Формула длины вектора — вычисление и примеры

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

Если вы готовитесь к профильному ЕГЭ и хотите не просто выучить формулу, а научиться уверенно применять её в задачах — ознакомьтесь с материалами для практики и подготовки к профильному ЕГЭ по математике. Там вы найдёте структурированные уроки, разборы реальных вариантов и тренировочные задачи по теме векторов.

---

Что такое векторы и какими они бывают

Как обычно, мы начнем с самого важного: с определения.

Вектор обозначают знаком →, например $\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B}$. Как вы заметили, вектор можно выразить одной латинской буквой, а можно — сочетанием двух букв, которыми мы назовем точками начала и конца вектора.

Как вы уже знаете, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными, сонаправленными и противоположно направленными.

Виды векторов по взаимному расположению

Вид	Определение	Замечание
Коллинеарные векторы	Лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Могут быть сонаправленными или противоположно направленными	Длины коллинеарных векторов могут быть разными
Компланарные векторы	Три или более вектора лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях	Два любых вектора всегда компланарны; три вектора в 3D — не всегда
Нулевой вектор	Начало и конец совпадают в одной точке; $|(0, 0)| = 0$, $|(0, 0, 0)| = 0$	Считается коллинеарным любому другому вектору; направление не определено
Единичный вектор (орт)	Вектор с длиной, равной ровно 1	Орты декартовой системы: $\vec{i} = (1,0,0)$, $\vec{j} = (0,1,0)$, $\vec{k} = (0,0,1)$

Когда два вектора считаются равными

Теперь давайте подумаем, что объединяет все виды векторов без исключения. Правильно, у всех есть длина! О том, что это такое, мы и поговорим дальше.

---

Длина вектора

Иногда в математике длину вектора называют модулем. Это легко запомнить, так как длина вектора обозначается с помощью знака | |. Например: $\overrightarrow{|a|},\overrightarrow{|c|},\overrightarrow{|AB|}$. Альтернативное название длины вектора дает нам отличную подсказку: она не может быть отрицательной, в какую бы сторону вектор ни был направлен. А вот нулевой — пожалуйста!

Здесь вам может стать интересно, зачем нам нужно знать, как найти длину вектора, и это очень хороший вопрос. Причин может быть множество, но мы выделим несколько главных:

1. Чтобы определить равенство векторов, необходимо знать их длины. Векторы являются равными, если равны их длины, и сами векторы — сонаправленные.
2. Вычислив модуль вектора, мы можем рассчитать другие величины.
3. Например, в физике сила — это векторная величина, т. е. имеет направление. Если вычислить модуль силы, мы можем рассчитать массу тела, его ускорение и т. д.
4. В геометрии с помощью длины векторов мы можем определить угол между ними, их скалярное произведение.

Достаточно весомые аргументы для нахождения этой величины, правда? Самое время перейти от слов к делу: давайте научимся вычислять длину вектора через свои координаты!

---

Вывод формулы через теорему Пифагора

Понимание вывода формулы — это гарантия того, что вы никогда её не забудете. Формула длины вектора — прямое следствие теоремы Пифагора.

Вывод для 2D-вектора

Пусть дан вектор $\vec{v} = (x, y)$ с началом в начале координат. Проведём из конца вектора перпендикуляры на оси координат. Получим прямоугольный треугольник, где:

• горизонтальный катет = x (проекция на ось абсцисс)
• вертикальный катет = y (проекция на ось ординат)
• гипотенуза = длина вектора $|\vec{v}|$

По теореме Пифагора: гипотенуза² = катет₁² + катет₂²

$$|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2 \implies |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Вывод для 3D-вектора: двойное применение теоремы Пифагора

Пусть вектор $\vec{v} = (x, y, z)$. Действуем в два шага:

Шаг 1. Найдём длину проекции вектора на плоскость XOY (как будто z = 0):

$$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Шаг 2. Теперь применим теорему Пифагора снова: один катет — d, второй катет — z, гипотенуза — $|\vec{v}|$:

$$|\vec{v}|^2 = d^2 + z^2 = (x^2 + y^2) + z^2 \implies |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Каждая новая координата добавляет одно слагаемое под корнем. Это и есть принцип обобщения на n измерений.

