Круглые тела — определение, виды и формулы
Для кого эта статья:
- студенты, изучающие геометрию
- учителя математики и репетиторы
- школьники, готовящиеся к экзаменам — ОГЭ и ЕГЭ
- ученики российских школ, изучающих стереометрию в 9–11 классах
- родители учеников, желающих разобраться в теме и помочь ребёнку с подготовкой
Ключевые практические выводы из статьи:
- Все четыре основных круглых тела — цилиндр, конус, шар и тор — получаются вращением плоской фигуры вокруг оси; понимание этого механизма позволяет вывести любую формулу самостоятельно, не заучивая наизусть.
- Самая частая ошибка в задачах на конус — подстановка высоты $h$ вместо образующей $l$ в формулу боковой поверхности; образующую всегда нужно считать через теорему Пифагора: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
- Шар и сфера — разные понятия: сфера — это оболочка (поверхность), шар — тело; объём вычисляется для шара, площадь поверхности — для сферы.
- Начиная с 2026 года справочные материалы КИМ по математике базового уровня включают расширенную таблицу формул объёмов и площадей поверхностей круглых тел — их больше не нужно заучивать наизусть.
Если вы хотите не просто разобраться с формулами, но и выстроить полноценную систему подготовки к экзамену — ознакомьтесь со стратегиями успешной подготовки к ЕГЭ по математике: там собраны проверенные методики, разбор типовых ошибок и план работы от нуля до высокого балла.
Что такое круглые тела
Круглые тела (тела вращения) — это геометрические тела, которые образованы через вращение плоской фигуры вокруг её стороны или диаметра.
Конус, цилиндр и шар относятся к таким телам.
💡 Совет эксперта: главный способ не запутаться в формулах — всегда восстанавливать в уме, какая плоская фигура и вокруг какой оси вращается. Прямоугольник → цилиндр, прямоугольный треугольник → конус, полуокружность → шар. Это «якорь», от которого легко вывести любую формулу заново, даже если забыл её на экзамене.
Цилиндр и его свойства
Цилиндр — это тело вращения, которое получается вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон.
Прямая, которая содержит эту сторону, находится в центре цилиндра и называется осью вращения. Во время вращения перпендикулярные оси стороны прямоугольника образуют два одинаковых круга — сверху и снизу фигуры. Их называют основаниями цилиндра.
Также из параллельной оси вращения стороны образуется цилиндрическая или боковая поверхность. Отрезки, из которых она составлена, называются образующими.
Элементы цилиндра:
- $r$ — радиус основания
- $h$ — высота (расстояние между основаниями)
- $l = h$ — образующая (для прямого цилиндра)
Цилиндр, в основании которого лежит круг, называется круговым.
Но есть и другие — например, эллиптические, в основаниях которых лежат эллипсы. Также существуют параболические и гиперболические цилиндры.
Если образующие цилиндра перпендикулярны плоскости его основания, его называют прямым. В остальных случаях — наклонным.
При этом основания прямого и наклонного цилиндров лежат в параллельных плоскостях. Если всё иначе, цилиндр называют косым.
При решении задач может быть полезно сделать развёртку цилиндра. Для этого нужно представить, что вы отделяете от фигуры основания, а в боковой поверхности делаете надрез по образующей так, чтобы она превратилась в прямоугольник.
Сечения цилиндра
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который образован в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через её ось.
Если секущая плоскость проходит не по оси цилиндра, но при этом перпендикулярна его основаниям, то сечение — также прямоугольник.
