Многогранники: определение и виды
Статья предназначена для:
- 📐 Школьников 6–9 классов, готовящихся к урокам и контрольным
- 🎓 Старшеклассников (10–11 классы), готовящихся к ЕГЭ и олимпиадам
- 👨👩👧 Родителей школьников, помогающих с домашними заданиями
- 📚 Учителей и репетиторов, подбирающих материалы для уроков
- 🔢 Любителей геометрии и многогранников
Ключевые выводы из статьи:
- Многогранник — это геометрическое тело в евклидовом пространстве, поверхность которого состоит исключительно из плоских многоугольников (граней), соединённых рёбрами и вершинами.
- Правильных многогранников (платоновых тел) существует ровно пять — это математически доказанный факт, а не педагогическое упрощение.
- Формула Эйлера $B - P + G = 2$ применима к любому выпуклому многограннику и служит надёжным инструментом самопроверки при решении задач.
Если вы хотите не просто разобраться в теории, но и научиться решать задачи на ЕГЭ без ошибок — ознакомьтесь с советами по самостоятельной подготовке к ЕГЭ по математике: там собраны проверенные стратегии, разборы типовых ошибок и план работы по стереометрии.
Многогранники и их свойства
Многогранник — это геометрическое тело, которое ограничено конечным числом плоских многоугольников. Такие многоугольники — это грани многогранника. Также у него есть рёбра — стороны граней, вершины — точки, где рёбра пересекаются, и диагональ — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Основные элементы многогранника
| Элемент | Определение | Пример (куб) | Как считать |
|---|---|---|---|
| Грань (Г) | Плоский многоугольник, ограничивающий тело | 6 квадратов | Считать плоские «стенки» |
| Ребро (Р) | Отрезок — общая сторона двух граней | 12 рёбер | Считать линии пересечения граней |
| Вершина (В) | Точка — место схождения трёх и более рёбер | 8 вершин | Считать «углы» фигуры |
| Двугранный угол | Угол между двумя смежными гранями по ребру | 90° у всех рёбер | Измеряется в плоскости, перпендикулярной ребру |
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани | 4 пространственные диагонали | Не совпадает ни с одним ребром |
✅ У куба 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин. Проверка по формуле Эйлера: $8 - 12 + 6 = 2$ ✓
Как и многоугольники, многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми).
Выпуклый многогранник — это такой многогранник, который целиком расположен по одну сторону от плоскости одной из своих граней.
Все грани такого многогранника — это выпуклые многоугольники. Т. е. фигуры, которые лежат по одну из сторон своих граней.
Невыпуклый (вогнутый) многогранник — это такой многогранник, плоскости граней которого делят его на части.
На рисунке ниже видно, как плоскость проходит через многогранник и делит его на верхний и нижний сегменты.
| Критерий | Выпуклый | Невыпуклый |
|---|---|---|
| Отрезок между двумя точками | Всегда внутри тела | Может выходить наружу |
| Секущая плоскость | Сечение — выпуклый многоугольник | Сечение может быть невыпуклым |
| Применимость теоремы Эйлера | Да ($B - P + G = 2$) | Не всегда |
| Примеры | Куб, тетраэдр, призма | Малый звёздчатый додекаэдр, большой икосаэдр |
Сводная классификация многогранников по форме и типу
| Тип | Описание | Примеры | В программе |
|---|---|---|---|
| Призма | Два параллельных основания + боковые параллелограммы | Куб, параллелепипед, треугольная призма | 6–11 кл., ЕГЭ |
| Пирамида | Одно основание + боковые треугольники, сходящиеся в вершине | Тетраэдр, египетская пирамида, усечённая пирамида | 6–11 кл., ЕГЭ |
| Платоновы тела | 5 правильных выпуклых многогранников | Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр | 10–11 кл., ФГОС 2026 |
| Архимедовы тела | 13 полуправильных многогранников — грани разных правильных многоугольников, вершины одинаковые | Усечённый куб, икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр | Углублённый уровень |
| Звёздчатые многогранники | Невыпуклые, с самопересекающимися гранями | Тела Кеплера–Пуансо: малый звёздчатый додекаэдр | Олимпиадный уровень |
| Антипризма | Два параллельных основания, развёрнутых на 45°, боковые — треугольники | Квадратная антипризма, октаэдр (частный случай) | Дополнительный материал |
Правильные многогранники и теорема Эйлера
Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, грани которого — правильные многоугольники. При этом в каждой его вершине сходится одинаковое количество рёбер.
