиваются
Условие:
$\ell_2\colon x = u,\; y = 1 + u,\; z = 2 + u$
- Направляющие векторы: v₁ = (2, 1, 3), v₂ = (1, 1, 1). Не пропорциональны (2/1 ≠ 1/1) → не параллельны.
- Точки: r₁ = (1, 0, 0), r₂ = (0, 1, 2). Вектор d = r₂ − r₁ = (−1, 1, 2).
- Вычислим смешанное произведение: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1-3) - 1(2-3) + 2(2-1) = 2 + 1 + 2 = 5 \neq 0$$
- Смешанное произведение ≠ 0 → прямые скрещиваются.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми
Формула через смешанное и векторное произведения
$$d = \dfrac{|(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)|}{|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2|}$$
Геометрический смысл: числитель — это объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах (d, v₁, v₂). Знаменатель — площадь основания этого параллелепипеда (параллелограмм на v₁ и v₂). Их отношение даёт высоту параллелепипеда, которая и является кратчайшим расстоянием между прямыми.
Пример
Условие: Найти расстояние между скрещивающимися прямыми из предыдущего примера.
- Векторное произведение v₁ × v₂: $$\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2,\,1,\,1)$$
- Модуль: $|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
- Смешанное произведение (из предыдущего примера) = 5
- Расстояние: $$d = \dfrac{|5|}{\sqrt{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04$$
Как найти уравнение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым
Направление общего перпендикуляра
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым — это единственный отрезок, перпендикулярный обеим прямым одновременно. Его направление задаётся векторным произведением:
$$\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2$$
Алгоритм нахождения уравнения перпендикуляра
- Вычислить n = v₁ × v₂
- Найти точку P₁ на ℓ₁, в которой пересекается общий перпендикуляр с ℓ₁: решить систему уравнений прямой ℓ₁ и перпендикуляра (условие перпендикулярности n к v₂)
- Аналогично найти точку P₂ на ℓ₂
- Вектор P₁P₂ должен быть коллинеарен n — это проверка корректности
Геометрический смысл угла между прямыми
Прежде чем применять векторную формулу, необходимо понять, что именно мы вычисляем. Особенно это важно для скрещивающихся прямых, у которых нет общей точки.
Определение угла через параллельный перенос
Другими словами: выберем произвольную точку O. Через O проведём прямую ℓ₁', параллельную ℓ₁, и прямую ℓ₂', параллельную ℓ₂. Угол между ℓ₁' и ℓ₂' (который теперь является пересекающимися прямыми) и есть угол между исходными прямыми.
Почему результат не зависит от выбора точки O? Потому что при параллельном переносе углы сохраняются — это прямое следствие свойств параллельных прямых в евклидовой геометрии.
Почему угол всегда от 0° до 90°?
При пересечении двух прямых образуются два смежных угла: φ и (180° − φ). По соглашению, углом между прямыми называют наименьший из них. Поэтому:
- Если прямые перпендикулярны — угол равен 90°.
- Если прямые параллельны или совпадают — угол равен 0°.
- В остальных случаях угол принадлежит интервалу (0°; 90°).
Связь геометрического определения с векторной формулой
Параллельный перенос прямой сохраняет её направляющий вектор. Значит, после переноса в точку O прямые ℓ₁' и ℓ₂' имеют те же направляющие векторы v₁ и v₂. Угол между ними вычисляется формулой:
$$\cos \varphi = \dfrac{|\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2|}{|\mathbf{v}_1| \cdot |\mathbf{v}_2|}$$
Связь прямых и плоскостей: как задать плоскость через прямые
Понимание связи между прямыми и плоскостями не только углубляет знание стереометрии, но и открывает дополнительный метод решения задач ЕГЭ — нахождение уравнения плоскости через две заданные прямые.
Аксиома геометрии: когда прямые задают плоскость
Аксиома (следствие из основных аксиом стереометрии).
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Через две параллельные прямые тоже проходит единственная плоскость.
Через скрещивающиеся прямые невозможно провести ни одну общую плоскость.
Именно последнее свойство — невозможность провести общую плоскость — является геометрической сутью скрещивания. Это более глубокое определение, чем просто «нет общих точек и не параллельны».
Как составить уравнение плоскости через две пересекающиеся прямые
Пусть даны две пересекающиеся прямые ℓ₁ и ℓ₂ с направляющими векторами v₁ и v₂ и общей точкой P. Алгоритм:
- Найти нормальный вектор плоскости: n = v₁ × v₂ (векторное произведение направляющих векторов).