---

Как можно найти длину вектора по его координатам

Используя прямоугольную систему координат, нарисуем вектор АВ (х, у) из точки (0; 0). Тогда его можно будет считать радиус-вектором для векторов АВ₁ и АА₁.

Давайте обозначим длину вектора |АВ₁| = у, длину вектора |АА₁| = х. Треугольники АА₁В и АВ₁В являются прямоугольными, где АВ — гипотенуза. Теперь вспомните, как можно найти длину гипотенузы, зная длины катетов. Верно, через теорему Пифагора! Составим выражение для АВ:

$АВ^2 = AA1^2 + AB^2 = x^2 + y^2$

$AB = \sqrt{x^2+y^2}$

Это значит, чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{AB}$ нужно взять квадратный корень из суммы квадратов его координат. В общем виде эту формулу для длины вектора записывают так — длина вектора $\overrightarrow{a}=(a_x;a_y)$:

Если мы будем рассматривать векторы в трехмерном пространстве, формулу нахождения длины вектора $\overrightarrow{|a|} = (a_x; a_y; a_z):$ можно рассчитать так:

Давайте разберемся, как работают эти формулы для нахождения длины вектора, на примерах. Вы можете решать задания самостоятельно, а потом свериться с нами: так будет еще эффективнее!

Пример № 1

Найдите модуль вектора $\overrightarrow{c} = \{-5;8\}$.

Решение:

$\overrightarrow{|c|} = \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}.$

Ответ: $\overrightarrow{|c|} = \sqrt{89}.$

Пример № 2

Проведите вычисление длины вектора $\overrightarrow{АС}$ по его координатам {-2; 0; 5}.

Решение:

$\overrightarrow{|АС|} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.$

Ответ: $\overrightarrow{|AC|} = \sqrt{29}.$

Пример № 3

Определите координату х вектора $\overrightarrow{B}$, если его координата по у равна 6, а длина вектора 10.

Решение:

$В \{x; 6\}$, $\overrightarrow{|B|} = 10$, $\overrightarrow{|B|} = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\overrightarrow{|B|} = \sqrt{x^2 + 36}$.

$\sqrt{x^2 + 36}=10$, $x^2 + 36 = 100$, $x^2 = 64$, $х = 8; -8$.

Ответ: $х = 8; -8$.

Уверены, что у вас все блестяще получилось!

Пример 4. Вектор в 2D (базовый уровень)

Дано: $\vec{v} = (3, 4)$

Шаг 1	Записать формулу	$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Шаг 2	Подставить координаты	$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2}$
Шаг 3	Возвести в квадрат	$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16}$
Шаг 4	Сложить и извлечь корень	$|\vec{v}| = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

Пример 5. Вектор в 3D (средний уровень)

Дано: $\vec{v} = (1, 2, -2)$

Шаг 1	Записать формулу	$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Шаг 2	Подставить координаты	$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}$
Шаг 3	Возвести в квадрат (знак исчезает!)	$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4}$
Шаг 4	Сложить и извлечь корень	$|\vec{v}| = \sqrt{9} = \mathbf{3}$

⚠️ Важно: $(-2)^2 = 4$, а не $-4$. Квадрат любого отрицательного числа положителен. Отрицательная аппликата не делает длину меньше.

Пример 6. Вектор в n-мерном пространстве (продвинутый уровень)

Дано: $\vec{v} = (1, 0, -1, 2, 3)$

$$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 4 + 9} = \sqrt{15} \approx 3{,}873$$

Алгоритм для любого числа координат:

1. Возведите каждую координату в квадрат
2. Сложите все квадраты
3. Извлеките квадратный корень из суммы

---

Как найти длину вектора по двум точкам

Давайте подумаем, как решать задачи, если нам не даны координаты вектора. Для этого нужно понять, как найти длину вектора по двум точкам — координатам начала и конца. Вспомним: координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ с точкой $А (х_{а}; у_{а})$ и $В (х_{в}; у_{в})$ можно рассчитать так: $\overrightarrow{AB} (х_{в} – х_{а}; у_{в} – у_{а})$. А значит, длину вектора мы определим, если подставим эти выражения в формулу для ее нахождения:

Пример

Найти длину вектора $\overrightarrow{ВС}$, если В (4; 6), С (-2; 0).

