Анализ утверждений в ЕГЭ — советы и разбор
Статья будет полезна:
- Ученикам 9–11 классов, готовящимся к ЕГЭ по математике базового уровня
- Родителям школьников, которые организуют или сопровождают подготовку к экзамену
- Учителям математики и репетиторам, разрабатывающим материалы по заданию 8
- Мотивированным ученикам 7–8 классов, начинающим раннюю подготовку к ЕГЭ
Ключевые выводы из статьи:
- Задание 8 — это не интуиция, а чёткий алгоритм из 6 шагов: освоив его, можно решать любое утверждение системно, без угадывания
- Три варианта ответа («верно», «неверно», «нельзя однозначно») подчиняются строгой логике: один контрпример делает утверждение неверным, а два противоположных примера — неопределённым
- Большинство ошибок на экзамене — не от незнания математики, а от логических ловушек: подмены понятий, игнорирования граничных случаев и путаницы между прямым и обратным утверждением
- 7-дневный план подготовки по 25 минут в день позволяет полностью закрыть задание 8 даже при дефиците времени
Если вы хотите системно закрыть не только задание 8, но и все остальные задания экзамена — изучите материалы подготовки к ЕГЭ по математике (база): там собраны разборы всех типов заданий, тренировочные варианты и персональный трек обучения.
Задание ЕГЭ на анализ утверждений
Задание на анализ утверждений встречается только в базовом уровне экзамена по математике под №8. Если ученик выполнит его верно, он получит 1 первичный балл.
В этом задании дано условие и несколько утверждений к нему. Ученику нужно выбрать верные из списка предложенных вариантов и записать их в ответ.
Это важно
Утверждение можно считать верным только тогда, когда оно остаётся таковым во всех случаях при заданных в условии обстоятельствах. Если хотя бы 1 его деталь противоречит условию, утверждение уже нельзя считать верным.
Как выглядит задание в КИМе
В бланке экзамена задание формулируется примерно так: «Определите, какое из следующих утверждений верно / неверно / нельзя однозначно определить». Это типичная формулировка из открытого банка заданий ФИПИ. В ответ нужно записать число или букву, соответствующую правильному варианту.
Совет эксперта
Задание 8 в КИМ ЕГЭ базового уровня — одно из немногих, где проверяется не вычислительный навык, а умение рассуждать. Именно поэтому его боятся больше, чем оно того заслуживает. Методически грамотный подход превращает это задание в одно из самых предсказуемых во всём варианте.
Три варианта ответа: чем они отличаются
| Ответ | Что означает | Когда выбирать |
|---|---|---|
| Верно | Утверждение истинно при всех допустимых условиях | Нет ни одного контрпримера |
| Неверно | Утверждение ложно — хотя бы в одном случае | Найден хотя бы один контрпример |
| Нельзя однозначно определить | Утверждение верно при одних значениях и неверно при других | Есть пример «да» и пример «нет» |
Как выполнять задания на анализ утверждений
Это простое задание, но и его можно выполнить неверно, если быть невнимательным. Чтобы получить за него балл, следуйте такому алгоритму:
Вдумчиво прочитайте условие.
Соотнесите каждое предложенное утверждение с условием задания.
Если нужно, выполните расчёты или сравнение величин из условия.
Определите, какие из утверждений верны.
Запишите в ответ их номера в любом порядке без знаков препинаний и пробелов.
Это важно
Помните: все утверждения в этом задании не могут быть неверными. В ответе должен быть хотя бы 1 номер.
Чек-лист: типичные ловушки и как их не пропустить
Большинство ошибок в задании 8 ЕГЭ по математике базового уровня — не от незнания темы, а от невнимательности к деталям формулировки. Пройдите по этому чек-листу перед записью ответа.
| Ловушка | Как проверить |
|---|---|
| Условие для «всех» или для «некоторых»? | Найди квантор в тексте утверждения |
| Есть ли ограничение «натуральное», «целое», «положительное»? | Подчеркни область значений в условии |
| Проверен ли ноль и отрицательные числа? | Подставь x = 0 и x = −1 явно |
| Не перепутана ли импликация с равносильностью? | «А следует из Б» ≠ «Б следует из А» |
| Проверены ли граничные случаи (равенство, концы промежутка)? | Подставь минимальное и максимальное допустимое значение |
| Не принят ли частный случай за общее правило? | Проверь ещё 2–3 разных значения переменной |
Важно: Ответ «нельзя однозначно определить» — это не «я не знаю». Это конкретный, математически обоснованный ответ, который нужно выбирать только тогда, когда у вас есть два конкретных примера: один, при котором утверждение выполняется, и один, при котором не выполняется.
