Компланарность векторов — определение и задачи для ЕГЭ
Для кого эта статья
- Студенты и школьники, изучающие векторы и геометрию
- Преподаватели математики и физики
- Старшеклассники, готовящиеся к ОГЭ/ЕГЭ и контрольным работам по математике
- Родители школьников, помогающие детям разобраться с домашними заданиями
Ключевые выводы из статьи
- ✅ Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю — это главный рабочий критерий
- ✅ Компланарность и линейная зависимость — связанные, но не идентичные понятия: компланарность трёх ненулевых векторов влечёт линейную зависимость, но не наоборот в общем случае
- ✅ В задании 14 ЕГЭ по профильной математике (стереометрия) понятие компланарности применяется при решении координатно-векторным методом — эксперты требуют явного указания критерия
- ✅ Проверить компланарность можно тремя способами: через смешанное произведение, через определитель матрицы 3×3 и через ранг матрицы — выбор зависит от количества векторов и условия задачи
Если вы хотите системно подготовиться к экзамену и разобраться не только с компланарностью, но и со всеми ключевыми темами математики, обратите внимание на материалы для подготовки к экзамену по базовой математике — там вы найдёте структурированные уроки, разборы заданий и практику с обратной связью, которые помогут закрыть пробелы и выйти на высокий балл.
Понятие компланарности векторов
Как мы уже сказали, компланарность векторов связана с их расположением в пространстве. Чтобы понять, какие векторы называют компланарными, давайте рассмотрим несколько определений, которые раскрывают это понятие с разных сторон.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Компланарные векторы — это векторы, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Как вы думаете, всегда ли можно найти плоскость, параллельную двум векторам? Да, вы абсолютно правы! Именно поэтому любые два произвольных вектора можно считать компланарными.
Но если векторов не два, а три, то, чтобы назвать их компланарными, нужно выполнить определенные условия.
Давайте рассмотрим эти условия компланарности на примере векторов a, b и c. Эти векторы компланарны, когда:
- Пары векторов a и c, b и c, a и b компланарны между собой.
- Хотя бы одна пара этих векторов коллинеарна (т. е. лежит на одной прямой или двух параллельных прямых).
- Все три вектора лежат в одной плоскости.
Давайте найдем пример компланарных и некомпланарных векторов, которые разместим на ребрах параллелепипеда:
- векторы АА1, СС1 и СВ компланарны, так как АА1 и СС1 коллинеарны;
- векторы АВ, DC и DD1 компланарны, так как АB и DC коллинеарны;
- векторы CD, CB и CC1 некомпланарны, так как они не лежат в одной плоскости и ни одна пара векторов не является коллинеарной.
| Количество векторов | Условие компланарности | Примечание |
|---|---|---|
| Один вектор | Всегда компланарен | Тривиальный случай |
| Два вектора | Всегда компланарны в R³ | Два вектора всегда определяют плоскость (или лежат в ней) |
| Три вектора | Нетривиальное условие — основной объект изучения | Проверяется через смешанное произведение или определитель |
| Четыре и более | Ранг матрицы из координат векторов $\leq 2$ | Обобщение через линейную алгебру |
Теоремы, связанные с компланарностью трёх векторов
Теорема 1
Первая теорема не связана непосредственно с вопросом компланарности, но нам всё равно необходимо её вспомнить, так как она является вспомогательной.
Звучит она так: любой произвольный вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам только с единственными коэффициентами разложения: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
Теорема 2
Если один из трёх векторов можно разложить по двум другим векторам с единственными коэффициентами разложения, то эти векторы являются компланарными.
Давайте попробуем доказать эту теорему. Для этого возьмём три вектора: c, b и e, где $\vec{c} = x\vec{b} + y\vec{e}$.
- Пусть векторы b и e являются коллинеарными. Тогда векторы c, b и e точно являются компланарными по свойству: если два из трёх векторов коллинеарны, то все три можно считать компланарными.
- Допустим, векторы b и e не являются коллинеарными. Тогда мы разложили вектор c по двум неколлинеарным векторам, что соответствует теореме 1. А это, в свою очередь, говорит о том, что векторы c, b и e лежат в одной плоскости и являются компланарными.