Все рёбра правильного многогранника равны между собой. То же самое справедливо и для двугранных углов. Всего существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
| Название | Форма грани | Граней (Г) | Рёбер (Р) | Вершин (В) | В вершине сходится |
|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | Правильный треугольник | 4 | 6 | 4 | 3 грани |
| Гексаэдр (куб) | Квадрат | 6 | 12 | 8 | 3 грани |
| Октаэдр | Правильный треугольник | 8 | 12 | 6 | 4 грани |
| Додекаэдр | Правильный пятиугольник | 12 | 30 | 20 | 3 грани |
| Икосаэдр | Правильный треугольник | 20 | 30 | 12 | 5 граней |
💡 Совет эксперта: при изучении платоновых тел используйте принцип двойственности: тетраэдр двойственен сам себе, куб и октаэдр — друг другу, додекаэдр и икосаэдр — друг другу. Это означает, что вершины одного тела соответствуют граням другого. Данная связь упрощает запоминание характеристик и регулярно эксплуатируется в олимпиадных задачах.
Платоновы тела занимают особое место в стереометрии: согласно обновлённому ФГОС СОО, начиная с 2026 года их изучение введено в обязательную программу базового уровня. Это означает, что задачи на свойства правильных многогранников появятся даже в базовом ЕГЭ.
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера для многогранников: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.
Формула: $v - e + f = 2$, где $v$ — вершины, $e$ — рёбра, $f$ — грани.
Если представить число рёбер как $e$, граней — как $f$ и вершин — как $v$, тогда для каждого правильного многогранника будет справедлива такая формула:
$$v - e + f = 2$$
Теперь подставим в неё значения для каждого элемента существующих правильных многогранников и получим:
-
тетраэдр: $4 - 6 + 4 = 2$;
-
куб: $8 - 12 + 6 = 2$;
-
октаэдр: $6 - 12 + 8 = 2$;
-
икосаэдр: $12 - 30 + 20 = 2$;
-
додекаэдр: $20 - 30 + 12 = 2$.
В каждом случае сохраняется соотношение сторон, вершин и граней по теореме Эйлера.
Не бывает правильных многогранников, гранями которых были бы правильные многоугольники с 6 и более сторонами. Есть и минимальное число сторон таких граней — 4.
Выходит,
| Многогранник | В | Р | Г | $B - P + G$ | Проверка |
|---|---|---|---|---|---|
| Куб | 8 | 12 | 6 | $8 - 12 + 6$ | $= 2$ ✓ |
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | $4 - 6 + 4$ | $= 2$ ✓ |
| Четырёхугольная пирамида | 5 | 8 | 5 | $5 - 8 + 5$ | $= 2$ ✓ |
💡 Совет эксперта: теорема Эйлера — ваш первый инструмент самопроверки. Если вы посчитали грани, рёбра и вершины нового многогранника, но $B - P + G \neq 2$, значит, допущена ошибка в подсчёте. Этот приём работает для всех выпуклых фигур без исключения и занимает 30 секунд. Не бывает правильных многогранников с гранями-шестиугольниками и более — гранями правильного многогранника могут быть только треугольники, квадраты и пятиугольники.
Призма и её свойства
Призма — это выпуклый многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. При этом все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой.
Элементы призмы:
- Основания — два параллельных многоугольника (верхнее и нижнее).
- Боковые грани — параллелограммы, соединяющие соответствующие рёбра оснований.
- Боковые рёбра — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований.
- Высота — перпендикуляр между плоскостями оснований.
Призму с основаниями-треугольниками называют треугольной. По этому же принципу существуют четырёхугольные, пятиугольные и любые другие n-угольные призмы.
Призму, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскости основания, называют прямой. Все остальные призмы, не подходящие под это определение, — наклонные.