В случае когда секущая плоскость параллельна основаниям цилиндра, само сечение — это идентичный его основаниям круг. Если же цилиндр пересекает плоскость, которая не параллельна его основаниям и не касается ни одной из них, то сечение — эллипс. Если секущая плоскость пересекает одно из оснований цилиндра, получится парабола или гипербола.
| Положение секущей плоскости | Фигура сечения | Примечания |
|---|---|---|
| Параллельно основаниям (перпендикулярно оси) | Круг радиуса $r$ | Все такие сечения конгруэнтны основаниям |
| Через ось (осевое сечение) | Прямоугольник | Размеры: $2r \times h$; является наибольшим прямоугольным сечением |
| Под углом (не параллельно и не через ось) | Эллипс | Полуоси эллипса зависят от угла наклона; при угле 90° — круг |
| Параллельно оси (не через ось) | Прямоугольник | Меньший по ширине, чем осевое сечение |
Формулы цилиндра
| Цилиндр: все основные формулы | |
|---|---|
| Объём цилиндра через $r$ — радиус основания, $h$ — высоту, $d$ — диаметр основания | $$V = \pi R^{2} h = \pi \dfrac{d^2}{4} h$$ |
| Площадь боковой поверхности цилиндра | $$S_b = 2\pi R h$$ |
| Площадь основания цилиндра | $$S_o = \pi R^2$$ |
| Площадь полной поверхности цилиндра | $$S = 2\pi R(h + R)$$ |
Пример решения задачи на цилиндр
Задача: Радиус цилиндра $r = 5$ см, высота $h = 10$ см. Найдите объём и полную площадь поверхности.
- Объём: $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi \approx$ 785,4 см³
- Полная поверхность: $S = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 10) = 150\pi \approx$ 471,2 см²
- Проверка размерности: $V / S = 785{,}4 / 471{,}2 \approx 1{,}67$ см — результат имеет единицы длины (объём / площадь = длина), что корректно. ✅
Конус и его свойства
Конус — это тело вращения, которое получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Прямая, которая содержит этот катет, называется осью конуса. При вращении катета, перпендикулярного оси, образуется круг — основание конуса. Гипотенуза при этом формирует коническую или боковую поверхность. Отрезки, из которых она состоит, называются образующими. Вершина вращаемого треугольника также является вершиной конуса.
Элементы конуса:
- $r$ — радиус основания
- $h$ — высота конуса
- $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ — образующая (апофема)
Если перпендикуляр, опущенный из вершины конуса к его основанию, т. е. высота фигуры совпадает с центром этого основания, конус называют прямым. В противном случае — наклонным.
Все образующие прямого конуса равны между собой, а его ось вращения совпадает с высотой. В случае с наклонным, чем дальше образующая от опущенной из вершины высоты, тем она длиннее.
Как и в случае с цилиндром, чтобы решить некоторые задания с конусом, нужно будет сделать его развёртку. Для этого представим, что боковую поверхность разрезали по образующей и развернули. Если добавить к полученной области круг основания, то получится развёртка конуса.
Развёртка боковой поверхности конуса
При «разворачивании» боковой поверхности конуса на плоскость получается круговой сектор с радиусом, равным образующей $l$, и длиной дуги $2\pi r$ (длина окружности основания). Угол этого сектора вычисляется по формуле:
Эта формула важна при решении задач на изготовление конических поверхностей (колпаки, воронки, кровля башен): зная $r$ и $l$, можно точно рассчитать форму заготовки из листового материала.
Сечения конуса
Осевое сечение конуса — это треугольник, который образован в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через её ось. Если конус пересекает плоскость, проходящая через его вершину не по оси вращения, сечение также будет треугольником.
Если секущая плоскость проходит через конус параллельно его основанию, сечение будет кругом. Тогда образуется усечённый конус — его часть, которая находится между основанием конуса и параллельной ему плоскостью сечения.
Элементы усечённого конуса:
- $R$ — радиус большего основания
- $r$ — радиус меньшего основания
- $h$ — высота (расстояние между плоскостями оснований)
- $l$ — образующая: $l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$
Развёртка усечённого конуса
Боковая поверхность усечённого конуса при развёртке на плоскость превращается в кольцевой сектор (разность двух концентрических круговых секторов). Внешний радиус сектора равен образующей большего конуса, внутренний — образующей меньшего. Это важно для расчётов при изготовлении усечённо-конических изделий из листового материала.
