Векторное произведение — формула, свойства и примеры

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

Если вы готовитесь к профильному ЕГЭ и хотите уверенно применять векторное произведение в задачах — ознакомьтесь с программой подготовки к экзамену по базовой математике. Там вы найдёте структурированные уроки, разборы реальных вариантов и тренировочные задачи.

---

Определение векторного произведения

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как $\overrightarrow{AB}$. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: $\vec{a}$.

Проще говоря, это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — $\vec{a} \parallel \vec{b}$. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, противоположно направленные — $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Ориентация тройки векторов и правило правой руки

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ в трехмерном пространстве.

Отложим векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ от одной точки. В зависимости от направления вектора $\vec{c}$ тройка $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора $\vec{c}$ на то, как происходит кратчайший поворот от вектора $\vec{a}$ к $\vec{b}$. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отложим от точки А векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$. Построим некоторый вектор $\overrightarrow{AD} = \vec{c}$, перпендикулярный одновременно и $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Очевидно, что при построении вектора $\overrightarrow{AD} = \vec{c}$ мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора $\overrightarrow{AD} = \vec{c}$ упорядоченная тройка векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ вокруг вектора $\vec{c}$ осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора $\vec{c}$.

Векторное произведение векторов $\vec{a} = \{a_x;\, a_y;\, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x;\, b_y;\, b_z\}$ в декартовой системе координат вычисляется по формуле:

$$[\vec{a} \times \vec{b}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

Векторное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $[\vec{a} \times \vec{b}]$. На рисунке ниже тройка векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $[\vec{a} \times \vec{b}]$ является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора $\vec{a}$, второй — вектора $\vec{b}$, третьей — вектора $\vec{c}$. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

---

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов $\vec{a} = (ax, ay, az)$ и $\vec{b} = (bx, by, bz)$ есть вектор

, где

$\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, во второй строке находятся координаты вектора $\vec{a}$, а в третьей — координаты вектора $\vec{b}$ в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением, которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Алгоритм вычисления

Шаг	Действие	Что нужно
1	Записать координаты $\vec{a}$ и $\vec{b}$	$\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$
2	Составить матрицу 3×3 с ортами в первой строке	$\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — во второй строке $\vec{a}$, в третьей — $\vec{b}$
3	Раскрыть определитель по первой строке	Вычислить три минора 2×2
4	Записать результат	$[\vec{a} \times \vec{b}] = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)$
5	Проверка: перпендикулярность	$[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{a} = 0$ и $[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{b} = 0$

---

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
   
2. Свойство дистрибутивности
   

   или

   
   
3. Сочетательное свойство
   

   или

   
   

   , где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению

и

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: $S = |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin\theta$, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно нулевому вектору, если $\vec{u}$ и $\vec{v}$ параллельны (коллинеарны): $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, если $\vec{u} \parallel \vec{v}$ (θ = 0).

Сводная таблица свойств

Свойство	Формула	Пояснение
Антикоммутативность	$[\vec{a} \times \vec{b}] = -[\vec{b} \times \vec{a}]$	Порядок множителей меняет знак
Дистрибутивность	$[\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})] = [\vec{a} \times \vec{b}] + [\vec{a} \times \vec{c}]$	Раскрытие скобок работает как в обычной алгебре
Сочетательность со скаляром	$[\lambda\vec{a} \times \vec{b}] = \lambda[\vec{a} \times \vec{b}]$	Скаляр выносится за знак произведения
Произведение вектора на себя	$[\vec{a} \times \vec{a}] = \vec{0}$	Угол между одинаковыми векторами равен 0, $\sin 0 = 0$
Критерий коллинеарности	$[\vec{a} \times \vec{b}] = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b}$	В т.ч. если один из векторов нулевой

---

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \pi/3$.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \pi/3$.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

$$|[\vec{a} \times \vec{b}]| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\frac{\pi}{3} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Ответ: $|[\vec{a} \times \vec{b}]| = 3\sqrt{3}$ единиц.

б) Площадь параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

$$S = |[\vec{a} \times \vec{b}]| = 3\sqrt{3}$$

Ответ: $S = 3\sqrt{3}$ кв. единиц.