Математические факты и формулы, которые нужны для задания 8
Задание 8 в базовой математике не требует знания сложных теорем. Достаточно уверенно владеть следующими блоками.
Алгебра и числа
| Тема | Типичная ловушка в утверждении |
|---|---|
| Степени и корни | √(x²) = |x|, а не x; (−2)² = 4, не −4 |
| Неравенства | При умножении на отрицательное число знак меняется |
| Чётные и нечётные числа | Чётное × нечётное = чётное; нечётное + нечётное = чётное |
| Модуль | |a + b| ≤ |a| + |b|; |a| = |b| не значит a = b |
| Дроби | При a < b не всегда 1/a > 1/b (зависит от знаков) |
Геометрия
| Тема | Ключевое свойство |
|---|---|
| Треугольники | Сумма углов = 180°; каждая сторона меньше суммы двух других |
| Четырёхугольники | Сумма углов = 360°; у ромба диагонали перпендикулярны, но не равны |
| Параллельность и перпендикулярность | Два перпендикуляра к одной прямой — параллельны между собой |
| Окружность | Вписанный угол = половина центрального; касательная ⊥ радиусу |
Функции и графики
| Свойство | Пример утверждения-ловушки |
|---|---|
| Монотонность | «Если f(a) > f(b), то a > b» — верно только для возрастающих функций |
| Чётность/нечётность | f(x) = x³ — нечётная; f(−x) = −f(x) |
| Область значений | y = x² ≥ 0 при любом x; y = √x ≥ 0; sin(x) ∈ [−1; 1] |
Основы логики: «верно», «неверно», «нельзя однозначно»
Задание на анализ утверждений в базовой математике ЕГЭ опирается на элементы математической логики. Знать термины «импликация» или «силлогизм» не нужно — но понимать, как они работают, необходимо.
Что значит «утверждение верно»
Утверждение верно, если оно выполняется при всех допустимых значениях переменных, указанных в условии. Квантор всеобщности «для всех» — это высокий стандарт: нужно, чтобы не было ни одного исключения.
Что значит «неверно»
Достаточно одного контрпримера — одного набора значений, при котором утверждение нарушается. Это принцип отрицания: утверждение «все A являются B» опровергается одним A, которое не является B.
Что значит «нельзя однозначно определить»
Этот ответ выбирается, когда утверждение зависит от конкретных значений: при одних оно верно, при других — нет. Иными словами, у вас есть и подтверждающий пример, и контрпример.
Совет эксперта
Главная путаница — между «неверно» и «нельзя однозначно». Правило простое: если вы нашли контрпример, но больше не искали пример, где утверждение выполняется — вы рискуете выбрать «неверно» вместо «нельзя однозначно». Всегда проверяйте оба направления.
Таблица решений: три сценария
| Ситуация | Пример из задачи | Ответ |
|---|---|---|
| Верно при всех допустимых значениях | «Квадрат любого числа неотрицателен» | Верно |
| Есть хотя бы один контрпример | «Если a > b, то a² > b²» — нет: a=−3, b=1 | Неверно |
| Верно при одних значениях, неверно при других | «a/b > 1» при a=3, b=2 — верно; при a=1, b=3 — нет | Нельзя однозначно |
Примеры решения
Чтобы закрепить результат, разберём задания на анализ утверждений из демоверсии ЕГЭ базового уровня по математике и вариантов из Открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ.
Задание №8
В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.
Найдётся хотя бы двое учеников из этого класса, посещающих оба кружка.
Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
В условии сказано, что 13 человек из 20 посещают кружок по истории и 10 из 20 — по математике, поэтому все ученики не могут ходить в оба кружка одновременно. Утверждение неверно.
Предположим, что каждый ученик посещает только 1 кружок. Но 13 + 10 = 23, что больше количества учеников в классе. Значит, минимум 3 из ребят ходят в оба кружка. Утверждение верно.
Лишь 10 ребят дополнительно занимаются математикой, тогда как историей – 13. Поэтому даже в случае, когда все 10 математиков учат и историю тоже, 3 историков не могут посещать второй кружок. Утверждение неверно.
Из предыдущих рассуждений делаем вывод, что одновременно оба кружка могут посещать только 10 человек. Следовательно, это верное утверждение.
Ответ: 24
Задание №8
Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.
Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же.
