Призма — определение и виды призм
Для кого эта статья:
- Школьники 5–11 классов, изучающие стереометрию и геометрические фигуры.
- Родители школьников, помогающие детям с домашними заданиями по математике.
- Учителя и репетиторы математики, готовящие учебные материалы.
- Школьники, целенаправленно готовящиеся к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Ключевые выводы статьи:
- Призма — многогранник с двумя параллельными конгруэнтными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами; объём всегда вычисляется по формуле $V = S \cdot h$, где $h$ — именно высота, а не боковое ребро.
- Различать прямую и наклонную призму критически важно: в наклонной призме $h \neq l$, и подмена этих понятий — самая частая ошибка на ЕГЭ.
- Правильная призма обязательно является прямой, но не наоборот: это иерархия, которую нужно держать в голове при классификации задач.
- Кодификатор ФИПИ на 2026 год не вносит изменений в раздел «Стереометрия. Многогранники»: все формулы, определения и виды призм остаются прежними — изученное сегодня актуально на экзамене.
Призма — один из ключевых разделов стереометрии, и понимание её видов напрямую влияет на результат экзамена. Если вы хотите разобраться в теме глубже и получить высший балл на экзамене, узнайте как подготовиться к ЕГЭ по математике, в нашем руководстве — там собраны структурированные планы, разборы типовых задач и проверенные стратегии, которые реально повышают балл.
Что такое призма
Призма — это выпуклый многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой.
Эти два одинаковых многоугольника называют основаниями призмы. Остальные её стороны, которые представляют собой параллелограммы, — боковые грани. Грани этих сторон — это рёбра призмы, они бывают боковыми и рёбрами основания. Места их пересечения друг с другом называются вершинами.
Элементы призмы
Незнание терминов — причина №1 ошибок при решении задач. Запомните таблицу ниже до автоматизма.
| Элемент | Что это | Обозначение |
|---|---|---|
| Основание | Две параллельные конгруэнтные грани-многоугольники | $S_{\text{осн}}$ |
| Рёбра основания | Стороны многоугольника-основания (нижнего и верхнего). У $n$-угольной призмы таких рёбер $2n$ | $a, b, c\ldots$ |
| Боковое ребро | Ребро, соединяющее соответствующие вершины двух оснований. У $n$-угольной призмы таких рёбер $n$ | $l$ |
| Высота | Перпендикуляр между плоскостями оснований | $h$ |
| Боковая грань | Параллелограмм, соединяющий рёбра оснований | — |
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Образует диагональное сечение | — |
| Апофема | Высота боковой грани правильной призмы (перпендикуляр из середины ребра основания) | $a$ |
| Диагональ призмы | Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани | $d$ |
⚠️ Важно: У прямой призмы высота равна боковому ребру ($h = l$). У наклонной призмы высота всегда меньше бокового ребра ($h < l$). Путаница здесь — прямой путь к неверному ответу в задаче.
⚠️ Считаем рёбра правильно: В $n$-угольной призме всего $3n$ рёбер: $2n$ рёбер оснований (по $n$ в каждом основании) + $n$ боковых рёбер. Например, в треугольной призме: 6 рёбер оснований + 3 боковых = 9 рёбер.
Виды призм и их свойства
В основаниях призмы могут лежать разные многоугольники: треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. д. В зависимости от этого меняется и вид призмы — она может быть треугольной, четырёхугольной и т. д.
Запомните: боковые рёбра любой призмы равны и параллельны друг другу.
Прямые и наклонные призмы
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости её основания, такую фигуру называют прямой призмой.
У такой призмы боковые грани — это прямые четырёхугольники, т. е. прямоугольники и квадраты. Их грани перпендикулярны основаниям призмы, соответственно, угол между её рёбрами и плоскостью основания равен 90°.
Перпендикулярная прямая, проведённая из любой точки одного основания призмы к плоскости другого, называется её высотой. У прямых призм высота совпадает с боковым ребром, т. к. они равны.