- Записать уравнение плоскости через точку P = (x₀, y₀, z₀) и нормаль n = (A, B, C): $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
Как составить уравнение плоскости через две параллельные прямые
Пусть ℓ₁ и ℓ₂ параллельны: v₁ ∥ v₂. Используем направляющий вектор v₁ и вектор, соединяющий точки r₁ (на ℓ₁) и r₂ (на ℓ₂): $\mathbf{w} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$.
- Нормальный вектор: n = v₁ × w
- Уравнение плоскости: $$A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$$ где $(x_1, y_1, z_1) = \mathbf{r}_1$
Пример
Условие: Найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые:
ℓ₁: x = t, y = t, z = t и ℓ₂: x = 2−s, y = s, z = 1.
- Направляющие векторы: $\mathbf{v}_1 = (1, 1, 1)$, $\mathbf{v}_2 = (-1, 1, 0)$.
- Нормальный вектор: $$\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1,\,-1,\,2)$$
- Точка пересечения (из раздела 8): P = (1, 1, 1).
- Уравнение плоскости: $$-1(x-1) - 1(y-1) + 2(z-1) = 0 \;\Rightarrow\; x + y - 2z = 0$$
Как определить взаимное расположение: чек-лист на 4 шага
Этот алгоритм работает для любых двух прямых в трёхмерном пространстве, заданных параметрически. Освоив его один раз, вы решаете весь класс задач на взаимное расположение прямых.
Шаг 1. Записать прямые в параметрической форме
Каждая прямая задаётся точкой и направляющим вектором:
$$\ell_1\colon \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 + t\cdot\mathbf{v}_1, \quad t \in \mathbb{R}$$ $$\ell_2\colon \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 + u\cdot\mathbf{v}_2, \quad u \in \mathbb{R}$$
Шаг 2. Проверить коллинеарность направляющих векторов: v₁ = λv₂?
- Да → векторы пропорциональны → переходим к шагу 2а
- Нет → переходим к шагу 3
Шаг 2а. Проверить, лежит ли точка r₁ на прямой ℓ₂
- Да → прямые совпадают
- Нет → прямые параллельны
Шаг 3. Составить и исследовать систему уравнений
Приравнять координаты: $\mathbf{r}_1 + t\cdot\mathbf{v}_1 = \mathbf{r}_2 + u\cdot\mathbf{v}_2$. Получим систему трёх уравнений с двумя неизвестными (t и u).
- Система совместна (есть решение) → прямые пересекаются
- Система несовместна (нет решения) → прямые скрещиваются
Шаг 4 (при скрещивании). Вычислить расстояние между прямыми
$$d = \dfrac{|(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2)|}{|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2|}$$
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Без понимания этого раздела применить алгоритм невозможно. Разберём все формы задания прямой.
Общий вид параметрического уравнения
$$\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + t\cdot\mathbf{v}$$ $$x = x_0 + t\cdot a; \quad y = y_0 + t\cdot b; \quad z = z_0 + t\cdot c, \quad t \in \mathbb{R}$$
Здесь r₀ = (x₀, y₀, z₀) — произвольная точка на прямой, v = (a, b, c) — направляющий вектор прямой, t — параметр.
Как составить параметрическое уравнение по двум точкам A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂)
- Найти направляющий вектор: v = B − A = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)
- Взять одну из точек (например, A) в качестве r₀
- Записать параметрическое уравнение
Канонический вид и его связь с параметрическим
$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c} = t$$
Канонический вид является прямым следствием параметрического. Важно: если одна из компонент направляющего вектора равна нулю (например, c = 0), соответствующая координата фиксирована: z = z₀.
Мини-пример
Условие: Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2, −1) и B(3, 0, 4).
- Направляющий вектор: v = B − A = (2, −2, 5)
- Берём точку A(1, 2, −1) как базовую
- Параметрическое уравнение: $x = 1 + 2t;\; y = 2 - 2t;\; z = -1 + 5t$
- Канонический вид: $$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+1}{5}$$
Угол между прямыми в пространстве
Угол между двумя прямыми в пространстве — это наименьший из двух углов, которые образуют их направляющие векторы (или их параллельные переносы в одну точку). По определению угол между прямыми принадлежит отрезку [0°; 90°].
Геометрически: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно через произвольную точку O провести прямые, параллельные данным. Угол между полученными пересекающимися прямыми и есть искомый угол (подробнее — см. раздел 3).