Пример 2

Найти $|[-3\vec{a} \times 2\vec{b}]|$, если $|\vec{a}| = 1/2$, $|\vec{b}| = 1/6$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \pi/2$.

По условию нужно найти длину векторного произведения. Согласно ассоциативным законам, выносим константы за пределы векторного произведения. Модуль позволяет убрать знак минус, так как длина не может быть отрицательной:

$$|[-3\vec{a} \times 2\vec{b}]| = |-3 \cdot 2| \cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\dfrac{1}{2}$.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (−2, 5, 0), C (−2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB} = (-2-0,\; 5-2,\; 0-0) = (-2,\; 3,\; 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-2-0,\; 2-2,\; 6-0) = (-2,\; 0,\; 6)$$

Затем векторное произведение:

$$[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(18-0) - \vec{j}(-12-0) + \vec{k}(0+6) = (18,\; 12,\; 6)$$

Вычислим его длину:

$$|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]| = \sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 144 + 36} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}$$

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]| = \frac{6\sqrt{14}}{2} = 3\sqrt{14}$$

Ответ: $S = 3\sqrt{14}$ кв. единиц.

Пример 4. Пошаговое вычисление по координатам

Дано: $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (4, 5, 6)$. Найти $[\vec{a} \times \vec{b}]$ и проверить результат.

Решение

$$[\vec{a} \times \vec{b}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$$

$x$: $\vec{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) = \vec{i}(12 - 15) = -3$

$y$: $-\vec{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = -\vec{j}(6 - 12) = 6$

$z$: $\vec{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = \vec{k}(5 - 8) = -3$

$[\vec{a} \times \vec{b}] = (-3,\; 6,\; -3)$

Проверка перпендикулярности:

$[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{a} = (-3) \cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = -3 + 12 - 9 = 0$ ✓

$[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 4 + 6 \cdot 5 + (-3) \cdot 6 = -12 + 30 - 18 = 0$ ✓

Пример 5. Коллинеарные векторы

Дано: $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (2, 4, 6)$. Найти $[\vec{a} \times \vec{b}]$.

Решение

$x$: $2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0$

$y$: $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 2) = -(6 - 6) = 0$

$z$: $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$

$[\vec{a} \times \vec{b}] = (0,\; 0,\; 0)$

Вывод: $\vec{b} = 2\vec{a}$ — векторы коллинеарны, произведение равно нулевому вектору. Это подтверждает критерий коллинеарности.

---

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна площади параллелограмма со сторонами $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ и углом между ними, равным $\angle(\vec{a}, \vec{b})$. В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

---

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы $\vec{F}$, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение $[\overrightarrow{AB} \times \vec{F}]$.

Вектор линейной скорости $\vec{V}$ точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости $\vec{W}$ и радиус-вектора точки колеса, то есть $\vec{V} = \vec{W} \times \vec{r}_M$.

Другие применения в физике

Формула	Физическая величина	Где применяется
$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$	Момент силы	Механика, статика
$\vec{V} = \vec{\omega} \times \vec{r}$	Линейная скорость точки	Вращательное движение
$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$	Сила Лоренца	Электродинамика, движение заряда в поле
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$	Момент импульса	Квантовая механика, небесная механика

---

Смешанное произведение

Смешанное произведение трёх векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ — это скалярная величина, равная скалярному произведению вектора $\vec{a}$ на векторное произведение $[\vec{b} \times \vec{c}]$:

$$(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c}) = \vec{a} \cdot [\vec{b} \times \vec{c}]$$

В координатной форме смешанное произведение равно определителю матрицы 3×3:

$$(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$

Геометрический смысл смешанного произведения

Объект	Формула объёма	Примечание
Параллелепипед	$V = |(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c})|$	Рёбра — векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$
Тетраэдр	$V = \dfrac{1}{6}|(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c})|$	Рёбра выходят из одной вершины
Пирамида	$V = \dfrac{1}{6}|\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AD}|$	A — вершина, B, C, D — основание

Если смешанное произведение равно нулю ($(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$), то векторы компланарны — они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Пример: найти объём тетраэдра по четырём вершинам

Дано: $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$, $D(1, 1, 1)$.