Любое дерево помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же.
Любое дерево помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Чтобы решить эту задачу, присвоим высотам деревьев значения: ясень — x, рябина — x – 1, осина — x + 2. Далее сравним их:
x – 1 < x < x + 2.
Сравнение показывает, что все указанные в условии деревья разной высоты. Значит, утверждение верно.
Ясень не может быть выше осины, потому что в условии написано обратное — он ниже неё на 2 метра. Утверждение неверно.
Разница в высоте ясеня и рябины — 1 метр. Если другое дерево будет ниже ясеня, допустим, на полметра, оно будет всё ещё выше рябины. Утверждение неверно.
Сравнение показывает, что рябина — самое низкое дерево из указанных. Выходит, если другое будет ниже неё, оно автоматически будет ниже всех прочих из условия, включая ясень. Утверждение верно.
Ответ: 14
Задание №8
В жилых домах, в которых больше 12 этажей, установлены электрические плиты, газовые плиты не устанавливаются. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме меньше 13 этажей.
Если в доме больше 12 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
Если в доме установлены газовые плиты, то в нём больше 12 этажей.
Если в доме 15 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Согласно условию, дома с 12 и менее этажами имеют газовые плиты. «Меньше 13» включает 12-й этаж тоже. Значит, утверждение верно.
Утверждение верно, т. к. дословно повторяет условие задачи.
Утверждение неверное, т. к. в условии сказано обратное — в зданиях с 12 и более этажами устанавливают только электрические плиты.
Утверждение неверное, т. к. оно противоречит тому же условию, что и предыдущее.
Ответ: 12.
Задание 8
На соревнованиях сборная России завоевала медалей больше, чем сборная Канады, сборная Канады — больше, чем сборная Германии, а сборная Норвегии — меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
Из названных сборных команда Канады заняла второе место по числу медалей.
Среди названных сборных есть три, завоевавшие равное количество медалей.
Сборная Германии завоевала больше медалей, чем сборная России.
Сборная России завоевала больше медалей, чем каждая из остальных трёх сборных.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Обозначим сборную России как «Р», Канады — «К», Германии — «Г», Норвегии — «Н» и расставим их в порядке количества медалей:
Р > К > Г, Н < К.
Утверждение верно, т. к. больше сборной Канады медалей заработала только сборная России, это видно по цепочкам сравнений.
Первое место заняла сборная России, второе — сборная Канады. Согласно условию, сборные Германии и Норвегии обе получили меньше медалей, чем канадцы. Их соотношение друг с другом мы не знаем, поэтому можно предположить, что их счёт равен. Но даже в этом случае утверждение неверно, потому что нет третьей сборной с теоретически таким же результатом.
Утверждение неверно — оно противоречит условию, что видно по цепочке сравнений.
Согласно цепочке сравнений и предыдущим рассуждениям, утверждение верно.
Ответ: 14
Разбор задач с объяснениями
Задачи сгруппированы по сложности и типу: от простых к составным. Каждая задача разобрана по формату: утверждение → шаги мышления → контрпример или доказательство → ответ с форматом записи → вывод-правило.
Блок А — Числа и алгебра (Задачи 1–8)
Задача 1.
Утверждение: «Сумма двух нечётных чисел является нечётным числом».
Шаги: Проверим: 1 + 3 = 4 (чётное). Контрпример найден сразу.
Правило: Нечётное + нечётное = чётное. Это фиксированный факт, не зависящий от конкретных чисел.
Задача 2.
Утверждение: «Если число делится на 6, то оно делится на 3».
Шаги: 6 = 2 × 3. Любое кратное 6 содержит множитель 3. Контрпримера нет.
Правило: Делимость на составное число влечёт делимость на каждый из его простых множителей.
Задача 3.
Утверждение: «Если a² = b², то a = b».
Шаги: Пусть a = 3, b = −3. Тогда a² = 9 = b², но a ≠ b. Контрпример есть.
Правило: Из a² = b² следует |a| = |b|, то есть a = b или a = −b. Это типичная ловушка с отрицанием.
Задача 4.
Утверждение: «Произведение двух отрицательных чисел — отрицательное».
Шаги: (−2) × (−3) = 6 > 0. Контрпример.
Правило: Минус на минус — плюс. Базовый факт, который при стрессе забывают.
Задача 5.
Утверждение: «При любом целом n выражение n² + n чётно».
Шаги: n² + n = n(n + 1). Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них всегда чётное → произведение чётное. Контрпримера нет.