Во всех остальных случаях призма считается наклонной. Её боковые грани — это параллелограммы общего вида, т. к. рёбра и основания призмы образуют углы более или менее 90°. При этом высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
🚫 Частая ошибка: В наклонной призме высота $h \neq$ боковому ребру $l$. Высота — это перпендикуляр между основаниями, а не длина наклонного ребра. Подмена $h$ на $l$ при вычислении объёма даёт неверный результат.
Правильные и неправильные призмы
Если основания призмы — это правильные многоугольники, её тоже называют правильной.
Все диагонали, т. е. отрезки, которые соединяют две не принадлежащие одной грани вершины, равны. При этом они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр фигуры, который делит её диагонали пополам.
Все боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. Правильная призма обладает центром симметрии (при чётном $n$), плоскостями симметрии и осью симметрии. Примеры из жизни: карандаш (правильная шестиугольная призма), пчелиные соты (правильные шестиугольные призмы).
✅ Ключевой вывод: Правильная призма всегда является прямой. Но прямая призма не всегда является правильной — если основание не правильный многоугольник, призма прямая, но не правильная.
Неправильная призма — любая призма, основание которой не является правильным многоугольником, либо сама призма является наклонной. Формулы объёма те же, но вычисление площади основания сложнее (формула Герона и другие методы).
Специальные виды призм
| Фигура | Определение | Особенность |
|---|---|---|
| Параллелепипед | Призма с основанием-параллелограммом | Все 6 граней — параллелограммы |
| Прямой параллелепипед | Параллелепипед с рёбрами ⊥ основанию | Боковые грани — прямоугольники |
| Прямоугольный параллелепипед | Прямой параллелепипед с прямоугольным основанием | Все грани — прямоугольники. Пример: холодильник |
| Куб | Прямоугольный параллелепипед с квадратными гранями | Все рёбра равны. Частный случай правильной четырёхугольной призмы |
💡 Совет эксперта: На ЕГЭ и ОГЭ задачи на параллелепипед и куб — это задачи на призму. Не воспринимайте их как отдельную тему: куб есть правильная четырёхугольная прямая призма, и к нему применимы все формулы призмы. Это позволяет решать задачи через единый алгоритм, не запоминая отдельные формулы для куба.
Сечения призмы: виды и применение в задачах ЕГЭ/ОГЭ
| Вид сечения | Что это | Форма сечения | Где встречается на экзамене |
|---|---|---|---|
| Диагональное | Проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (через диагональную плоскость) | Параллелограмм (или прямоугольник у прямой призмы) | Нахождение площади диагонального сечения |
| Перпендикулярное (ортогональное) | Перпендикулярно всем боковым рёбрам | Многоугольник (конгруэнтный основанию у прямой призмы) | Объём наклонной призмы ($V = S_{\perp} \cdot l$) |
| Через вершину, перпендикулярно ребру | Проходит через вершину основания и перпендикулярно ребру основания | Треугольник | Нахождение вспомогательного отрезка при вычислении объёма |
| Через вершину, параллельно ребру | Проходит через вершину одного основания параллельно боковому ребру | Трапеция (при непараллельных сторонах) | Задачи на разбиение фигуры на части |
| Наклонное (произвольное) | Не параллельно основаниям и не перпендикулярно рёбрам | Многоугольник произвольной формы | Задачи на вычисление площади произвольного сечения |
✅ Правило: Перпендикулярное сечение прямой призмы конгруэнтно её основанию. Это свойство используется для вычисления объёма наклонной призмы: $V = S_{\perp} \cdot l$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро.
✅ Диагональная плоскость: Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не принадлежащих одной боковой грани, называется диагональной плоскостью. Она образует диагональное сечение, форма которого — всегда параллелограмм (прямоугольник у прямой призмы). Диагональная плоскость в прямоугольном параллелепипеде содержит большую диагональ тела.
Усечённая призма
Усечённая призма — это часть призмы, отсечённая плоскостью, не параллельной основанию. В отличие от обычной призмы, её боковые рёбра имеют разную длину.