Формула через направляющие векторы
$$\cos \varphi = \dfrac{|\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2|}{|\mathbf{v}_1| \cdot |\mathbf{v}_2|}$$
Модуль в числителе гарантирует, что угол будет острым или прямым.
Особые случаи
| Условие | Значение угла | Тип прямых |
|---|---|---|
| $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 0$ | φ = 90° | Перпендикулярные прямые |
| $|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2| = 0$ | φ = 0° | Параллельные (или совпадающие) |
Разобранный пример
Условие: Найти угол между прямыми с направляющими векторами v₁ = (1, 2, 2) и v₂ = (2, 1, −2).
- Скалярное произведение: $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 2\cdot(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$
- $|\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2| = 0$
- $\cos \varphi = \dfrac{0}{|\mathbf{v}_1| \cdot |\mathbf{v}_2|} = 0$
- φ = 90° — прямые перпендикулярны
Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве
Формула
$$d = \dfrac{|\overrightarrow{AM} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$$
Здесь A — заданная точка, M — произвольная точка на прямой, v — направляющий вектор прямой.
Геометрический смысл
Векторное произведение AM × v по модулю равно площади параллелограмма, построенного на векторах AM и v. Делим на основание |v| — получаем высоту, то есть расстояние от точки A до прямой.
Пример
Условие: Найти расстояние от точки A(1, 0, 0) до прямой: x = t, y = 1 + t, z = 2 + t.
- Точка на прямой при t = 0: M = (0, 1, 2). Вектор $\overrightarrow{AM} = M - A = (-1, 1, 2)$
- Направляющий вектор v = (1, 1, 1)
- Векторное произведение: $$\overrightarrow{AM} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1,\,3,\,-2)$$
- $|\overrightarrow{AM} \times \mathbf{v}| = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$
- $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$
- $$d = \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{42}}{3} \approx 2{,}16$$
Методы решения задач: координатный и векторный подходы
| Метод | Когда удобен | Плюсы | Минусы |
|---|---|---|---|
| Координатный | Прямые заданы уравнениями; задачи в системе координат | Нагляден, опирается на школьную алгебру | Много вычислений при сложных числах |
| Векторный | Прямые заданы точками или геометрически; ЕГЭ задания на расстояние и угол | Компактные формулы; прямой путь к ответу | Требует уверенного знания произведений векторов |
| Геометрический | Задачи на многогранники и пирамиды; пункт А ЕГЭ без координат | Не требует вычислений; экономит время на экзамене | Требует хорошего пространственного воображения |
Когда использовать смешанное произведение
- Для доказательства скрещивания прямых
- Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми
Когда использовать векторное произведение
- Для нахождения направления общего перпендикуляра
- Для вычисления расстояния от точки до прямой
- Для нахождения нормали к плоскости, содержащей две пересекающиеся прямые
Когда использовать геометрический признак
- Для доказательства скрещивания в задачах на пирамиды, призмы и тетраэдры без координат
- Для пункта А в задаче №14 ЕГЭ, когда введение координат избыточно
Задачи с прямой в пространстве
Задача 1 (базовый уровень): Определите взаимное расположение двух прямых
$\ell_2\colon x = 5 + 6u,\; y = 0 - 2u,\; z = 1 + 4u$
Подсказка
Проверьте пропорциональность координат направляющих векторов. Если пропорциональны — проверьте точку.
Полное решение
- v₁ = (3, −1, 2), v₂ = (6, −2, 4). Проверяем: 6/3 = 2; (−2)/(−1) = 2; 4/2 = 2. Коллинеарны.
- Точка r₁ = (2, 1, 4). Подставляем в ℓ₂: 2 = 5 + 6u → u = −1/2; y: 1 = 0 − 2(−1/2) = 1 ✓; z: 4 = 1 + 4(−1/2) = −1 ✗.
- Точка не лежит на ℓ₂ → прямые параллельны.
Задача 2 (средний уровень): Найдите точку пересечения или доказать скрещивание
$\ell_2\colon x = 3 - s,\; y = s,\; z = 3 - s$
Полное решение
- v₁ = (1, −1, 2), v₂ = (−1, 1, −1). 1/(−1) = −1; (−1)/1 = −1; 2/(−1) = −2 ≠ −1. Не коллинеарны.
- Система: 1+t = 3−s (I); 2−t = s (II); 1+2t = 3−s (III).
- Из (II): s = 2−t. Подставляем в (I): 1+t = 3−(2−t) = 1+t → 1 = 1 ✓ (выполняется при любом t).
- Проверяем (III): 1+2t = 3−(2−t) = 1+t → t = 0. Тогда s = 2.