Теорема доказана!
Теорема 3
Если три вектора a, b и c являются компланарными, а векторы a и b — неколлинеарными, то вектор c можно разложить через a и b единственным образом: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
Раз векторы a, b и c компланарны, значит, существует такая плоскость, параллельная исходной, в которой можно построить векторы $\vec{a_1} = \vec{a}$, $\vec{b_1} = \vec{b}$, $\vec{c_1} = \vec{c}$. Раз a и b неколлинеарны, значит, новые векторы a1 и b1 тоже будут неколлинеарными. А значит, согласно теореме 1, мы можем разложить $\vec{c_1} = x\vec{a_1} + y\vec{b_1}$.
Следовательно, $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
Признак и критерий компланарности векторов
С теоремами мы успешно разобрались — пришло время перейти к завершающей части. Для полной картины нам необходимо поговорить ещё о некоторых нюансах, касающихся компланарных векторов.
Линейно зависимыми называются векторы $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \ldots, \vec{a_n}$, из которых можно составить линейную комбинацию, равную нулю: $\lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} + \ldots + \lambda_n \cdot \vec{a_n} = 0$.
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трёх векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a и векторного произведения $[\vec{b} \times \vec{c}]$, то есть число $\vec{a} \cdot [\vec{b} \times \vec{c}]$.
Признаки компланарности векторов:
- Если смешанное произведение трёх векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
Далее разберём их подробнее.
Критерий через смешанное произведение $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$
Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:
$$(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c}) = \vec{a} \cdot [\vec{b} \times \vec{c}] = 0$$Геометрический смысл: смешанное произведение трёх векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах (с точностью до знака). Если объём равен нулю — параллелепипед «плоский», то есть все три вектора лежат в одной плоскости.
Доказательство (⟹): Предположим, что векторы компланарны. Тогда все они параллельны некоторой плоскости α. Векторное произведение $[\vec{b} \times \vec{c}]$ перпендикулярно плоскости, образованной векторами b и c, а значит, перпендикулярно плоскости α. Поскольку a параллелен α, вектор a перпендикулярен вектору $[\vec{b} \times \vec{c}]$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, следовательно, $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot [\vec{b} \times \vec{c}] = 0$.
Доказательство (⟸): Если $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$, то a перпендикулярен вектору $[\vec{b} \times \vec{c}]$. Но $[\vec{b} \times \vec{c}]$ является нормалью к плоскости, задаваемой векторами b и c. Следовательно, a лежит в этой плоскости (или параллелен ей), что означает компланарность всех трёх векторов. ∎
Критерий через определитель (координатный тест)
Если $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, $\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$, то смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы 3×3, строки которой — координаты векторов:
$$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 0 \iff \text{векторы компланарны}$$Критерий через ранг матрицы (четыре и более векторов)
Для системы из четырёх и более векторов составляется матрица, строки которой — координаты векторов. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда ранг этой матрицы не превышает 2.
Ранг $\leq 2$ означает, что все векторы выражаются как линейная комбинация не более чем двух независимых векторов, то есть лежат в двумерном подпространстве — плоскости.
Связь компланарности и линейной зависимости
| Параметр | Компланарность | Линейная зависимость |
|---|---|---|
| Суть | Все векторы параллельны одной плоскости | Один вектор выражается через остальные |
| Для трёх ненулевых векторов | Смешанное произведение $= 0$ | Определитель из координат $= 0$ |
| Связь | Три ненулевых компланарных вектора — линейно зависимы | Линейно зависимые векторы не обязательно компланарны (если их больше трёх) |
| Нулевой вектор | Нулевой вектор всегда компланарен любой системе | Система с нулевым вектором всегда линейно зависима |
| Геометрический образ | Плоская фигура (нулевой объём) | Один вектор «лишний» — его можно убрать без потери охвата |
Вывод: для трёх векторов в R³ компланарность и линейная зависимость — это одно и то же условие, выраженное разными формулировками. Критерий один: определитель матрицы из координат равен нулю.