Объём усечённой треугольной призмы:
$V = S_{\text{осн}} \cdot \dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3}$где $l_1, l_2, l_3$ — длины трёх боковых рёбер
Боковые рёбра усечённой призмы остаются параллельными (в отличие от усечённой пирамиды). Для многоугольной усечённой призмы объём вычисляется как среднее арифметическое длин всех боковых рёбер, умноженное на площадь перпендикулярного сечения.
Как начертить призму
- Нарисуйте основание (многоугольник) — нижнее. Для наглядности основание изображают в виде сжатого (наклонного) многоугольника, чтобы передать перспективу.
- Из каждой вершины нижнего основания проведите вертикальные отрезки одинаковой длины (боковые рёбра). Для наклонной призмы — отрезки под нужным углом.
- Соедините верхние концы отрезков, повторив форму нижнего основания — получится верхнее основание.
- Скрытые рёбра (невидимые с данной точки зрения) изображайте пунктиром.
- Обозначьте вершины буквами (нижние $A, B, C\ldots$, верхние $A_1, B_1, C_1\ldots$) и проставьте размеры.
💡 Совет: На ЕГЭ чертёж призмы не оценивается отдельно, но правильный чертёж помогает визуализировать задачу, не ошибиться в обозначениях и найти нужные отрезки и углы. Всегда делайте схематичный чертёж перед решением стереометрической задачи.
Призма: основные формулы
В таблице ниже — все формулы, которые помогут решать задачи с разными видами призм.
| Призма: все формулы | |
|---|---|
| Объём призмы через площадь основания и высоту | $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ |
| Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра | $V = S_{\text{п}} \cdot L$ |
| Объём правильной прямой призмы через высоту ($h$), длину стороны ($a$) и количество сторон ($n$) | $V = \dfrac{n}{4}ha^{2}\ctg\dfrac{\pi}{n}$ |
| Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту | $S_{b} = Ph$ |
| Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту | $S = 2S_{\text{осн}} + Ph$ |
| Площадь поверхности правильной призмы через высоту ($h$), длину стороны ($a$) и количество сторон ($n$) | $S = \dfrac{n}{2}a^{2}\ctg\dfrac{\pi}{n}+nah$ |
Задачи для практики
Задача 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота призмы равна 10 см. Найдите объём призмы.
Площадь основания (прямоугольный треугольник): $S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см²
Объём: $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 10 = \mathbf{240}$ см³
Задача 2. Правильная шестиугольная призма имеет сторону основания $a = 4$ см и высоту $h = 7$ см. Найдите площадь полной поверхности.
Площадь правильного шестиугольника: $S_{\text{осн}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}$ см²
Периметр основания: $P = 6 \cdot 4 = 24$ см
Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24 \cdot 7 = 168$ см²
Полная площадь: $S = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 168 = 48\sqrt{3} + 168 \approx \mathbf{251{,}1}$ см²
Задача 3. Прямоугольный параллелепипед имеет рёбра $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$ см. Найдите длину его диагонали.
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$ см
=Задача 4. Площадь перпендикулярного сечения наклонной треугольной призмы равна 15 см², а боковое ребро равно 9 см. Найдите объём призмы.
$V = S_{\perp} \cdot l = 15 \cdot 9 = \mathbf{135}$ см³
Задача 5. Сколько граней, рёбер и вершин у правильной восьмиугольной призмы?
$n = 8$
- Граней: $n + 2 = 10$
- Рёбер: $3n = 24$
- Вершин: $2n = 16$
- Проверка по Эйлеру: $16 - 24 + 10 = 2$ ✓
Также советуем не заучивать формулы и определения, а разобраться, как они работают. И самое главное — после этого закрепить знания на практике. Подготовиться к заданиям с призмами, которые ждут вас на экзамене, можно в бесплатном Тренажёре ЕГЭ. Там найдутся тренировочные материалы по этой и другим темам в стереометрии.
Часто задаваемые вопросы
Чем прямая призма отличается от наклонной?