Решение:

$\overrightarrow{|BC|} = \sqrt{(4+2)^2+(6-0)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.$

Ответ: $\overrightarrow{|BC|} = 6\sqrt{2}.$

---

Как найти длину суммы или разности двух векторов

Это типовая задача из банка ЕГЭ и ОГЭ. Ключевая ошибка — пытаться просто сложить длины векторов. Так делать нельзя: длина суммы векторов — это не сумма их длин.

Алгоритм: как вычислить $|\vec{a} + \vec{b}|$

1. Найдите координаты вектора-суммы: сложите соответствующие координаты по компонентам
2. Запишите новый вектор
3. Примените стандартную формулу длины к новому вектору

Пример 1. Длина суммы двух 2D-векторов

Дано: $\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (-1, 4)$

Шаг 1	Найти координаты суммы $\vec{a} + \vec{b}$	$(3+(-1);\; 1+4) = (2;\; 5)$
Шаг 2	Применить формулу длины	$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$

Для сравнения: $|\vec{a}| = \sqrt{10} \approx 3{,}16$; $|\vec{b}| = \sqrt{17} \approx 4{,}12$. Сумма длин ≈ 7,28, а длина суммы ≈ 5,39 — совершенно другое число.

Пример 2. Квадрат длины суммы векторов (задача типа ЕГЭ)

Дано: $\vec{a} = (2, 3, -1)$, $\vec{b} = (0, -1, 4)$

$$\vec{a} + \vec{b} = (2;\; 2;\; 3)$$

$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 4 + 9 = 17 \implies |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17} \approx 4{,}12$$

Пример 3. Длина разности двух векторов

Дано: $\vec{a} = (5, 2)$, $\vec{b} = (1, -1)$

Шаг 1	Найти координаты разности $\vec{a} - \vec{b}$	$(5-1;\; 2-(-1)) = (4;\; 3)$
Шаг 2	Применить формулу длины	$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

---

Как найти длину вектора по теореме косинусов

Пришло время разобраться, как длина вектора связана с теоремой косинусов. К сожалению, не во всех задачах дано нужное количество информации, чтобы определить длину вектора — тут-то нам и поможет теорема. Вспомним ее!

Итак, чтобы определить длину стороны треугольника, нужно сложить квадраты двух других сторон, вычесть удвоенное произведение длин сторон на косинус угла между ними и взять корень из полученного числа. Так мы получим формулу нахождения длины вектора через теорему косинусов.

Предположим, что нам необходимо узнать длину вектора $\overrightarrow{AC}$ или $\overrightarrow{CA}$. Тогда, чтобы воспользоваться теоремой косинусов, нам нужно найти длину векторов $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{AB}$ и угол между ними.

Пример

Длины векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равны 5 и 12 соответственно, а угол между ними равен π/3. Проведите вычисление длины вектора $\overrightarrow{BC}$.

Решение:

$\overrightarrow{|BC|^2} = \overrightarrow{|AB|^2}+\overrightarrow{|AC|^2}-2\overrightarrow{|AB||AC|}\cos A =25+144-2\cdot5\cdot12\cdot0,5=169-60=109.$

Ответ: $\overrightarrow{|BC|} = \sqrt{109}.$

Сравнение методов

Метод	Когда применять	Что нужно знать
Формула через координаты	Координаты известны	Числовые значения x, y, z
Через сумму/разность координат	Нужна длина суммы или разности двух векторов	Координаты обоих векторов
Теорема косинусов	Координаты неизвестны	Длины двух векторов и угол

---

Нормализация: единичный вектор

После вычисления длины вектора следующий естественный шаг — получить единичный вектор (вектор той же ориентации, но длиной ровно 1). Это называется нормализацией.