Пример решения задачи на усечённый конус
Задача: Ведро в форме усечённого конуса имеет высоту $h = 30$ см, радиус дна $R = 15$ см, радиус верхнего края $r = 20$ см. Найдите объём ведра и площадь боковой поверхности.
- Образующая: $l = \sqrt{(20 - 15)^2 + 30^2} = \sqrt{25 + 900} = \sqrt{925} \approx$ 30,4 см
- Объём: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 30 \cdot (225 + 300 + 400) = 10\pi \cdot 925 = 9250\pi \approx$ 29 061 см³ ≈ 29,1 л
- Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 30{,}4 \cdot (15 + 20) \approx 1064\pi \approx$ 3342 см²
⚠️ Частая ошибка при работе с усечённым конусом: в формуле объёма $V = \dfrac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ забывают средний член $Rr$, превращая формулу в «сумму объёмов двух конусов» — это принципиально неверно. Запомните: три слагаемых в скобках — это не «три отдельных конуса», а результат раскрытия куба разности объёмов.
Если же плоскость проходит через конус не параллельно его основанию, тогда сечение может быть эллипсом, параболой или гиперболой — в зависимости от того, пересекает ли она основание фигуры.
Конические сечения — это кривые, получаемые при пересечении прямого кругового конуса (с обеими полостями) плоскостью. Это одна из фундаментальных тем аналитической геометрии; в задачах ЕГЭ профильного уровня встречаются как отдельные задачи, так и вспомогательные построения в стереометрических задачах.
| Положение секущей плоскости | Фигура сечения | Условие |
|---|---|---|
| Перпендикулярно оси (параллельно основанию) | Круг | Плоскость не проходит через вершину |
| Под небольшим углом к оси (пересекает только одну полость) | Эллипс | Угол между плоскостью и осью больше полуугла при вершине конуса |
| Параллельно образующей (или под специальным углом) | Парабола | Плоскость параллельна ровно одной образующей конуса |
| Пересекает обе полости конуса | Гипербола | Плоскость не параллельна ни одной образующей и пересекает обе части конуса |
| Через вершину параллельно основанию | Точка (вершина) | Вырожденный случай |
| Через вершину под углом к оси | Пара пересекающихся прямых | Вырожденный случай — две образующие |
| Осевое сечение (через ось) | Равнобедренный треугольник | Основание $= 2r$, боковые стороны $= l$ |
Почему конические сечения важны в реальном мире: орбиты планет — эллипсы (закон Кеплера); траектория брошенного тела в поле тяготения — парабола; форма антенн-тарелок и рефлекторов прожекторов — параболоид вращения; гиперболические орбиты используются для гравитационных манёвров космических аппаратов (Voyager, New Horizons). Все эти кривые — частные случаи конических сечений.
Формулы конуса
| Конус: все основные формулы | |
|---|---|
| Объём кругового конуса через $R$ — радиус основания и $h$ — высоту | $$V = \dfrac{1}{3} \pi h R^2$$ |
| Площадь боковой поверхности через $R$ — радиус основания и $l$ — длину образующей | $$S_{\text{бок}} = \pi R l$$ |
| Площадь полной поверхности | $$S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2$$ |
| Объём любого конуса | $$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$$ |
| Объём усечённого конуса, где $S_1$ и $S_2$ — площади меньшей и большей основы, а $H$ и $h$ — расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы | $$V = \dfrac{1}{3}(S_2 H - S_1 h)$$ |
Пример решения задачи на конус
Задача: $r = 3$ см, $h = 4$ см. Найдите объём и полную поверхность конуса, а также угол развёртки боковой поверхности.
- Образующая: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} =$ 5 см
- Объём: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx$ 37,7 см³
- Полная поверхность: $S = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi \approx$ 75,4 см²
- Угол развёртки: $\alpha = \dfrac{3}{5} \cdot 360° =$ 216°
⚠️ Частая ошибка: в формулу боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi r l$ подставляют высоту $h$ вместо образующей $l$. Это одна из самых распространённых ошибок в задачах ЕГЭ. Всегда вычисляйте $l$ через теорему Пифагора до подстановки в формулу!
