Координаты середины отрезка — формула и примеры

Для кого эта статья

Ключевые выводы из статьи

Хотите системно закрепить не только эту тему, но и всю координатную геометрию? Ознакомьтесь с программой подготовки к математике профильного уровня для 11 класса — там вы найдёте структурированные разборы всех формул аналитической геометрии, разбор типовых задач ЕГЭ и индивидуальную траекторию обучения.

---

Что такое отрезок

Чтобы изучить эту тему досконально, давайте начнём с самого простого: с определения отрезка.

В отличие от луча (имеющего только одно начало) и прямой (бесконечной в обоих направлениях), отрезок имеет конечную длину и строго определённые границы.

Отрезок называют заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. Причём можно расставлять буквы в любом порядке: АВ и ВА — равноценные варианты. Рассмотрите иллюстрацию, посчитайте и назовите все отрезки.

---

Что такое середина отрезка

Если координаты концов отрезка $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то середина отрезка имеет координаты $M\!\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Например, для отрезка с концами в точках A(2, 3) и B(4, 7) середина находится в точке M(3, 5).

Также середина — частный случай пропорционального деления: отрезок делится в отношении 1:1.

На рисунке выше D — середина отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже обозначаются равные по длине отрезки — мы ставим на них равное количество черточек.

Мы можем рассмотреть отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет одна. В Декартовой системе координат оХУ будет две координаты, причём вначале записывают х, потом у. Например: С (5; 3), К (4; 8). Ещё мы можем поместить отрезок в трёхмерное пространство, тогда у каждой точки будет три координаты: х, у, z.

Хорошая новость: в каждом из случаев мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно во всём разберётесь!

Геометрический смысл: среднее арифметическое координат

Рассмотрим простейший случай: отрезок на координатной прямой с концами в точках $x_1$ и $x_2$. Середина этого отрезка — точка, равноудалённая от обоих концов.

Длина отрезка $= x_2 - x_1$ (при $x_2 > x_1$).
Половина $= \dfrac{x_2 - x_1}{2}$.
Середина $= x_1 + \dfrac{x_2 - x_1}{2} = \dfrac{2x_1 + x_2 - x_1}{2} =$ $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

Это и есть среднее арифметическое двух чисел. На плоскости тот же принцип применяется независимо по каждой оси — по оси абсцисс (X) и по оси ординат (Y).

Алгебраическое доказательство формулы

Пусть $A(x_1;\, y_1)$, $B(x_2;\, y_2)$, $M(x_M;\, y_M)$ — середина AB. По определению середины: AM = MB. Это означает:

• $x_M - x_1 = x_2 - x_M \;\rightarrow\; 2x_M = x_1 + x_2 \;\rightarrow\;$ $x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$
• $y_M - y_1 = y_2 - y_M \;\rightarrow\; 2y_M = y_1 + y_2 \;\rightarrow\;$ $y_M = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$

Формула середины отрезка — прямое следствие определения середины и свойств декартовой системы координат.

---

Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой

Координатная прямая — одномерный случай. Здесь точки задаются единственным числом (абсциссой). Формула середины на числовой оси:

$$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

Изобразим горизонтальную координатную прямую оХ и отметим на ней две точки: М и L. Координату точки М запишем как Хм, точки L — соответственно XL. Поставим лежащую на отрезке точку А — середину ML, MA = LA.

Проверим, верна ли формула. Для этого определим координаты середины отрезка графическим методом. Действительно: фактическая координата точки А совпадает со значением, которое мы получили.

Подумайте, взяли ли мы эту формулу случайно или же ее можно вывести. Да, конечно, второй вариант верный — в математике не используют ничего непроверенного. Давайте посмотрим, каким образом можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.

1. Точка А — это середина отрезка, а значит, MA = LA.

2. Расстояние между точками можно рассчитать через разность модулей их координат: │Х_А – Х_М│=│Х_L – Х_А│.

3. Преобразуем правую часть, вынесем знак минуса: Х_А – Х_М= - (Х_А –Х_L).

4. Перенесем Х_А в левую часть, а все остальное — в правую: 2Х_А= Х_L+ Х_М.

5. Найдем Х_А: Х_А = (Х_L + Х_М)/2.

Вот мы и вывели формулу координат середины отрезков! Чтобы лучше закрепить материал, сделаем пару заданий.