Формула единичного вектора

$$\hat{u} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left(\dfrac{x}{|\vec{v}|};\; \dfrac{y}{|\vec{v}|};\; \dfrac{z}{|\vec{v}|}\right)$$

Зачем нужна нормализация

• Когда нужно направление без учёта масштаба (скорость движения, нормаль поверхности)
• В ML: приведение векторов признаков к единой шкале перед косинусным сходством
• В физике: нахождение единичного вектора силы для разложения по компонентам

Пример: нормализация вектора (3, 4)

$$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$$

$$\hat{u} = \left(\dfrac{3}{5};\; \dfrac{4}{5}\right) = (0{,}6;\; 0{,}8)$$

Проверка: $|\hat{u}| = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1$ ✓

---

Типичные ошибки при вычислении длины вектора

Ошибка	Неправильно	Правильно	Пояснение
Складывать модули координат вместо суммы квадратов	$|\vec{v}| = |x| + |y|$	$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$	Это L1-норма (сумма модулей), а не евклидова длина
Путать L1-норму с евклидовой (L2)	$|(3,4)| = 3 + 4 = 7$	$|(3,4)| = \sqrt{9+16} = 5$	L1 и L2 — разные метрики, дающие разные числа
Думать, что $(-x)^2$ даёт отрицательный результат	$\sqrt{1 + (-2)^2} = \sqrt{1-4}$	$(-2)^2 = 4;\; \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$	Квадрат любого числа неотрицателен
Не вычислять разность координат при работе с двумя точками	$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$	$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$	Нужно сначала найти координаты вектора AB
Складывать длины векторов вместо нахождения длины суммы	$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$	$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(a_x+b_x)^2 + (a_y+b_y)^2}$	Длина суммы ≠ сумма длин (кроме сонаправленных векторов)
Путать вектор и его длину	$|\vec{v}| = (3, 4)$	$|\vec{v}| = 5$	Длина — всегда одно неотрицательное число
Считать длину нулевого вектора неопределённой	$|(0,0)| = ?$	$|(0,0)| = 0$	Начало и конец совпадают в одной точке

---

Проверь себя

Проверьте, насколько хорошо усвоен материал. Решите задачи самостоятельно, затем раскройте ответ.

Вопрос 1. Найдите длину вектора $\vec{v} = (5, 12)$.

$|\vec{v}| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$. Пифагорова тройка (5, 12, 13).

Вопрос 2. Найдите $|\overrightarrow{AB}|$ по точкам $A(0, 0, 0)$ и $B(2, 3, 6)$.

$\overrightarrow{AB} = (2, 3, 6);\; |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = \mathbf{7}$.

Вопрос 3. Какая из следующих формул является евклидовой нормой вектора (x, y)?
А) $|x| + |y|$   Б) $\sqrt{x^2 + y^2}$   В) $x^2 + y^2$   Г) $\max(|x|, |y|)$

Верный ответ: Б) $\sqrt{x^2 + y^2}$. Вариант А — L1-норма, В — квадрат нормы, Г — L∞-норма.

Вопрос 4. Вектор $\vec{v} = (1, 1, 1, 1)$. Найдите его длину.

$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 1 + 1} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.

Вопрос 5. Вектор $\vec{v} = (-3, 0, 4)$. Найдите его длину.

$|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$. Знак координаты не влияет на длину.

Вопрос 6. Даны векторы $\vec{a} = (1, 3)$ и $\vec{b} = (2, -1)$. Найдите $|\vec{a} + \vec{b}|$.

$\vec{a} + \vec{b} = (3;\; 2)$. $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$. Обратите внимание: $|\vec{a}| \approx 3{,}16$, $|\vec{b}| \approx 2{,}24$, их сумма ≈ 5,4 ≠ $\sqrt{13}$.

Вопрос 7. Коллинеарны ли векторы $\vec{a} = (2, 4)$ и $\vec{b} = (-1, -2)$?

Да, коллинеарны: $\vec{b} = -\dfrac{1}{2} \cdot \vec{a}$, координаты пропорциональны с коэффициентом −½. Длина $|\vec{a}| = 2\sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$. Они противоположно направлены и не равны.

---

FAQ: Часто задаваемые вопросы о длине вектора

Что такое длина вектора простыми словами?