Шар и его свойства
Шар — это тело вращения, которое получается вращением полукруга вокруг своего диаметра.
У шара нет ни основания, ни вершин. Только центр — точка, равноудалённая от всех точек на поверхности фигуры, и сама поверхность — сфера.
Шар и сфера: в чём разница
Сфера — это замкнутая поверхность, являющаяся геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от центра на расстояние $r$ (радиус). По сути — это оболочка, «скорлупа». Сфера получается вращением полуокружности вокруг диаметра.
Шар же — это тело, ограниченное сферой: всё пространство внутри сферы вместе с самой поверхностью. Объём вычисляется для шара; площадь поверхности — для сферы.
Элементы шара и сферы:
- $r$ — радиус
- $d = 2r$ — диаметр
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки сферы
- Касательная плоскость — плоскость, имеющая с сферой единственную общую точку
Осевое сечение шара — это круг, который образован в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через её ось.
При этом даже если пересекающая фигуру плоскость не будет проходить через её ось, сечение всё равно будет кругом. Таково одно из свойств шара.
Любое сечение шара плоскостью — всегда круг. Радиус этого круга зависит от расстояния $d$ от центра шара до секущей плоскости: $a = \sqrt{R^2 - d^2}$. Наибольшее сечение ($d = 0$) — большой круг с радиусом $R$.
Формулы шара и сферы
| Шар: все основные формулы | |
|---|---|
| Объём шара через радиус | $$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$$ |
| Объём шара через диаметр | $$V = \dfrac{1}{6} \pi d^3$$ |
| Площадь поверхности шара (сферы) через радиус | $$S = 4\pi R^2$$ |
| Площадь поверхности шара (сферы) через диаметр | $$S = \pi d^2$$ |
| Объём полушара | $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ |
| Полная поверхность полушара | $S = 3\pi r^2$ |
Пример решения задачи на шар
Задача: Диаметр шара $d = 6$ см. Найдите объём и площадь поверхности.
- $r = d / 2 =$ 3 см
- Объём: $V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi \approx$ 113,1 см³
- Площадь сферы: $S = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 36\pi \approx$ 113,1 см²
💡 Интересный факт: при $r = 3$ числовые значения объёма шара (в см³) и площади его поверхности (в см²) совпадают — оба равны $36\pi$. Это математическое совпадение, не физический закон, но отличный способ проверить вычисления в задаче с $r = 3$.
Древнегреческий математик Архимед (287–212 до н.э.) доказал, что объём шара, вписанного в цилиндр, составляет ровно ⅔ объёма этого цилиндра. Иными словами, отношение объёмов цилиндра и вписанного шара равно 3 : 2. Это открытие так восхищало самого Архимеда, что он завещал изобразить на своей могиле цилиндр со вписанным шаром. По той же логике: площадь сферы составляет ровно ⅔ полной поверхности описанного цилиндра. Обе эти связи напрямую используются в задачах ЕГЭ на комбинации тел.
Части шара: сегмент, сектор, слой
Эти тела регулярно встречаются в задачах профильного ЕГЭ и олимпиадах. Разберём каждый случай подробно.
Шаровой сегмент
Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая секущей плоскостью.
Параметры: $R$ — радиус шара, $h$ — высота сегмента (расстояние от плоскости сечения до ближайшей точки шара), $a$ — радиус основания сегмента (круга в плоскости сечения).
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём | $V = \dfrac{\pi h^2(3R - h)}{3}$ |
| Площадь сферической части | $S_{\text{сф}} = 2\pi R h$ |
| Полная поверхность | $S = \pi(2Rh + a^2)$ |
| Связь параметров | $a^2 = h(2R - h)$ |
Шаровой сектор
Шаровой сектор — часть шара, образованная конусом с вершиной в центре шара и основанием в виде шарового сегмента.
Параметры: $R$ — радиус шара, $h$ — высота сегмента, $a$ — радиус основания сегмента.