- t = 0 → точка на ℓ₁: (1, 2, 1). s = 2 → точка на ℓ₂: (1, 2, 1). ✓
- Прямые пересекаются в точке P = (1, 2, 1).
Задача 3 (средний уровень): Докажите скрещивание и найти расстояние
$\ell_2\colon x = 1 + s,\; y = s,\; z = 1 + 3s$
Полное решение
- v₁ = (1, 1, 2), v₂ = (1, 1, 3). 1/1 = 1; 1/1 = 1; 2/3 ≠ 1. Не коллинеарны → не параллельны.
- r₁ = (0, 1, 0), r₂ = (1, 0, 1). d = r₂ − r₁ = (1, −1, 1).
- Смешанное произведение: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(3-2) - (-1)(3-2) + 1(1-1) = 1 + 1 + 0 = 2 \neq 0$$
- Прямые скрещиваются.
- Векторное произведение: $$\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (1,\,-1,\,0)$$
- $|\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
- $$d = \dfrac{|2|}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$$
Задача 4 (уровень ЕГЭ): Угол между скрещивающимися прямыми в кубе
Условие: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между диагональю AB₁ и ребром CD.
Полное решение
- Координаты: A = (0,0,0), B₁ = (1,1,1), C = (1,1,0), D = (0,1,0).
- $\mathbf{v}_1 = B_1 - A = (1,1,1)$, $\mathbf{v}_2 = D - C = (-1,0,0)$.
- $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = -1$; $|\mathbf{v}_1| = \sqrt{3}$; $|\mathbf{v}_2| = 1$.
- $$\cos\varphi = \dfrac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$
- $$\varphi = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 54{,}7°$$
Частые ошибки и как их избежать
| Ошибка | Почему возникает | Как избежать |
|---|---|---|
| Параллельные = совпадающие | Не проверяют точку после коллинеарности векторов | Всегда выполнять шаг 2а алгоритма |
| «Не пересекаются → параллельны» | Перенос логики из планиметрии в стереометрию | Проверять коллинеарность и смешанное произведение раздельно |
| Угол > 90° между прямыми | Забывают брать модуль в числителе формулы косинуса | Формула всегда с $|\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2|$ |
| Не описана система координат | Переходят сразу к вычислениям | Явно указать начало координат и оси в начале решения |
| Ошибка в знаке определителя | Неправильное раскрытие по строке/столбцу | Раскрывать по первой строке, аккуратно расставляя знаки «+−+» |
Вопросы и ответы
Могут ли две прямые в пространстве быть одновременно параллельными и скрещивающимися?
Нет. Параллельные прямые лежат в одной плоскости, скрещивающиеся — нет. Это взаимоисключающие случаи. Три типа расположения (параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся) полностью покрывают все возможности и не пересекаются между собой.
Как быстро проверить скрещивание без вычисления определителя?
Используйте геометрический признак: если одна прямая лежит в грани многогранника, а другая пересекает эту грань в точке, не лежащей на первой прямой — они скрещиваются. Это работает без единого числового вычисления и особенно эффективно в задачах на тетраэдры и призмы.
Зачем нужен модуль в формуле угла между прямыми?
Скалярное произведение может быть отрицательным (если угол между векторами тупой). Но угол между прямыми — всегда от 0° до 90°. Модуль гарантирует, что мы берём острый угол, а не тупой.
Можно ли применить формулу расстояния между скрещивающимися прямыми к параллельным прямым?
Технически — нет: для параллельных прямых $\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$, и знаменатель обращается в ноль. Для параллельных прямых расстояние вычисляется иначе: берётся произвольная точка на одной прямой и находится расстояние от неё до другой прямой по формуле расстояния от точки до прямой.
Что такое общий перпендикуляр и всегда ли он существует?
Общий перпендикуляр — отрезок, перпендикулярный обеим прямым одновременно. Он существует и единственен только для скрещивающихся прямых. Для пересекающихся прямых роль «перпендикуляра» играет высота угла между ними в точке пересечения. Для параллельных — любой перпендикуляр к ним в общей плоскости.
- Атанасян Л.С. и др. — Геометрия 10–11: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2023.
- Прасолов В.В. — Задачи по стереометрии. М.: МЦНМО, 2010.
- ФИПИ — Методические рекомендации для учителей по результатам ЕГЭ 2024 по математике (профильный уровень).
- Шарыгин И.Ф. — Геометрия: 10–11 классы. М.: Дрофа, 2009.
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