У прямой призмы боковые грани — всегда прямоугольники и квадраты, т. к. угол между её рёбрами и основаниями равен 90°. У наклонной — параллелограммы общего вида. У прямых призм высота равна длине ребра боковых граней. Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
Если из любой точки одного основания провести перпендикулярную прямую к плоскости другого, такая прямая будет считаться высотой призмы. У прямых призм высота равна длине ребра боковых граней. Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
Призма называется правильной, если её основания — это правильные многоугольники. Важное свойство правильной призмы — все её диагонали равны и всегда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
Важное свойство правильной призмы заключается в том, что все её диагонали равны. Также они всегда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
Как распознать призму — алгоритм за 3 шага:
- Найдите два параллельных конгруэнтных многоугольника (основания).
- Убедитесь, что боковые грани — параллелограммы (противоположные стороны равны и параллельны).
- Проверьте, что каждое боковое ребро соединяет вершины верхнего и нижнего оснований.
| Вид | Отличительный признак | Боковые грани | Пример |
|---|---|---|---|
| Прямая | Боковые рёбра перпендикулярны основаниям | Прямоугольники | Шоколадная плитка, пенал |
| Наклонная | Боковые рёбра не перпендикулярны основаниям | Параллелограммы | Скошенная колонна |
| Правильная | Прямая призма с правильным многоугольником в основании | Равные прямоугольники | Шестигранный карандаш |
| Параллелепипед | Призма с параллелограммом в основании | Параллелограммы | Прямоугольный ящик |
Призма: все формулы
| Призма: все формулы | |
|---|---|
| Объём призмы через площадь основания и высоту | $V = S_{\text{осн}} H$ |
| Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра | $V = S_{\text{п}} L$ |
| Объём правильной прямой призмы через высоту ($h$), длину стороны ($a$) и количество сторон ($n$) | $V = \dfrac{n}{4} h a^{2} \ctg\dfrac{\pi}{n}$ |
| Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту | $S_b = Ph$ |
| Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту | $S = 2S_{\text{осн}} + Ph$ |
| Площадь поверхности правильной призмы через высоту ($h$), длину стороны ($a$) и количество сторон ($n$) | $S = \dfrac{n}{2} a^{2} \ctg\dfrac{\pi}{n} + nah$ |
Параллелепипед и его свойства
Параллелепипед — это четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы.
Противоположные грани такой фигуры равны и параллельны друг другу, а значит, она также считается правильной. При этом, если основания параллелепипеда — это прямоугольники, его так и называют — прямоугольный.
Все прямоугольные параллелепипеды — прямые, т. к. их боковые грани находятся под углом 90° относительно основания. Если грани не перпендикулярны основаниям, параллелепипед считается наклонным.
Все 4 диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и пересекаются в одной точке. Длина его диагонали и длины попарно перпендикулярных рёбер $a$, $b$, $c$ связаны соотношением:
Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда
Квадрат пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где a, b, c — длины трёх попарно перпендикулярных рёбер.
Частный случай — куб со стороной a: $d = a\sqrt{3}$
Пример: диагональ комнаты $4 \times 3 \times 3$ м: $d = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ м.
Прямой параллелепипед, основания которого — квадраты, называют кубом.
Куб — правильная фигура. Все его рёбра равны между собой, а также боковые грани равны основаниям. Иначе говоря, куб целиком состоит из 6 квадратов.
Параллелепипед и куб: все формулы
| Параллелепипед: все формулы | |
|---|---|
| Объём прямоугольного параллелепипеда | $V = abc$ |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | $S = 2ab + 2ac + 2bc$ |
| Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда | $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ |
| Диагональ куба через длину ребра ($a$) | $d_1 = a\sqrt{3}$ |
| Диагональ грани через длину ребра ($a$) | $d_2 = a\sqrt{2}$ |
| Объём куба через длину ребра ($a$) | $V = a^3$ |
| Объём куба через длину диагонали | $V = \dfrac{d_1^3}{3\sqrt{3}}$ |
| Площадь поверхности куба через длину ребра ($a$) | $S = 6a^2$ |
| Периметр куба через длину ребра ($a$) | $P = 12a$ |
| Радиус вписанной сферы через длину ребра ($a$) | $r = \dfrac{a}{2}$ |
| Объём вписанной сферы через длину ребра ($a$) | $V = \dfrac{\pi a^3}{6}$ |
| Радиус описанной сферы через длину ребра ($a$) | $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| Объём сферы, описанной вокруг куба, через длину ребра ($a$) | $V = \dfrac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{2}$ |
Пирамида и её свойства
Пирамида — это многогранник, который состоит из многоугольника в основании и треугольников, образованных при соединении точки вершины пирамиды и вершин её основания.