$\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$, $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$, $\overrightarrow{AD} = (0, 1, 1)$

$$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - 2(-1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) + 0 = -1(-3) - 2(-1) = 3 + 2 = 5$$

$V = \dfrac{1}{6}|5| = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$ куб. ед.

---

Задачи для практики

Задача 1 (базовый уровень)

Найти $[\vec{a} \times \vec{b}]$, если $\vec{a} = (2, -1, 3)$, $\vec{b} = (0, 4, -2)$. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Показать решение

$x$: $(-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10$

$y$: $-(2 \cdot (-2) - 3 \cdot 0) = -(-4 - 0) = 4$

$z$: $2 \cdot 4 - (-1) \cdot 0 = 8 - 0 = 8$

$[\vec{a} \times \vec{b}] = (-10,\; 4,\; 8)$

$|[\vec{a} \times \vec{b}]| = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13{,}4$

$S_{\text{параллелограмма}} \approx 13{,}4$ кв. единиц

Проверка: $(-10) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) + 8 \cdot 3 = -20 - 4 + 24 = 0\ \checkmark$

Задача 2 (геометрия)

По трём точкам A(1, 2, 0), B(3, 0, 1), C(0, 1, 4) найти нормаль к плоскости и составить уравнение плоскости.

Показать решение

$\overrightarrow{AB} = (3-1,\; 0-2,\; 1-0) = (2,\; -2,\; 1)$

$\overrightarrow{AC} = (0-1,\; 1-2,\; 4-0) = (-1,\; -1,\; 4)$

$\vec{n} = [\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]:$

$x$: $(-2) \cdot 4 - 1 \cdot (-1) = -8 + 1 = -7$

$y$: $-(2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)) = -(8 + 1) = -9$

$z$: $2 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-1) = -2 - 2 = -4$

$\vec{n} = (-7,\; -9,\; -4)$

Уравнение: $-7(x-1) - 9(y-2) - 4(z-0) = 0$

$$\Rightarrow\quad 7x + 9y + 4z = 25$$

Задача 3 (физика)

Найти момент силы $\vec{F} = (0, 0, 5)$ Н, приложенной в точке $\vec{r} = (3, -1, 0)$ м относительно начала координат.

Показать решение

$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}:$

$x$: $(-1) \cdot 5 - 0 \cdot 0 = -5$

$y$: $-(3 \cdot 5 - 0 \cdot 0) = -15$

$z$: $3 \cdot 0 - (-1) \cdot 0 = 0$

$\vec{M} = (-5,\; -15,\; 0)$ Н·м

$|\vec{M}| = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \approx 15{,}8$ Н·м

Задача 4 (смешанное произведение)

Проверить, являются ли компланарными (линейно зависимыми) векторы $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (4, 5, 6)$, $\vec{c} = (7, 8, 9)$. Найти объём параллелепипеда.

Показать решение

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$$

$= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0$

Смешанное произведение = 0 →

• Векторы компланарны
• Векторы линейно зависимы
• Объём параллелепипеда = 0 (фигура вырождена в плоскую)

Задача 5 (объём тетраэдра)

Найти объём тетраэдра с вершинами A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3), D(1, 1, 1).

Показать решение

Шаг 1. Строим три вектора из вершины A:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1,\; 2-0,\; 0-0) = (-1,\; 2,\; 0)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\; 0-0,\; 3-0) = (-1,\; 0,\; 3)$

$\overrightarrow{AD} = D - A = (1-1,\; 1-0,\; 1-0) = (0,\; 1,\; 1)$

Шаг 2. Вычисляем смешанное произведение $(\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AD})$ через определитель 3×3:

$$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 3 \cdot 0) + 0$$

$= (-1) \cdot (-3) - 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5$

Шаг 3. Объём тетраэдра:

$$V = \dfrac{1}{6} \cdot |(\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AD})| = \dfrac{1}{6} \cdot |5| = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833 \text{ куб. единиц}$$