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём | $V = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h$ |
| Полная поверхность | $S = \pi R(2h + a)$ |
Шаровой слой
Шаровой слой — часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
Параметры: $h$ — высота слоя, $a$ и $b$ — радиусы двух оснований, $R$ — радиус шара.
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём | $V = \dfrac{\pi h(3a^2 + 3b^2 + h^2)}{6}$ |
| Площадь сферической части | $S_{\text{сф}} = 2\pi R h$ |
Пример: задача на шаровой сегмент
Задача: Шар радиусом $R = 10$ см. Плоскость отсекает сегмент высотой $h = 4$ см. Найдите объём сегмента.
$V = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot (3 \cdot 10 - 4)}{3} = \dfrac{\pi \cdot 16 \cdot 26}{3} = \dfrac{416\pi}{3} \approx$ 435,6 см³
Тор (кольцо)
Тор — тело вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не пересекающей её. Результат — тороидальная поверхность, форма которой напоминает бублик, шину или уплотнительное кольцо (O-ring).
Объём и площадь поверхности тора вычисляются с помощью теоремы Паппа–Гюльдена: объём тела вращения равен произведению площади фигуры на длину пути, пройденного её центроидом; площадь поверхности — произведению длины образующей кривой на тот же путь.
Элементы тора:
- $R$ — расстояние от оси вращения до центра окружности (трубки)
- $r$ — радиус трубки (образующей окружности)
- Внешний радиус тора: $R_{\text{внеш}} = R + r$
- Внутренний радиус тора: $R_{\text{внутр}} = R - r$
Формулы тора
| Величина | Формула | Единицы |
|---|---|---|
| Объём | $V = 2\pi^2 R r^2$ | м³, см³ |
| Площадь поверхности | $S = 4\pi^2 R r$ | м², см² |
Пример решения задачи на тор
Задача: $R = 10$ см, $r = 3$ см. Найдите объём и площадь поверхности тора.
- Объём: $V = 2 \cdot \pi^2 \cdot 10 \cdot 9 = 180\pi^2 \approx$ 1776,5 см³
- Площадь: $S = 4 \cdot \pi^2 \cdot 10 \cdot 3 = 120\pi^2 \approx$ 1184,4 см²
Комбинации круглых тел и многогранников
Задачи на комбинации тел — наиболее часто встречающийся тип в части 2 профильного ЕГЭ (задание №14) и в олимпиадных задачах. Суть: одно тело вписано в другое или описано вокруг него, и требуется найти соотношение их характеристик. Знание ключевых формул связи позволяет решать такие задачи без построения сечений «вручную».
Шар, вписанный в цилиндр (теорема Архимеда)
Шар радиуса $r$ вписан в прямой цилиндр: он касается боковой поверхности и обоих оснований. Условия вписывания задают однозначную связь параметров:
| Соотношение | Формула |
|---|---|
| Радиус цилиндра | $R_{\text{цил}} = r$ |
| Высота цилиндра | $h_{\text{цил}} = 2r$ |
| Отношение объёмов $V_{\text{цил}} / V_{\text{шар}}$ | $= \dfrac{3}{2}$ |
| Отношение площадей $S_{\text{цил (полн)}} / S_{\text{сфера}}$ | $= \dfrac{3}{2}$ |
Архимед первым доказал, что объём шара составляет ровно ⅔ объёма описанного вокруг него цилиндра. Это же отношение 3:2 справедливо и для площадей полных поверхностей. Данный результат был настолько важен для Архимеда, что он считал его своим главным открытием. Сегодня это — стандартное задание профильного ЕГЭ.