Треугольники — это боковые грани пирамиды, а её ребра — это общие стороны треугольников. Также у пирамиды есть апофема — перпендикулярная прямая, опущенная из её вершины к стороне основания.
Ключевые элементы пирамиды:
- Основание — многоугольник любого вида.
- Вершина пирамиды — точка, в которой сходятся все боковые рёбра.
- Боковые рёбра — отрезки от вершины до вершин основания.
- Высота — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
- Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, перпендикулярная соответствующей стороне основания.
Пирамида может быть остроугольной и тупоугольной. В первом случае апофема больше длины стороны основания, во втором — меньше.
Если высота пирамиды соединяет её вершину с центром основания, а оно само представляет из себя правильный многоугольник, то и пирамида называется правильной.
Все боковые грани такой фигуры — одинаковые равнобедренные треугольники.
В этом случае все рёбра пирамиды наклонены к её основанию под одинаковыми углами.
Если все грани правильной пирамиды — это равносторонние треугольники, то она называется правильным тетраэдром. Все рёбра, грани, а также периметры и площади всех граней такой фигуры равны между собой.
Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная основанию фигуры, её нижняя часть называется усечённой пирамидой.
Параллельные грани такой пирамиды считают её основаниями. Расстояние между ними, т. е. перпендикуляр, опущенный от одного основания к другому, — высота усечённой пирамиды.
Если такая фигура была получена усечением правильной пирамиды, её называют усечённой правильной пирамидой — все боковые грани этой фигуры являются равнобедренными трапециями.
| Вид | Признак | Особенность |
|---|---|---|
| Правильная | Основание — правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр | Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники; апофема определена однозначно |
| Треугольная | Основание — треугольник | Частный случай тетраэдра; 4 треугольные грани |
| Четырёхугольная | Основание — четырёхугольник | Египетские пирамиды — частный случай правильной четырёхугольной |
| Усечённая | Отсечена часть плоскостью, параллельной основанию | Два параллельных неконгруэнтных основания; особая формула объёма |
Сравнение призмы и пирамиды
| Признак | Призма | Пирамида |
|---|---|---|
| Число оснований | 2 (параллельных) | 1 |
| Боковые грани | Параллелограммы | Треугольники |
| Вершина | Нет особой вершины | Одна общая вершина всех боковых граней |
| Формула объёма | $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ | $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$ |
| Тело-аналог вращения | Цилиндр | Конус |
Пирамида: все формулы
| Пирамида: все формулы | |
|---|---|
| Объём пирамиды через площадь основания и высоту | $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$ |
| Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему | $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P l$ |
| Площадь полной поверхности пирамиды | $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$ |
| Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды | $S_{\text{бок}} = \dfrac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$ |
| Объём правильной усечённой пирамиды | $V = \dfrac{1}{3} h \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right)$ |
Вписанная и описанная сферы многогранника
Наличие вписанной и описанной сфер — важное свойство правильных многогранников, которое регулярно используется в задачах профильного ЕГЭ и олимпиадах. Для правильного многогранника оба центра совпадают в одной точке — центре симметрии фигуры.
Описанная сфера (радиус $R$) — сфера, проходящая через все вершины многогранника. Центр описанной сферы равноудалён от всех вершин.