Длина вектора — это расстояние от начальной точки вектора до его конечной точки. Если представить вектор как стрелку на бумаге, его длина — это то, что можно измерить линейкой. Результат — всегда одно неотрицательное число.

Чем отличается длина вектора от модуля вектора?

Ничем. Длина вектора и модуль вектора — это одно и то же понятие. В школьной геометрии чаще говорят «длина», в алгебре и физике — «модуль». В высшей математике используют термин «норма» или «евклидова норма».

Как найти длину вектора, зная его координаты?

Нужно возвести каждую координату в квадрат, сложить все квадраты и извлечь квадратный корень из полученной суммы. Для вектора $(x, y)$: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Для вектора $(x, y, z)$: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Как вычислить длину вектора, зная координаты начала и конца?

Сначала найдите координаты самого вектора: вычтите координаты начальной точки из координат конечной. Затем примените формулу длины. Если $A = (x_1, y_1)$ и $B = (x_2, y_2)$, то $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Как найти длину суммы двух векторов?

Сначала найдите координаты вектора-суммы: сложите компоненты по отдельности $(x_1+x_2;\; y_1+y_2)$. Затем примените обычную формулу длины к новым координатам. Нельзя просто складывать длины исходных векторов: $|\vec{a} + \vec{b}| \ne |\vec{a}| + |\vec{b}|$ в общем случае.

Что такое коллинеарные векторы и как они связаны с длиной?

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. У коллинеарных векторов длины могут быть любыми — совпадение длин не делает их коллинеарными и не означает равенства.

Когда два вектора считаются равными?

Два вектора равны тогда и только тогда, когда их длины совпадают И они сонаправлены. Одного только совпадения длин недостаточно: векторы $(3, 4)$ и $(-3, -4)$ имеют одинаковую длину 5, но противоположны по направлению — они не равны.

Чему равна длина нулевого вектора?

Длина нулевого вектора равна нулю. Нулевой вектор — единственный вектор, у которого начало и конец совпадают в одной точке. Его длина $|\vec{0}| = 0$ по определению. Это следует из формулы: $\sqrt{0^2 + 0^2} = 0$.

Почему длина вектора с отрицательными координатами остаётся положительной?

Потому что каждая координата возводится в квадрат перед сложением. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(-5)^2 = 25$, $(-3)^2 = 9$. Под корнем всегда стоит неотрицательное число, а квадратный корень из неотрицательного числа — тоже неотрицателен.

Как выразить модуль вектора через его скалярный квадрат?

Скалярный квадрат вектора — это скалярное произведение вектора на себя: $\vec{v} \cdot \vec{v} = x^2 + y^2 + z^2$. По определению нормы: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$, откуда $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Как формула длины вектора связана с теоремой Пифагора?

Формула длины вектора — это и есть теорема Пифагора. Координаты вектора играют роль катетов прямоугольного треугольника, а длина вектора — роль гипотенузы. В 3D теорема применяется дважды: сначала к проекции на плоскость XOY, затем к пространственному треугольнику.

---

Авторитетные источники по теме

• Vector Magnitude: Explanation, Formula, and Practice — MathOpenRef — наглядные интерактивные иллюстрации к формуле модуля вектора
• Vector Norm — Wolfram MathWorld — формальное определение нормы вектора с математической строгостью
• Vectors and the Geometry of Space — LibreTexts Mathematics — университетский учебник с подробным изложением теории векторов в 2D и 3D

Чтобы закрепить пройденный материал, воспользуйтесь нашим бесплатным тренажёром ЕГЭ — там есть задачи именно по векторной теме с пошаговыми разборами.

Сегодня мы обсудили с вами все основные моменты, которые касаются длины вектора: изучили теорию и дополнили ее базовыми задачами. Дело осталось за малым — выучить весь материал и практиковаться! В этом вам помогут курсы подготовки к ЕГЭ по математике в школе Skysmart. Уникальная платформа, учителя-профессионалы, индивидуальная программа — уроки просто созданы для того, чтобы стать уверенными в математике. Ждем вас на занятиях и до новых встреч!