Шар, вписанный в конус
Шар радиуса $\rho$ вписан в конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$. Центр вписанного шара лежит на оси конуса. Радиус вписанного шара выражается через параметры конуса:
Вывод формулы: рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и боковыми сторонами $l$. Вписанный в конус шар соответствует вписанной в этот треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности: $\rho = S_{\text{треуг}} / p$, где $p$ — полупериметр треугольника:
| Величина | Формула |
|---|---|
| Радиус вписанного шара | $\rho = \dfrac{rh}{r + l}$ |
| Образующая конуса | $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ |
| Условие вписывания | Шар касается основания и боковой поверхности конуса |
Шар, описанный около конуса
Шар радиуса $R$ описан около конуса: все точки окружности основания и вершина конуса лежат на сфере. Центр описанного шара находится на оси конуса на расстоянии от основания, определяемом из геометрии:
Важный частный случай: если $h \leq R$, центр описанной сферы лежит внутри конуса; если $h = 2R$ — вершина конуса совпадает с полюсом сферы, а основание является большим кругом.
Цилиндр, описанный около шара, и шар в цилиндре: сравнение
| Конфигурация | Связь параметров | Отношение объёмов |
|---|---|---|
| Шар ($r$) вписан в цилиндр | $R_{\text{цил}} = r$, $h_{\text{цил}} = 2r$ | $V_{\text{цил}} / V_{\text{шар}} = \dfrac{3}{2}$ |
| Шар ($R$) описан около цилиндра ($r$, $h$) | $R^2 = r^2 + \dfrac{h^2}{4}$ | Зависит от пропорций цилиндра |
| Шар ($\rho$) вписан в конус ($r$, $h$) | $\rho = \dfrac{rh}{r + l}$ | Зависит от полуугла конуса |
| Шар ($R$) описан около конуса ($r$, $h$) | $R = \dfrac{r^2 + h^2}{2h}$ | Зависит от пропорций конуса |
Пример: задача на комбинацию шара и конуса (уровень ЕГЭ профиль)
Задача: В конус с радиусом основания $r = 3$ см и высотой $h = 4$ см вписан шар. Найдите радиус вписанного шара и отношение объёма шара к объёму конуса.
- Образующая: $l = \sqrt{9 + 16} = 5$ см
- Радиус вписанного шара: $\rho = \dfrac{3 \cdot 4}{3 + 5} = \dfrac{12}{8} =$ 1,5 см
- Объём шара: $V_{\text{ш}} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}5^3 = 4{,}5\pi$ см³
- Объём конуса: $V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ см³
- Отношение: $V_{\text{ш}} / V_{\text{к}} = \dfrac{4{,}5\pi}{12\pi} =$ $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$
Свойства симметрии круглых тел
Симметрия тел вращения — важное свойство, которое используется при поиске сечений, доказательстве равенства отрезков и в задачах на вписанные конфигурации.
- Центр симметрии: центр шара (единственная точка)
- Осей симметрии: бесконечно много (любая прямая через центр)
- Плоскостей симметрии: бесконечно много (любая плоскость через центр — диаметральная)
- Шар обладает максимально возможной симметрией среди всех тел
- Центр симметрии: центр отрезка, соединяющего центры оснований
- Ось симметрии: 1 главная ось (ось вращения) + бесконечно много осей в плоскости, перпендикулярной главной
- Плоскостей симметрии: бесконечно много (все содержащие ось + одна срединная, перпендикулярная оси)
- Центра симметрии: нет
- Ось симметрии: 1 (ось вращения, проходящая через вершину и центр основания)
- Плоскостей симметрии: бесконечно много (любая плоскость, содержащая ось)
- Конус не имеет центра симметрии в отличие от цилиндра и шара
- Центра симметрии: центр тора (точка на оси вращения)
- Ось симметрии: ось вращения (главная) + бесконечно много осей в плоскости тора
- Плоскостей симметрии: плоскость тора (срединная) + бесконечно много, содержащих главную ось
Шпаргалка со всеми формулами в одной таблице
Ниже — сводная таблица формул для всех основных круглых тел.