Вписанная сфера (радиус $r$) — сфера, касающаяся всех граней многогранника изнутри. Центр вписанной сферы равноудалён от всех граней.
| Многогранник | Сторона / ребро | Радиус описанной сферы $R$ | Радиус вписанной сферы $r$ | Связь $R$ и $r$ |
|---|---|---|---|---|
| Куб | $a$ | $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ | $r = \dfrac{a}{2}$ | $R = r\sqrt{3}$ |
| Правильный тетраэдр | $a$ | $R = \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$ | $r = \dfrac{a\sqrt{6}}{12}$ | $R = 3r$ |
| Правильный октаэдр | $a$ | $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ | $r = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ | $R/r = \sqrt{3}$ |
| Прямоугольный параллелепипед | $a, b, c$ | $R = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$ | Вписанная сфера существует только при $a = b = c$ (куб) | — |
| Правильная пирамида (квадр. осн.) | $a$ — сторона, $h$ — высота | Зависит от $a$ и $h$, находится из системы уравнений | $r = \dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$ | Универсальная формула через $V$ и $S$ |
💡 Универсальная формула для вписанной сферы
Для любого многогранника, в который вписана сфера:
Это позволяет найти радиус вписанной сферы, зная объём и полную площадь поверхности: $r = \dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$.
Для описанной сферы прямоугольного параллелепипеда: $R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$. Все вершины параллелепипеда лежат на сфере, диаметр которой равен его пространственной диагонали.
Построение сечений многогранников
Сечение многогранника — это плоская фигура, образующаяся при пересечении многогранника плоскостью.
Умение строить сечения — один из ключевых навыков для выполнения задания №14 профильного ЕГЭ-2026. Без понимания алгоритма даже графически верное построение оценивается в 0 баллов.
Три базовых принципа построения сечений
- Принцип 1 — точки одной грани. Если две точки сечения лежат в одной грани многогранника, то отрезок, их соединяющий, лежит в этой грани. Линия сечения на данной грани — прямая.
- Принцип 2 — параллельные грани. Если секущая плоскость параллельна двум противоположным граням (или их прямым), линии пересечения сечения с этими гранями тоже параллельны.
- Принцип 3 — след плоскости. Секущая плоскость и плоскость любой грани пересекаются по прямой (если они не параллельны). Эта прямая называется следом секущей плоскости на данной грани. Пересечение следа с ребром грани даёт точку сечения.
Алгоритм построения сечения (метод следов)
- Отметьте заданные точки на рёбрах или гранях многогранника.
- Соедините точки, лежащие в одной грани (принцип 1). Получите первый отрезок сечения.
- Продолжите прямую до пересечения с плоскостью соседней грани (получите след секущей плоскости на этой грани).
- В каждой грани найдите точку пересечения следа с ребром — это новая точка сечения.
- Для параллельных граней применяйте принцип 2: проводите параллельный отрезок.
- Повторяйте шаги 3–5, пока сечение не замкнётся в многоугольник.
- Запишите обоснование каждого шага с указанием аксиомы или теоремы.
⚠️ Критично для ЕГЭ-2026: каждый шаг построения должен сопровождаться явным указанием, почему проведена данная прямая. Недостаточно написать «провёл прямую через M и N» — нужно добавить: «так как обе точки лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ (по условию задачи), их соединяющий отрезок лежит в этой грани (по определению плоскости)». Без подобной записи пункт «а» оценивается в 0 баллов, даже если рисунок верный.
Виды сечений типичных многогранников
| Многогранник | Возможные формы сечения | Особые случаи |
|---|---|---|
| Куб / прямоугольный параллелепипед | Треугольник, прямоугольник, квадрат, трапеция, параллелограмм, правильный шестиугольник | Сечение через три вершины куба, не лежащих в одной грани — правильный треугольник |
| Треугольная призма | Треугольник, прямоугольник, трапеция, параллелограмм | Сечение, параллельное основанию — конгруэнтный треугольник |
| Пирамида | Треугольник, трапеция, произвольный многоугольник | Сечение, параллельное основанию — подобный многоугольник |
| Тетраэдр | Треугольник, четырёхугольник (параллелограмм) | Срединное сечение — прямоугольник |
Развёртки многогранников
Развёртка многогранника — это плоская фигура, которая получается, если «разрезать» поверхность многогранника по некоторым рёбрам и «развернуть» грани в одну плоскость.
Навык работы с развёртками востребован при расчёте площади поверхности и в задачах на нахождение кратчайшего пути по поверхности тела.
Свойства развёртки
- Площадь развёртки равна полной площади поверхности многогранника.
- Каждое ребро многогранника на развёртке является общей стороной ровно двух граней (сохраняется смежность).
- Развёртка не единственна: один и тот же многогранник допускает множество различных развёрток в зависимости от того, по каким рёбрам произведён разрез.