Ответ: $V = \dfrac{5}{6}$ куб. единиц

---

Что запомнить: шпаргалка

Ключевой факт	Формула / Правило
Формула через определитель (ортонормированный базис)	$[\vec{a} \times \vec{b}] = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1)$
Правило правой руки	Пальцы от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ — большой указывает направление $[\vec{a} \times \vec{b}]$; тройка $(\vec{a}, \vec{b}, [\vec{a} \times \vec{b}])$ правая
Модуль = площадь параллелограмма	$|[\vec{a} \times \vec{b}]| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\theta$
Нулевое произведение = коллинеарность	$[\vec{a} \times \vec{b}] = \vec{0} \iff \vec{a} \parallel \vec{b}$
Антикоммутативность	$[\vec{a} \times \vec{b}] = -[\vec{b} \times \vec{a}]$
Момент силы	$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$
Сила Лоренца	$\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})$
Скорость вращения	$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
Объём параллелепипеда	$V = |(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c})|$
Объём тетраэдра	$V = \dfrac{1}{6} \cdot |(\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC},\, \overrightarrow{AD})|$
Компланарность = линейная зависимость	$(\vec{a},\, \vec{b},\, \vec{c}) = 0 \iff$ компланарны $\iff$ линейно зависимы
Проверка результата	$([\vec{a} \times \vec{b}]) \cdot \vec{a} = 0$ и $([\vec{a} \times \vec{b}]) \cdot \vec{b} = 0$

Авторитетные источники по теме

• Cross Product — Wolfram MathWorld — строгое математическое определение с формулами и примерами
• The Cross Product — LibreTexts Mathematics (UC Davis) — университетский учебник с подробным изложением теории и задачами

---

FAQ: Часто задаваемые вопросы

Что такое правая система координат?

Правая система координат (Right-Handed System, RHS) — это такая система, в которой тройка базисных векторов $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ является правой: если смотреть с конца $\vec{k}$, поворот от $\vec{i}$ к $\vec{j}$ происходит против часовой стрелки. Большинство математических учебников и пакетов (OpenGL, Blender) используют правую систему. Некоторые игровые движки (DirectX, Unity в режиме по умолчанию) используют левую — там $[\vec{i} \times \vec{j}] = -\vec{k}$.

Чем векторное произведение отличается от скалярного?

Скалярное произведение даёт число (скаляр), векторное произведение даёт вектор. Скалярное произведение зависит от косинуса угла между векторами, векторное — от синуса. Скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), векторное — антикоммутативно ($[\vec{a} \times \vec{b}] = -[\vec{b} \times \vec{a}]$).

Можно ли вычислить векторное произведение в 2D?

Строго говоря, нет — векторное произведение определено в 3D. Однако для плоских векторов $\vec{a} = (a_1, a_2)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2)$ его «псевдоскалярный» аналог: $a_1 b_2 - a_2 b_1$. Это z-компонента трёхмерного произведения при $z = 0$. В 2D-задачах она используется, например, для определения ориентации треугольника.

Почему $[\vec{a} \times \vec{b}] = -[\vec{b} \times \vec{a}]$?

Потому что при перестановке двух строк в матрице определитель меняет знак. При смене порядка множителей поворот от $\vec{b}$ к $\vec{a}$ происходит в противоположном направлении: тройка $\vec{b}$, $\vec{a}$, $\vec{n}$ — левая, если $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{n}$ — правая. Поэтому $[\vec{a} \times \vec{b}]$ и $[\vec{b} \times \vec{a}]$ — это векторы одинаковой длины, но противоположного направления.

Как проверить, правильно ли я вычислил векторное произведение?

Используйте два условия перпендикулярности: $[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{a} = 0$ и $[\vec{a} \times \vec{b}] \cdot \vec{b} = 0$. Также можно проверить формулой $|[\vec{a} \times \vec{b}]|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ — это тождество Лагранжа.

Сегодня мы разобрали все ключевые аспекты векторного произведения: изучили теорию, вывели координатные формулы и решили задачи разного уровня. Закрепить пройденный материал и подготовиться к ЕГЭ помогут курсы подготовки к экзамену по базовой математике в школе Skysmart. Уникальная платформа, учителя-профессионалы, индивидуальная программа — ждём вас на занятиях!