Геометрический смысл смешанного произведения — объём параллелепипеда
$$V = |(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c})|$$- Если $V = 0$: параллелепипед вырождается в плоскую фигуру. Все три вектора компланарны.
- Если $V \neq 0$: параллелепипед «объёмный». Векторы некомпланарны и образуют базис трёхмерного пространства.
Объём параллелепипеда также связан с объёмом тетраэдра: $V_{\text{тетраэдра}} = \dfrac{1}{6}|(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c})|$, где a, b, c — рёбра, выходящие из одной вершины.
💡 Совет эксперта: При решении стереометрических задач координатно-векторным методом в ЕГЭ (задание 14) геометрический смысл смешанного произведения — ключевой инструмент. Если задача требует найти объём тетраэдра или доказать, что точки лежат в одной плоскости, смешанное произведение даёт ответ на оба вопроса одновременно. Это существенно экономит время на экзамене.
Как проверить компланарность векторов
Шаг 1: определить количество векторов и размерность пространства
- Два вектора в R³ → компланарны автоматически, дальнейшая проверка не нужна.
- Один из векторов нулевой → компланарны, проверка завершена.
- Два из трёх векторов коллинеарны ($\vec{b} = \lambda\vec{a}$) → компланарны с любым третьим, проверка завершена.
- Три вектора в R³ (без особых случаев) → переходите к шагу 2.
- Четыре и более векторов → метод через ранг матрицы.
Шаг 2: выбрать подходящий метод
| Ситуация | Рекомендуемый метод | Почему |
|---|---|---|
| 3 вектора, координаты заданы явно | Определитель 3×3 | Быстро, одна формула, легко проверить |
| 3 вектора, нужно геометрическое обоснование | Смешанное произведение | Явная ссылка на критерий для экзамена |
| 3 вектора, заданы через рёбра фигуры (без координат) | Разложение по теореме ($\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$) | Классический школьный метод без вычисления координат |
| 4 и более векторов | Ранг матрицы | Обобщение критерия на произвольное число векторов |
| Векторы заданы параметрически | Смешанное произведение с подстановкой | Можно вынести параметр за знак определителя |
Шаг 3: составить определитель / вычислить смешанное произведение / найти ранг
Дано: $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, $\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$.
Составляем матрицу 3×3 и вычисляем детерминант по правилу Саррюса:
$$D = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2(b_1 c_3 - b_3 c_1) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)$$Если $D = 0$ — векторы компланарны. Если $D \neq 0$ — некомпланарны.
Шаг 4: интерпретировать результат
| Результат вычисления | Вывод | Дополнительный смысл |
|---|---|---|
| $\det = 0$ (или смешанное произведение $= 0$) | Векторы компланарны | Объём параллелепипеда равен нулю; векторы линейно зависимы |
| $\det \neq 0$ | Векторы некомпланарны | Образуют базис R³; объём параллелепипеда ненулевой |
| Ранг матрицы $\leq 2$ | Векторы компланарны | Все векторы лежат в двумерном подпространстве |
| Ранг матрицы $= 3$ | Векторы некомпланарны | Три вектора независимы, образуют базис |
Типичные ошибки и как их избежать
| Шаг | Типичная ошибка | Как избежать |
|---|---|---|
| Шаг 1 | Забывают, что два вектора всегда компланарны | Запомнить: нетривиальная проверка только для трёх и более векторов |
| Шаг 1 | Не замечают коллинеарность двух векторов | Перед вычислением проверить: если $\vec{b} = \lambda\vec{a}$, то все три компланарны |
| Шаг 2 | Применяют критерий для трёх векторов к четырём | При четырёх векторах — только ранг матрицы |
| Шаг 3 | Перепутывают знаки при раскрытии определителя | Чётко следовать формуле: $+a_1 M_{11} - a_2 M_{12} + a_3 M_{13}$ |
| Шаг 3 | Записывают координаты в столбцы, а не в строки | Строка матрицы = координаты одного вектора |
| Шаг 4 | Не указывают критерий явно на экзамене | Писать: «По критерию компланарности: смешанное произведение $= 0$, следовательно, векторы компланарны» |
💡 Совет эксперта: На ЕГЭ по профильной математике (задание 14, стереометрия) при обосновании компланарности недостаточно просто вычислить определитель и написать «равен нулю». Требования экспертов ЕГЭ 2026 остаются неизменными: необходимо явно сформулировать используемый критерий — «Так как смешанное произведение векторов равно нулю, векторы компланарны». Отсутствие явной ссылки на критерий может стоить балла при проверке второй части.