Развёртки куба: 11 вариантов
📌 Математический факт
Куб имеет ровно 11 различных развёрток (это доказанное математическое утверждение, не зависящее от поворотов и отражений). Все 11 — это различные способы расположить 6 квадратов в одной плоскости так, чтобы их можно было сложить в куб.
Самая известная развёртка — крест: 4 квадрата в ряд, по одному сверху и снизу на второй позиции. Именно она изображается на большинстве упаковок.
| Правило для куба | Объяснение |
|---|---|
| 6 квадратов соединены смежными сторонами | Каждая грань — квадрат, в развёртке они образуют единую плоскую фигуру |
| Противоположные грани куба не должны быть соседними в развёртке | Грани куба: верхняя/нижняя, передняя/задняя, левая/правая — каждая пара при складывании должна оказаться напротив |
| Всего 11 вариантов развёрток | Доказано перебором всех топологически различных конфигураций 6 квадратов с 4-связностью |
Развёртки других многогранников
| Многогранник | Грани в развёртке | Применение |
|---|---|---|
| Правильный тетраэдр | 4 равносторонних треугольника: 1 базовый + 3 «лепестка» вокруг него | Задачи на кратчайший путь по поверхности |
| Правильная треугольная призма | 2 треугольника + 3 прямоугольника, расположенных в ряд | Расчёт площади боковой поверхности |
| Правильная четырёхугольная пирамида | 1 квадрат + 4 равнобедренных треугольника вокруг него | Расчёт площади полной поверхности |
| Октаэдр | 8 равносторонних треугольников: «зигзагообразная» полоска | Наглядное изучение двойственности с кубом |
Кратчайший путь по поверхности — применение развёртки
Задача (олимпиадный тип). Муравей ползёт по поверхности куба со стороной 1 из вершины A в вершину B, расположенную на противоположном конце пространственной диагонали. Найдите длину кратчайшего пути.
- Разверните куб так, чтобы точки A и B оказались на одной плоскости (развёртке из двух граней).
- Кратчайший путь по поверхности — прямой отрезок AB на развёртке.
- Расстояние через две грани $1 \times 1$: длина $= \sqrt{(1+1)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}236$.
Ключевой принцип: кратчайший путь по поверхности = прямой отрезок на развёртке.
Симметрия многогранников
Симметрия — это свойство фигуры совмещаться с собой при определённых преобразованиях.
У многогранников различают три вида симметрии: относительно точки (центральная), относительно прямой (осевая) и относительно плоскости (зеркальная).
Виды симметрии
| Вид симметрии | Определение | Обозначение | Пример |
|---|---|---|---|
| Центр симметрии | Точка $O$, через которую для каждой точки тела $A$ найдётся точка $A'$, такая что $O$ — середина $AA'$ | Точка $O$ | Центр куба, параллелепипеда, октаэдра |
| Ось симметрии | Прямая $l$, при повороте вокруг которой на угол $360°/n$ $(n \geq 2)$ тело совмещается с собой | $l$, $n$-кратная ось | Вертикальная ось правильной пирамиды |
| Плоскость симметрии | Плоскость $\alpha$, при отражении относительно которой тело совмещается с собой | Плоскость $\alpha$ | Любая плоскость, делящая куб пополам |
Симметрия платоновых тел и параллелепипеда
💡 Практическое применение симметрии: если многогранник имеет плоскость симметрии, содержащую заданные точки, задача сводится к планиметрической — достаточно работать в этом плоском сечении. Например, в правильной пирамиде плоскость симметрии через вершину и середину стороны основания содержит высоту, апофему и ось — три ключевых элемента для большинства задач.
Как использовать симметрию при решении задач
- Определите плоскость симметрии, содержащую заданные точки.
- Постройте сечение по этой плоскости — получите плоскую фигуру.
- Решите планиметрическую задачу в полученном сечении (найдите длины, углы, площади).
- Перенесите результат обратно в пространственный контекст.
Архимедовы тела и звёздчатые многогранники
Архимедовы тела (полуправильных многогранников) — это 13 выпуклых многогранников, грани которых являются правильными многоугольниками двух или более видов, а все вершины конгруэнтны (окружение каждой вершины одинаково).