Правило: Произведение двух последовательных целых всегда чётно.
Задача 6.
Утверждение: «Если a > 0 и b > 0, то a/b > 1».
Шаги: При a = 1, b = 2: a/b = 0,5 < 1. Контрпример.
Правило: Оба числа положительные — это не значит, что их отношение больше 1.
Задача 7.
Утверждение: «√(a² + b²) = a + b для положительных a и b».
Шаги: a = 3, b = 4: √(9 + 16) = √25 = 5, но a + b = 7. Контрпример.
Правило: √(a² + b²) ≠ a + b в общем случае. Равенство выполняется только при a = 0 или b = 0.
Задача 8.
Утверждение: «Если a делится на 4, то a делится на 8».
Шаги: a = 4: делится на 4, но 4 ÷ 8 — не целое число. Контрпример.
Правило: Из делимости на 4 не следует делимость на 8. Обратное — верно: из делимости на 8 следует делимость на 4.
Итог блока А: Самый работающий приём — подстановка маленьких конкретных чисел, особенно нуля и отрицательных. 6 из 8 задач блока решаются контрпримером за 30–40 секунд.
Блок Б — Геометрия (Задачи 9–14)
Задача 9.
Утверждение: «В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона».
Шаги: Это теорема о соотношении углов и сторон треугольника. Контрпримера не существует.
Правило: Знание базовых теорем геометрии позволяет мгновенно отвечать на подобные утверждения.
Задача 10.
Утверждение: «Если у четырёхугольника диагонали равны, то он является прямоугольником».
Шаги: Равнобедренная трапеция тоже имеет равные диагонали, но не является прямоугольником. Контрпример.
Правило: Равенство диагоналей — необходимое, но не достаточное условие для прямоугольника.
Задача 11.
Утверждение: «Сумма двух углов треугольника может быть больше 180°».
Шаги: Сумма всех трёх углов = 180°. Два угла — часть этой суммы, значит их сумма всегда меньше 180°.
Правило: Сумма углов треугольника строго равна 180°.
Задача 12.
Утверждение: «Если два угла треугольника острые, то третий угол тоже острый».
Шаги: Треугольник 80°, 80°, 20° — все острые. Но 80°, 10°, 90° — третий прямой. Два противоположных примера.
Правило: Даже зная два угла, нельзя утверждать про третий без конкретных значений.
Задача 13.
Утверждение: «У ромба все углы равны 90°».
Шаги: Ромб с углами 60°, 120°, 60°, 120° — существует. Контрпример.
Правило: У ромба все стороны равны, но углы могут быть любыми. Прямые углы + равные стороны = квадрат.
Задача 14.
Утверждение: «Если периметры двух прямоугольников равны, то их площади тоже равны».
Шаги: Прямоугольник 1×5 (периметр 12, площадь 5) и 3×3 (периметр 12, площадь 9). Контрпример.
Правило: Равный периметр не означает равную площадь. Классическая ловушка на смешение геометрических характеристик.
Итог блока Б: Главный приём в геометрии — конкретный контрпример с числами. Нарисуйте фигуру, если затрудняетесь с воображением. Визуализация снимает до 80% сомнений.
Блок В — Комбинированные и сложные утверждения (Задачи 15–20)
Задача 15.
Утверждение: «В классе 30 учеников. Если все мальчики получили пятёрки, то более половины класса получили пятёрки».
Шаги: Число мальчиков неизвестно. Если мальчиков 10 — пятёрки у меньшинства. Если 20 — у большинства.
Правило: Если размер группы не задан — ответ почти всегда «нельзя однозначно».
Задача 16.
Утверждение: «Все туристы в группе побывали в Москве. Иван — турист из этой группы. Следовательно, Иван побывал в Москве».
Шаги: Прямой силлогизм: все A имеют свойство B, Иван — A, значит Иван имеет свойство B. Логически корректно.
Правило: Прямой силлогизм всегда даёт верный вывод, если обе посылки истинны.
Задача 17.
Утверждение: «Все туристы побывали в Москве. Иван побывал в Москве. Следовательно, Иван — турист из этой группы».
Шаги: Иван мог побывать в Москве по другим причинам, не будучи в группе. Ошибка обратного вывода.
Правило: Из «все A → B» не следует «все B → A». Самая частая ловушка в логических задачах.
Задача 18.
Утверждение: «Если рост ученика больше 170 см, то он старше 15 лет».
Шаги: Ученик может быть 14 лет и ростом 172 см. Контрпример из реальной жизни.