Задача 1

Задача 2

---

Как найти середину отрезка на плоскости

Порядок действий

1. Запишите координаты обеих точек — убедитесь, что правильно определили $x_1, y_1$ из точки A и $x_2, y_2$ из точки B.
2. Вычислите $x_M$: найдите сумму $x_1 + x_2$ и разделите на 2.
3. Вычислите $y_M$: найдите сумму $y_1 + y_2$ и разделите на 2.
4. Запишите ответ в виде упорядоченной пары $M(x_M;\, y_M)$.
5. Выполните проверку — убедитесь, что $x_1 + x_2 = 2x_M$ и $y_1 + y_2 = 2y_M$.

В Декартовой системе координат у каждой точки есть две координаты: по оси оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с координатами А (1; 3), В (3; 6) и точкой С — серединой отрезка.

Чтобы найти координаты точки С, мы воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате в отдельности. Вначале рассчитаем Х_с:

Х_с = (Х_А + Х_B)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Тогда У_C = (У_A + У_B)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значит С (2; 4,5).

Не пугайтесь, если отрезок на чертеже параллелен оси оХ или оУ: мы чётко идём по нашему алгоритму и ничего не меняем.

И вновь пришло время задачек. Давайте разберем несколько примеров решения.

Задача 3

Задача 4

---

Координаты середины отрезка в пространстве

Вспомните, чем пространство отличается от плоскости. Правильно, третьим измерением! В том смысле, что добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно посмотреть на рисунке ниже.

При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если мы изобразим в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, тогда:

Х_С = (Х_А + Х_В)/2,

У_С = (У_А + У_В)/2,

Z_С = (Z_А + Z_В)/2.

Разбор примера с решением

---

Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов

По сути, этот способ нельзя назвать каким-то новым и уникальным. Он лишь еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только через алгебру. Чтобы разобраться в нем, давайте сначала вспомним определение вектора.

Векторы — достаточно обширная тема. Чтобы разобраться в ней, не хватит и двух статей. Но сейчас мы с вами будем использовать всего несколько тезисов, которые помогут разобраться в теме.

1. Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т. е. в двумерной и трёхмерной.
2. Координаты начала и конца векторов записывают так же, как и для отрезков: (x; y) и (x; y; z).
3. Сумму векторов можно найти по методу треугольника или параллелограмма.

Давайте разберемся, как доказать формулу для нахождения координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов. В Декартовой системе координат нарисуем вектор $\overrightarrow{АС}$ с серединой в точке К. Координаты точки А (Х_А; У_А; Z_А), К (Х_К; У_К; Z_К), С (Х_С; У_С; Z_С). Проведем радиус-векторы $\overrightarrow{ОС}$, $\overrightarrow{ОА}$, $\overrightarrow{ОК}$.

Согласно определению середины отрезка: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС равны координатам точек А, К, С, так как координаты точки О (0; 0; 0).

ОА = (Х_А; У_А; Z_А),   ОК = (Х_К; У_К; Z_К),   ОС = (Х_С; У_С; Z_С).

Тогда запишем равенство ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:

Х_К = 1/2(Х_А + Х_С),   У_К = 1/2(У_А + У_С),   Z_К = 1/2(Z_А + Z_С).

---

Формула координат середины отрезка

Формула для плоскости (2D)

Пусть на координатной плоскости заданы две точки: $A(x_1;\, y_1)$ и $B(x_2;\, y_2)$. Середина отрезка AB — точка M — имеет координаты:

Координата	Формула	Смысл
Абсцисса (x)	$x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$	Среднее арифметическое абсцисс концов отрезка
Ордината (y)	$y_M = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$	Среднее арифметическое ординат концов отрезка

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Формула для пространства (3D)

В трёхмерной системе координат для точек $A(x_1;\, y_1;\, z_1)$ и $B(x_2;\, y_2;\, z_2)$ формула расширяется:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2};\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$

Параметр	Плоскость (2D)	Пространство (3D)
Число координат точки	2 (x, y)	3 (x, y, z)
Формула середины	$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$	$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\, \dfrac{y_1+y_2}{2};\, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$
Уровень курса	5–9 класс	10–11 класс (стереометрия)
Наличие в ОГЭ/ЕГЭ-2026	✅ Да, базовый уровень	✅ Да, базовый уровень (1 балл)

---

Применение формулы: медиана и средняя линия

Медиана треугольника через координаты вершин

Средняя линия треугольника и трапеции

---

Задачи с точками на осях координат

Расположение концов	Особенность	Формула без изменений?
Оба конца на оси X	$y_1 = y_2 = 0$; середина тоже на оси X	✅ Да
Один конец на оси X, другой на оси Y	$y_1 = 0$, $x_2 = 0$; нули — полноправные слагаемые	✅ Да
Один конец — начало координат O(0;0)	$x_M = x_2/2$, $y_M = y_2/2$	✅ Да
Оба конца в начале координат	Отрезок вырождается в точку; M = O(0;0)	✅ Да (тривиальный случай)