Получают архимедовы тела путём усечения платоновых тел: если «срезать» вершины куба правильно, получится усечённый куб с гранями-треугольниками и правильными восьмиугольниками. Каталановы тела — двойственные к архимедовым.
| Тело | Как получено | Грани | Применение |
|---|---|---|---|
| Усечённый куб | Срезание вершин куба | 8 треугольников + 6 восьмиугольников | Архитектура, дизайн |
| Икосододекаэдр | Усечение икосаэдра / додекаэдра | 20 треугольников + 12 пятиугольников | Фуллерен C₆₀ (близкая форма) |
| Ромбокубооктаэдр | Поворот граней куба | 8 треугольников + 18 квадратов | Кристаллография |
Звёздчатые многогранники (тела Кеплера–Пуансо) — невыпуклые многогранники с самопересекающимися гранями.
Существует ровно 4 правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.
Примеры и разбор задач
Уровень 1 — Базовый (6–7 класс): задачи 1–2
Задача 1: Посчитайте число граней, рёбер и вершин куба. Проверьте формулой Эйлера.
- Грани: 6 квадратов → $Г = 6$
- Рёбра: $4 + 4 + 4 = 12$ → $Р = 12$
- Вершины: $4 + 4 = 8$ → $В = 8$
- Проверка: $8 - 12 + 6 = \mathbf{2}$ ✓
Задача 2: Назовите вид многогранника: 5 вершин, 8 рёбер, 5 граней (одна — квадрат, остальные — треугольники).
Уровень 2 — Средний (8–9 класс): задачи 3–5
Задача 3: Найдите площадь боковой поверхности прямой правильной треугольной призмы со стороной основания $a = 4$ см и высотой $h = 7$ см.
- Периметр основания: $P = 3 \cdot 4 = 12$ см
- Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 12 \cdot 7 = \mathbf{84}$ см²
Задача 4: Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания $a = 6$ см и высотой $h = 4$ см.
- Площадь основания: $S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$ см²
- Объём: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \mathbf{48}$ см³
Задача 5: Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 4 и 12 см.
- $d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$ см
Уровень 3 — Продвинутый (10–11 класс / ЕГЭ): задачи 6–7
Задача 6 (ЕГЭ-формат): Правильная четырёхугольная пирамида вписана в куб со стороной 2 так, что основание пирамиды совпадает с основанием куба, а вершина — с центром верхней грани. Найдите отношение объёмов пирамиды и куба.
- $V_{\text{куба}} = 2^3 = 8$
- $S_{\text{осн}} = 4$, $h = 2$
- $V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \dfrac{8}{3}$
- Отношение: $\dfrac{V_{\text{пир}}}{V_{\text{куба}}} = \dfrac{8/3}{8} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$
Задача 7 (вписанная сфера): Найдите радиус вписанной сферы правильного тетраэдра с ребром $a = 6$ см.
- $r = \dfrac{a\sqrt{6}}{12} = \dfrac{6\sqrt{6}}{12} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx \mathbf{1{,}22}$ см
💡 Совет по самопроверке: после решения любой задачи на многогранник — пересчитайте грани, рёбра и вершины фигуры и проверьте формулу Эйлера. Срезание одной вершины $n$-гранника добавляет $n-1$ рёбер и $n-1$ граней, добавляет $n$ вершин и убирает 1. Формула Эйлера должна снова дать 2.
Авторитетные источники для углублённого изучения
📖 Рекомендуемые ресурсы^
1. Wolfram MathWorld — Polyhedron
Исчерпывающая математическая база данных: строгие определения, формулы для всех видов многогранников, интерактивные 3D-модели.
→ mathworld.wolfram.com/Polyhedron.html
2. Encyclopedia Britannica — Polyhedron and Platonic Solids
Академическая энциклопедия с обзором истории изучения многогранников от античности до современности, описание всех пяти платоновых тел.
→ britannica.com/science/polyhedron
FAQ — Ответы на частые вопросы
Чем многогранник отличается от полиэдра?
Это один и тот же объект: «полиэдр» — латинское название (poly- = много, -hedron = грань), «многогранник» — его точный русский перевод. В школьных учебниках и на ЕГЭ используется термин «многогранник», в научной литературе оба термина равнозначны.