Правило: Причинно-следственная связь без обоснования — всегда подозрительна. Ищите контрпример из жизненного опыта.
Задача 19.
Утверждение: «В квартире живут кошка или собака (или оба). Кошки в квартире нет. Следовательно, в квартире живёт собака».
Шаги: «A или B» + «не A» → B. Корректный вывод.
Правило: Закон исключения дизъюнкта: если из «А или Б» убрать A, остаётся B.
Задача 20.
Утверждение: «Среди учеников класса есть отличники. Петров не отличник. Следовательно, Петров не учится в этом классе».
Шаги: Из «в классе есть отличники» не следует, что все ученики — отличники. Петров может учиться в классе и не быть отличником.
Правило: «Некоторые A являются B» не значит «все A являются B».
Итог блока В: Три ловушки: обратная импликация, некорректное обобщение с «некоторых» на «все» и недостаточность параметрических условий. Запомните их — и вы закроете 90% сложных вариантов.
Теперь вы без труда справитесь с заданием ЕГЭ №8. Но лучше перестраховаться — попрактикуйтесь, чтобы закрепить результат, на заданиях Тренажёра ЕГЭ. Там есть все виды пробных экзаменационных заданий по этой и другим темам. Это бесплатно!
Самопроверка: мини-тест из 10 утверждений
Проверьте себя. Для каждого утверждения выберите ответ: «верно», «неверно» или «нельзя однозначно определить».
| № | Утверждение | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | Квадрат любого целого числа положителен | Неверно (0² = 0) |
| 2 | Сумма двух простых чисел всегда чётна | Неверно (2 + 3 = 5 — нечётное) |
| 3 | Если a > b, то −a < −b | Верно |
| 4 | Произведение трёх целых чисел чётно | Нельзя однозначно (1×3×5 = 15 нечётное; 2×3×5 = 30 чётное) |
| 5 | У любого прямоугольника диагонали перпендикулярны | Неверно (только у квадрата) |
| 6 | Если число оканчивается на 0, оно делится на 10 | Верно |
| 7 | |a − b| = |a| − |b| | Неверно (a=1, b=3: |1−3|=2, |1|−|3|=−2) |
| 8 | Сумма углов любого четырёхугольника равна 360° | Верно |
| 9 | Если a² > b², то a > b | Неверно (a=−3, b=2: 9 > 4, но −3 < 2) |
| 10 | Число, делящееся на 2 и на 3, делится на 6 | Верно |
Шкала результатов:
- 9–10 правильных: Отличная подготовка. Отработайте скорость.
- 7–8 правильных: Хороший уровень. Повторите свойства модуля и степеней.
- 5–6 правильных: Средний уровень. Проработайте блок логических основ заново.
- Менее 5: Начните с алгоритма из шести шагов и блока А разбора задач.
Памятка-шпаргалка
Всё самое важное в одном месте — используйте как быстрый повтор перед экзаменом.
| Элемент | Содержание |
|---|---|
| Алгоритм 6 шагов | Прочитать → Определить область → Проверить частные случаи → Искать контрпример → Проверить оба направления → Зафиксировать ответ |
| Чек-лист ловушек | Квантор | Область | Нуль и отрицательные | Импликация vs равносильность | Граничные случаи | Частное vs общее |
| 3 ответа | Верно (нет контрпримера) | Неверно (есть контрпример) | Нельзя однозначно (есть оба примера) |
| Формат записи ответа | Цифры подряд без пробелов и запятых: 14 (не «1,4» и не «1 4») |
| Формула для множеств | |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| |
| Метод цепочки сравнений | Записать все элементы в порядке < или > и проверить утверждение по цепочке |
| Топ-5 ошибок | Обратная импликация | Игнор нуля | √(x²)=x вместо |x| | Равные периметры ≠ равные площади | «Некоторые» ≠ «Все» |
Авторитетные источники по теме
Важные ресурсы для углублённого изучения
- FIPI — Federal Institute for Pedagogical Measurement (Official Portal) — официальный банк заданий и кодификаторы ЕГЭ по всем предметам, включая базовую математику.
- Rosobrnadzor — Understanding the Structure of the Unified State Exam in Mathematics — официальные методические материалы и нормативная база ЕГЭ от регулятора.
- OECD iLibrary — Education at a Glance 2023: Assessment Systems of the Russian Federation — международный сравнительный анализ системы образования и оценивания в России.
FAQ: ответы на частые вопросы
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