| Тело | Объём ($V$) | Площадь поверхности ($S$) | Площадь боковой поверхности ($S_{\text{бок}}$) |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | $\pi r^2 h$ | $2\pi r(r + h)$ | $2\pi r h$ |
| Конус | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ | $\pi r(r + l)$ | $\pi r l$ |
| Усечённый конус | $\dfrac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ | $\pi\bigl(R^2 + r^2 + l(R + r)\bigr)$ | $\pi l(R + r)$ |
| Шар | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ | $4\pi r^2$ | — |
| Полушар | $\dfrac{2}{3}\pi r^3$ | $3\pi r^2$ | $2\pi r^2$ |
| Сфера (оболочка) | — | $4\pi r^2$ | — |
| Шаровой сегмент | $\dfrac{\pi h^2(3R - h)}{3}$ | $\pi(2Rh + a^2)$ | — |
| Шаровой сектор | $\dfrac{2}{3}\pi R^2 h$ | $\pi R(2h + a)$ | — |
| Тор | $2\pi^2 R r^2$ | $4\pi^2 R r$ | — |
Разбор типовых задач
Задача 1. Цилиндр вписан в куб
Задача: В куб со стороной $a$ вписан цилиндр (основания цилиндра вписаны в грани куба). Найдите отношение объёма цилиндра к объёму куба.
- Радиус основания цилиндра: $r = \dfrac{a}{2}$
- Высота цилиндра: $h = a$
- Объём цилиндра: $V_{\text{цил}} = \pi \cdot \dfrac{a^2}{4} \cdot a = \dfrac{\pi a^3}{4}$
- Объём куба: $V_{\text{куб}} = a^3$
- Отношение: $\dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{куб}}} = \dfrac{\pi}{4} \approx$ 0,785
Задача 2. Конус описан около шара
Задача: Конус описан около шара радиуса $\rho = 2$ см. Полуугол при вершине конуса равен 30°. Найдите объём конуса.
- Из геометрии осевого сечения: $\sin 30° = \dfrac{\rho}{h - \rho}$, где $h$ — высота конуса.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{h - 2} \Rightarrow h - 2 = 4 \Rightarrow h = 6$ см - Радиус основания конуса: $r = h \cdot \tan 30° = 6 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см
- Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12 \cdot 6 = 24\pi \approx$ 75,4 см³
Задача 3. Площадь осевого сечения и полная поверхность шара
Задача: Площадь осевого сечения шара равна $S_{\text{сеч}} = 16\pi$ см². Найдите полную поверхность сферы и объём шара.
- Осевое сечение шара — круг: $S_{\text{сеч}} = \pi R^2 = 16\pi \Rightarrow R = 4$ см
- Площадь сферы: $S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 16 = 64\pi \approx$ 201,1 см²
- Объём шара: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 64 = \dfrac{256\pi}{3} \approx$ 268,1 см³
Задача 4. Тор из проволоки (практическая задача)
Задача: Из металлической трубки диаметром $d = 4$ см согнули тор так, что расстояние от оси тора до оси трубки равно $R = 15$ см. Найдите площадь внешней поверхности тора и его объём.
- Радиус трубки (образующей): $r = d / 2 = 2$ см
- Площадь поверхности: $S = 4\pi^2 \cdot 15 \cdot 2 = 120\pi^2 \approx$ 1184 см²
- Объём: $V = 2\pi^2 \cdot 15 \cdot 4 = 120\pi^2 \approx$ 1184 см³
- Замечание: в данном конкретном случае $S = V$ числово — это совпадение при $r = 2$, $R = 15$ (аналогично случаю шара с $r = 3$).
Авторитетные источники по теме
📖 Рекомендуемые ресурсы
1. Wolfram MathWorld — Cylinder, Cone, Sphere
Исчерпывающая математическая база данных: строгие определения, вывод формул, интерактивные 3D-модели тел вращения.
→ mathworld.wolfram.com/Cylinder.html
2. Encyclopedia Britannica — Cone, Cylinder, Sphere
Академическая энциклопедия с историческим обзором и строгими математическими определениями.
→ britannica.com/science/cone-mathematics
3. ФИПИ — открытый банк заданий ЕГЭ по математике
Официальный источник актуальных типовых заданий по стереометрии, включая задачи на тела вращения.
→ fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege
Частые вопросы и ошибки
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — это только поверхность (оболочка), геометрическое место точек, равноудалённых от центра. Шар — это тело, т. е. вся область внутри сферы вместе с самой поверхностью. Объём вычисляется для шара ($V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$), площадь поверхности — для сферы ($S = 4\pi r^2$). В задачах формулировка «площадь поверхности шара» означает площадь ограничивающей его сферы.
Почему в формуле боковой поверхности конуса стоит $l$, а не $h$?
Боковая поверхность конуса — это не «стенка» высотой $h$, а наклонная поверхность, образованная вращением гипотенузы прямоугольного треугольника. При «развёртывании» она превращается в круговой сектор, радиус которого равен именно образующей $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, а не высоте. Подстановка $h$ вместо $l$ — самая частая ошибка в задачах на конус.
Как быстро найти объём полушара, если знаешь только формулу шара?
Объём полушара — ровно половина объёма полного шара: $V_{\text{полушар}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$. Площадь полной поверхности полушара — это полусфера ($2\pi r^2$) плюс круглое основание ($\pi r^2$): итого $3\pi r^2$.
Как связаны объём шара и объём описанного цилиндра?
Шар, вписанный в цилиндр (с теми же $r$ и $h = 2r$), занимает ровно ⅔ объёма цилиндра. Это теорема Архимеда: $V_{\text{шар}} / V_{\text{цил}} = \dfrac{2}{3}$. Аналогично: площадь сферы составляет ровно ⅔ полной поверхности описанного цилиндра.
Что такое тор и где он встречается на практике?
Тор — тело вращения окружности вокруг внешней оси. В жизни — это автомобильная шина, спасательный круг, бублик, уплотнительное кольцо (O-ring), катушка с обмоткой трансформатора. В математике тор — базовый объект топологии: поверхность тора принципиально отличается от сферы наличием «дырки».
Чем отличается шаровой сегмент от шарового сектора?
Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая плоскостью: ограничена сферической шапкой и плоским кругом. Шаровой сектор — часть шара, ограниченная шаровым сегментом и конусом с вершиной в центре шара. Сектор «указывает» в центр шара, сегмент — нет. Объём сегмента: $V = \dfrac{\pi h^2(3R-h)}{3}$; объём сектора: $V = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h$.
Можно ли применять формулу $V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$ к любому конусу?
Да. Формула $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$ верна для любого конуса — прямого кругового, наклонного, эллиптического и даже для пирамиды любого типа, поскольку это частный случай конуса с многоугольным основанием. Главное — правильно найти площадь основания $S_{\text{осн}}$ и высоту $h$ (перпендикуляр от вершины до плоскости основания).
Как найти радиус шара, вписанного в цилиндр, по условию задачи ЕГЭ?
Если шар вписан в прямой цилиндр, то он касается обоих оснований и боковой поверхности. Из этого немедленно следует: $r_{\text{шара}} = r_{\text{цилиндра}}$ и $d_{\text{шара}} = 2r = h_{\text{цилиндра}}$. Всё решение сводится к одному уравнению связи параметров цилиндра.
Какие задачи на тела вращения чаще всего встречаются в ЕГЭ 2026?
По анализу открытого банка ФИПИ наиболее часто встречаются: (1) нахождение объёма и площади поверхности прямого кругового цилиндра и конуса; (2) задачи на вписанные и описанные шары; (3) комбинации «шар в конусе», «цилиндр в шаре»; (4) задачи на осевые сечения тел вращения. В задании №14 профильного ЕГЭ-2026 акцент сделан на обоснование каждого шага построения.
💡 Совет эксперта
«Самая распространённая ошибка при подготовке к ЕГЭ по стереометрии — пропуск осевого сечения. Для любой задачи на тело вращения первым делом стройте осевое сечение: цилиндр даёт прямоугольник, конус — равнобедренный треугольник, шар — круг. Все ключевые соотношения находятся именно в этом сечении через теорему Пифагора или тригонометрию. Это сокращает решение вдвое и полностью исключает ошибки с перепутанными параметрами.»
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