Является ли шар многогранником?
Нет. Шар — тело вращения с непрерывно криволинейной поверхностью. Многогранник по определению ограничен исключительно плоскими многоугольными гранями. У шара нет ни одной плоской грани, ни рёбер, ни вершин в геометрическом смысле.
Чем призма отличается от параллелепипеда?
Параллелепипед — частный случай призмы, у которого оба основания являются параллелограммами (а не произвольными многоугольниками). Прямоугольный параллелепипед (все грани — прямоугольники) является частным случаем параллелепипеда. Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда с равными рёбрами.
Как быстро запомнить формулу Эйлера?
Мнемоника: «Восемь минус двенадцать плюс шесть» — проверьте на кубе прямо сейчас: $8 − 12 + 6 = 2$. Запомнили куб — запомнили формулу. Для любого нового многогранника просто пересчитайте его элементы и убедитесь, что сумма равна 2. Это занимает менее минуты и гарантирует отсутствие ошибок в подсчёте структуры фигуры.
Какие многогранники встречаются в задачах ЕГЭ чаще всего?
По статистике разбора вариантов: прямая правильная призма (треугольная и шестиугольная), правильная пирамида (четырёхугольная и треугольная), комбинированные фигуры (пирамида вписана в призму или куб). В задании №14 профильного ЕГЭ-2026 особое внимание уделяется построению сечений с аксиоматическим обоснованием каждого шага.
Что такое архимедовы тела и чем они отличаются от платоновых?
Платоновы тела: все грани — одинаковые правильные многоугольники одного вида (например, все — квадраты или все — треугольники). Таких тел 5.
Архимедовы тела: грани — правильные многоугольники двух или более видов (например, треугольники и квадраты), но все вершины конгруэнтны — каждую вершину окружает одинаковый набор граней. Таких тел 13. Их получают усечением платоновых тел или другими симметричными преобразованиями.
Как найти площадь поверхности многогранника, если он неправильный?
Общий метод: разбейте поверхность на отдельные многоугольники (грани), найдите площадь каждой грани по соответствующей формуле (треугольник, прямоугольник, трапеция и т.д.), затем сложите все площади. Для неправильных фигур нет единой формулы — только поэлементный расчёт.
Определение выпуклого многогранника через секущие плоскости — как это работает?
Формальное определение: многогранник выпуклый, если он целиком содержится в каждом из полупространств, образуемых любой плоскостью его граней. Практически: возьмите любую грань и «продолжите» её до бесконечной плоскости — весь многогранник должен оказаться по одну сторону от этой плоскости. Если хоть для одной грани это условие нарушается, многогранник невыпуклый.
Зачем нужны развёртки и где они применяются?
Развёртки используются в трёх практических контекстах. В производстве — коробки, упаковки, вентиляционные короба создаются из развёрток. В математике — площадь развёртки равна полной площади поверхности тела, что упрощает её вычисление. В задачах на кратчайший путь — путь по поверхности многогранника превращается в прямую линию на развёртке, и его длина находится по теореме Пифагора.
Как использовать симметрию для упрощения задач?
Если многогранник имеет плоскость симметрии, содержащую заданные точки, задача сводится к планиметрической: достаточно работать в этом плоском сечении. Например, в правильной пирамиде плоскость симметрии, проходящая через вершину и середину стороны основания, содержит высоту, апофему и ось — три ключевых элемента для большинства задач.
💡 Совет эксперта
«Самая распространённая ошибка при подготовке к ЕГЭ по стереометрии — пропуск этапа обоснования. Ученик строит сечение верно, получает правильный ответ, но записывает только числовой результат без пояснения, через какие аксиомы и теоремы он провёл каждую прямую. В 2026 году такая работа даст 0 баллов за пункт "а". Отрабатывайте запись обоснований с первых задач на сечения — это навык, который формируется только многократной практикой»
Даже если уверены в своих знаниях, помните: перед ЕГЭ практики не бывает мало. Если отточить навык решения задач, это может сохранить вам баллы. Попробуйте Тренажёр ЕГЭ — сборник заданий экзамена по математике с автопроверкой ответов. Это бесплатно!
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