В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям ($h = l$), боковые грани — прямоугольники. В наклонной призме рёбра не перпендикулярны основаниям, боковые грани — параллелограммы общего вида, а высота строго меньше бокового ребра ($h < l$). Это различие критически важно при вычислении объёма: всегда используйте $h$, а не $l$.
Является ли куб призмой?
Да. Куб — это частный случай прямой правильной четырёхугольной призмы, у которой все рёбра равны. Иерархия: Куб → Прямоугольный параллелепипед → Прямой параллелепипед → Параллелепипед → Призма.
Как найти объём призмы?
Универсальная формула: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота (перпендикуляр между основаниями). Для наклонной призмы можно использовать $V = S_{\perp} \cdot l$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро. Не подставляйте боковое ребро вместо высоты в наклонной призме.
Как найти высоту наклонной призмы?
Трёхшаговый алгоритм: 1) Определите угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания. 2) Вычислите $h = l \cdot \sin\alpha$, где $l$ — длина бокового ребра. 3) Проверьте: $h$ должна быть строго меньше $l$. Если высота не задана явно, ищите перпендикулярное сечение и применяйте формулу $V = S_{\perp} \cdot l$.
Как вычислить площадь полной поверхности призмы?
$S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$. Для прямой призмы: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$. Для наклонной: $S_{\text{бок}} = P_{\perp} \cdot l$. Площадь основания $S_{\text{осн}}$ вычисляется в зависимости от формы: для треугольника — по формуле Герона или $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, для правильного многоугольника — через апофему и периметр.
Сколько граней, рёбер и вершин у призмы с $n$-угольным основанием?
Граней $= n + 2$ ($n$ боковых + 2 основания). Рёбер $= 3n$ ($n$ рёбер каждого основания + $n$ боковых рёбер). Вершин $= 2n$. Проверка по формуле Эйлера: $B - R + G = 2 \Rightarrow 2n - 3n + (n+2) = 2$ ✓
Что такое диагональная плоскость призмы?
Диагональная плоскость — это плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани. Она образует диагональное сечение, форма которого — параллелограмм (в прямой призме — прямоугольник). В прямоугольном параллелепипеде диагональная плоскость содержит диагональ всего тела.
Как построить перпендикулярное сечение наклонной призмы?
Перпендикулярное сечение строится плоскостью, перпендикулярной всем боковым рёбрам. Алгоритм: 1) Выберите точку на боковом ребре. 2) Проведите из неё перпендикуляр к боковому ребру. 3) Повторите для каждого бокового ребра — все перпендикуляры лежат в одной плоскости, которая и является перпендикулярным сечением.
Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда?
По формуле пространственной теоремы Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — длины трёх рёбер (измерений) параллелепипеда. Для куба со стороной $a$: $d = a\sqrt{3}$. Не путайте диагональ тела с диагональю грани: диагональ грани равна $\sqrt{a^2 + b^2}$ — в ней только два слагаемых.
Что такое усечённая призма и чем она отличается от обычной?
Усечённая призма — часть призмы, отсечённая плоскостью, не параллельной основанию. В отличие от обычной призмы, её боковые рёбра имеют разную длину. Объём усечённой треугольной призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot \dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3}$. Боковые рёбра усечённой призмы остаются параллельными (в отличие от усечённой пирамиды).
Почему стеклянная призма разлагает белый свет в спектр?
Показатель преломления стекла зависит от длины волны света (дисперсия). При преломлении на наклонной грани призмы фиолетовый свет (короткие волны) отклоняется сильнее, красный (длинные волны) — слабее. В результате белый свет разлагается в радужный спектр — от фиолетового до красного. Это явление называется дисперсией света и впервые систематически исследовано Исааком Ньютоном в 1666 году.
Какие многоугольники могут лежать в основании призмы?
Любой многоугольник: треугольник, четырёхугольник (в том числе прямоугольник, квадрат, параллелограмм), пятиугольник, шестиугольник и т. д. вплоть до $n$-угольника при любом натуральном $n \geq 3$. Для правильной призмы основание должно быть именно правильным многоугольником.
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