---

Пошаговые примеры решения задач

Пример 1 — целые координаты (простой уровень)

Пример 2 — дробные и отрицательные числа

Пример 3 — горизонтальный и вертикальный отрезок

Пример 4 — середина в пространстве (3D)

Пример 5 — нахождение конца по известной середине (обратная задача)

---

Частые ошибки и как их избежать

Ошибка 1 — усредняют только одну координату

Неверно: $y_M$ берут как $y_1$ или $y_2$ без усреднения.
Верно: усреднять нужно каждую координату отдельно — и x, и y (и z в 3D).

Ошибка 2 — делят на число, отличное от 2

Неверно: $x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{4}$.
Верно: знаменатель всегда равен 2.

Ошибка 3 — теряют знак «минус» у отрицательных координат

Пример ошибки: A(–5; 3), B(1; 7). Ошибочно: $x_M = (5 + 1)/2 = 3$.
Верно: $x_M = (-5 + 1)/2 = -2$. Записывайте алгебраическую сумму в скобках.

Ошибка 4 — игнорируют нули у точек на осях

A(4; 0) на оси абсцисс, B(0; 6) на оси ординат. Ноль — это полноценная координата: $y_M = (0 + 6)/2 = 3$, а не $6/2 = 3$ из соображений «$y_1$ отсутствует».

Как проверить ответ

Способ	Как выполнить	Что проверяет
Арифметическая проверка	Убедитесь, что $x_1 + x_2 = 2x_M$ и $y_1 + y_2 = 2y_M$	Согласованность вычислений
Геометрическая проверка	Вычислите |AM| и |MB| — они должны быть равны	Равноудалённость от концов

---

Задачи для практики

Базовый уровень

№	Условие	Ответ
1	A(0; 0), B(4; 6) — найдите середину AB	M(2; 3)
2	A(1; 1), B(9; 9) — найдите середину AB	M(5; 5)
3	A(–2; 4), B(6; 4) — найдите середину AB	M(2; 4)
4	A(0; –8), B(0; 8) — найдите середину AB	M(0; 0)
5	A(3; –5), B(3; 11) — найдите середину AB	M(3; 3)

Средний уровень

№	Условие	Ответ
6	A(–7; 3), B(5; –9) — найдите середину AB	M(–1; –3)
7	$A\!\left(\dfrac{1}{2};\, 3\right)$, $B\!\left(\dfrac{7}{2};\, 5\right)$	M(2; 4)
8	Середина M(3; 1), конец A(–1; 5) — найдите B	B(7; –3)
9	$A(\sqrt{2};\, 0)$, $B(3\sqrt{2};\, 4)$	$M(2\sqrt{2};\, 2)$
10	Середина M(0; 0), конец A(–4; 6) — найдите B	B(4; –6)

Повышенный уровень

№	Условие	Ответ
11	A(2; –1; 4) и B(–6; 3; 8) в пространстве. Найдите середину AB.	M(–2; 1; 6)
12	Середина диагонали прямоугольника M(3; 4). Один конец A(1; 2). Найдите B.	B(5; 6)
13	Вершины треугольника A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8). Найдите середины всех трёх сторон.	$M_{AB}(3;\, 0)$, $M_{BC}(3;\, 4)$, $M_{AC}(0;\, 4)$
14	Треугольник A(2; 0), B(8; 0), C(5; 6). Найдите длину медианы из C на AB.	$M_{AB}(5;\, 0)$; $|CM_{AB}| = 6$
15	A(10; 0) на оси абсцисс, B(0; 6) на оси ординат. Найдите середину AB.	M(5; 3)

---

Графический метод: как найти середину отрезка с помощью циркуля

Давайте подумаем, как можно найти середину отрезка, если мы не знаем координат его концов. Например, нарисуем отрезок на песчаном пляже. Всё что вам понадобится — это циркуль.

---

Часто задаваемые вопросы

---

Дополнительные источники

• Midpoint — Wolfram MathWorld — строгое математическое определение середины отрезка с формулами и теоремами
• Midpoint Formula — Math Is Fun — наглядное интерактивное объяснение формулы с примерами для самопроверки
• The Midpoint Formula — Monterey Institute — академический курс с доказательствами и задачами повышенного уровня

Приходите на курсы по профильной математике в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящий циркуль на самодельный, но ещё подготовитесь к экзаменам, разовьёте логику и узнаете много всего интересного.