Практика
Мы много узнали, теперь осталось закрепить теорию практическим заданием.
Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Разложите вектор D1B1 по DC и CB.
Решение.
Плоскости (АВС) и (А1В1С1) параллельны, так как находятся на противоположных гранях параллелепипеда. Значит, векторы D1B1, DC и CB являются компланарными. Поэтому по теореме 2 мы сможем провести разложение D1B1 по DC и CB, причём единственным способом:
DB = D1B1, DC = D1C1, CB = C1B1.
Согласно правилу треугольника, DB = DC + CB.
А так как DB = D1B1, значит, и D1B1 = DC + CB.
Дополнительные примеры с решением
Пример 1: три вектора — проверка через смешанное произведение
Условие: Проверить, компланарны ли векторы $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (2, 4, 6)$, $\vec{c} = (0, 1, 0)$.
Решение:
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 6) - 2(0 - 0) + 3(2 - 0) = -6 + 6 = 0$$
Вывод: Смешанное произведение равно нулю — векторы компланарны.
Заметьте: вектор $\vec{b} = 2\vec{a}$, то есть a и b коллинеарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны с любым третьим — результат ожидаем.
Пример 2: три вектора — проверка через определитель 3×3
Условие: Определить, компланарны ли $\vec{a} = (1, 0, -1)$, $\vec{b} = (2, 1, 3)$, $\vec{c} = (0, 2, 1)$.
Решение:
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 6) - 0 + (-1)(4 - 0) = -5 - 4 = -9$$
Вывод: $D = -9 \neq 0$ — векторы некомпланарны. Они образуют базис R³.
Пример 3: геометрический метод — некомпланарные диагонали параллелепипеда
Условие: В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' обозначим рёберные векторы: $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AA'}$. Доказать, что векторы $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB'}$ и $\overrightarrow{AD'}$ некомпланарны.
Решение: Выразим каждый из трёх векторов через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:
- $\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$
- $\overrightarrow{AB'} = \vec{a} + \vec{c}$
- $\overrightarrow{AD'} = \vec{b} + \vec{c}$
Пробуем найти $x, y$ такие, что $\overrightarrow{AC} = x \cdot \overrightarrow{AB'} + y \cdot \overrightarrow{AD'}$:
$\vec{a} + \vec{b} = x(\vec{a} + \vec{c}) + y(\vec{b} + \vec{c}) = x\vec{a} + y\vec{b} + (x+y)\vec{c}$
При $\vec{a}$: $x = 1$; при $\vec{b}$: $y = 1$; при $\vec{c}$: $x + y = 0 \Rightarrow 2 \neq 0$ — противоречие.
Вывод: $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB'}$, $\overrightarrow{AD'}$ — некомпланарны.
Обратите внимание: три диагонали параллелепипеда, выходящие из одной вершины, некомпланарны — они образуют базис в R³. Этот факт часто используется в задачах ЕГЭ.
Пример 4: компланарные векторы в грани параллелепипеда
Условие: В том же параллелепипеде. Доказать, что векторы $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ компланарны.
Решение:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
Нашли числа $x = 1$, $y = 1$: $\overrightarrow{AC} = 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{AD}$.
По теореме о разложении вектора: все три вектора компланарны.
Геометрический смысл: все три вектора лежат в плоскости нижнего основания параллелепипеда ABCD.
Пример 5: ловушка с нулевым вектором
Условие: Проверить компланарность $\vec{a} = (1, 0, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, 0)$, $\vec{c} = (0, 0, 0)$.
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$
Вывод: $D = 0$ — векторы компланарны. Нулевой вектор в составе системы гарантирует линейную зависимость.
Шпаргалка по критериям компланарности
| Ситуация | Метод | Формула / условие | Вывод |
|---|---|---|---|
| 2 вектора в R³ | — | Проверка не нужна | Всегда компланарны |
| 3 вектора в R³ | Смешанное произведение | $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$ | Компланарны, если $= 0$ |
| 3 вектора в R³ | Определитель 3×3 | $\det[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 0$ | Компланарны, если $= 0$ |
| 3 вектора (без координат) | Разложение: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ | Существуют $x, y$: $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ | Компланарны, если разложение существует |
| 4+ векторов в R³ | Ранг матрицы | $\operatorname{rank}(M) \leq 2$ | Компланарны, если $\operatorname{rank} \leq 2$ |
| Один из векторов нулевой | — | Нулевой вектор в системе | Всегда компланарны |
| Два вектора коллинеарны | — | $\vec{b} = \lambda\vec{a}$ | Всегда компланарны с любым третьим |
Часто задаваемые вопросы
Нет. Любые два вектора в трёхмерном пространстве R³ всегда компланарны. Два вектора, приложенных к одной точке, определяют единственную плоскость, в которой оба и лежат. Поэтому нетривиальная проверка компланарности начинается только с трёх векторов.
Коллинеарные векторы параллельны одной прямой. Компланарные векторы параллельны одной плоскости. Коллинеарность — более строгое условие: коллинеарные векторы всегда компланарны, но компланарные не обязательно коллинеарны. Например, векторы $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ компланарны (лежат в плоскости XOY), но не коллинеарны.
Для трёх векторов в R³ — да. Равенство нулю смешанного произведения равносильно равенству нулю определителя матрицы из координат этих векторов, что равносильно линейной зависимости. Таким образом, для трёх векторов в R³ компланарность, линейная зависимость и равенство нулю смешанного произведения — три эквивалентных условия.
Для четырёх и более векторов составляется матрица, строки которой — координаты векторов. Если ранг этой матрицы не превышает 2, то все векторы компланарны. Если ранг равен 3 — некомпланарны. Ранг матрицы находится методом элементарных преобразований строк (приведением к ступенчатому виду).
Если хотя бы один из векторов системы является нулевым вектором, то система автоматически является линейно зависимой, а следовательно — компланарной. Дополнительная проверка не требуется: определитель матрицы, содержащей нулевую строку, всегда равен нулю.
Да, если существует хотя бы одна плоскость, которой параллельны все три вектора. Точки приложения векторов не важны — важна только их направленность. Перенесите все три вектора параллельным переносом к одной точке: если они окажутся в одной плоскости — компланарны.
Три некомпланарных вектора в R³ всегда образуют базис трёхмерного пространства. Это означает, что любой вектор пространства можно единственным образом представить как линейную комбинацию этих трёх векторов. Если три вектора компланарны, базис они не образуют.
Если задача задаёт векторы через рёбра и диагонали геометрической фигуры, используйте теорему о разложении: попробуйте выразить вектор c через два других ($\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$) с помощью правила треугольника и правила параллелограмма. Если такие числа $x, y$ находятся — векторы компланарны; если система уравнений противоречива — некомпланарны.
Дополнительные источники
- Wolfram MathWorld: Coplanar — строгое математическое определение компланарности, формулы и связанные понятия
- Encyclopedia of Mathematics: Coplanar Vectors — академическая статья с формальными определениями и теоремами
- LibreTexts Mathematics: The Scalar Triple Product — подробный разбор смешанного произведения с геометрическим смыслом и примерами
В геометрии достаточно много тем, которые требуют детального изучения: в них есть теоремы, аксиомы, интересные логические умозаключения. Разобраться во всём этом вам помогут курсы профильной математики в онлайн-школе Skysmart. На них ребёнок не только станет настоящим экспертом в точных науках, но и проведёт время увлекательно и даже весело. Приходите вместе на бесплатный вводный урок и убедитесь сами!
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
