Задачи на совместную работу — решения и примеры
Для кого эта статья
- 📚 Ученикам российских школ (5–11 классы), готовящимся к контрольным, ВПР и ОГЭ
- 👨👩👧 Родителям школьников, помогающим с домашними заданиями и подготовкой к экзаменам
- 🏫 Учителям и репетиторам математики, ищущим структурированные разборы для уроков
- 🎯 Самостоятельным учащимся, желающим улучшить навыки решения текстовых задач
Ключевые выводы статьи
- ✅ В задачах на совместную работу складывают производительности, а не время — это главное правило, нарушение которого даёт неверный ответ в 80% случаев
- ✅ Принятие всего объёма работы за единицу (1) — универсальный приём, превращающий любую текстовую задачу в стандартное уравнение
- ✅ Табличный метод — основной инструмент решения: он структурирует данные и исключает ошибки в составлении уравнения
- ✅ Задачи с трубами, бассейнами и насосами решаются по тем же формулам, что и задачи про рабочих — меняется только контекст, математическая модель идентична
- ✅ Знание алгоритма из 5 шагов и умение классифицировать тип задачи сокращает время решения на экзамене в 2–3 раза
Как устроен принцип совместной работы
Почему складывают производительность, а не время
Это самый распространённый концептуальный барьер. Разберём через физический смысл.
Время — это индивидуальная характеристика каждого исполнителя при работе в одиночку. Оно не «переносится» на совместную работу напрямую. А вот производительность (количество работы в единицу времени) — это вклад, который каждый участник вносит в общий результат одновременно с другими.
Если первый мастер за час выполняет $\dfrac{1}{6}$ работы, а ученик — $\dfrac{1}{4}$ работы, то за один и тот же час вместе они выполняют $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}$ работы. Это прямое следствие формулы $A = p \cdot t$, применённой к обоим участникам одновременно.
💡 Совет эксперта
Мы объясняем ученикам так: «Каждый работает в своём темпе, но работают они одновременно. Значит, за каждый час к общему результату прибавляется вклад первого и вклад второго. Вот почему производительности складываются». Эта формулировка закрывает 90% непонимания.
Типы задач на совместную работу
| Тип | Признак в условии | Метод решения | Формула/подход |
|---|---|---|---|
| Тип 1 | «Все работают одновременно весь период» | Прямое сложение производительностей | $T = \dfrac{1}{p_1 + p_2 + \ldots}$ |
| Тип 2 | «Один начал раньше / позже» | Разбить на 2 этапа, составить уравнение | $p_1 \cdot t_1 + p_2 \cdot t_2 = 1$ |
| Тип 3 | «Работали поочерёдно / по очереди» | Подсчёт циклов или остатка работы | Сумма вкладов каждого цикла = 1 |
| Тип 4 | «Один выполнил часть, затем вместе» | Вычесть выполненное, оставшееся — совместно | $A_\text{ост} = 1 - p_1 \cdot t_1;\ T_\text{совм} = \dfrac{A_\text{ост}}{p_\text{совм}}$ |
| Тип 5 | «Один ломает / расходует / опустошает» | Производительность «разрушителя» вычитается | $p_\text{рез} = p_\text{созд} - p_\text{разр}$ |
| Тип 6 | «Трубы, бассейн, насосы» | Те же формулы, бассейн = объём работы = 1 | Аналогично Тип 1–5 |
Табличный метод для решения задач на работу
Один из способов решения задач на совместную работу — заполнение таблицы и составление уравнения.
Табличный метод позволяет хорошо проанализировать информацию, определить, какие данные известны, а какие нет, заметить взаимосвязь между величинами.
Пример таблицы для заполнения:
| P | t | А | |
|---|---|---|---|
| I | |||
| II | |||
| Вместе |
В задачах на совместную работу чаще всего идёт речь о трёх величинах:
-
Работа (обозначается буквой А) — непосредственное действие персонажей в задаче, которое может быть описано количественно (изготовил 100 деталей, обработал 4 поля и т. д.) или просто упомянуто (выполнил задание, работу, заполнил бассейн и т. д.).
Если в задаче нет упоминания, какую конкретно работу выполнил персонаж, мы можем обозначить работу за единицу А = 1, в ином случае — запишем количество деталей, полей и т. п.
-
Производительность или скорость выполнения работы (обозначается буквой P, иногда буквой V) — часть работы, выполненная в единицу времени. Например: повар изготавливает 20 булочек в час, трактор обрабатывает половину поля за день и т. д.
-
Время (обозначается буквой t) — промежуток времени, затраченный на выполнения работы.
Эти величины взаимосвязаны формулой: $A = Pt$, откуда $P=\dfrac{A}{t}$; $t=\dfrac{A}{P}$.
Помимо этого, важно понимать: при совместной работе мы можем складывать производительности персонажей и выполненную ими работу, но не время!
Пример: заполнение таблицы шаг за шагом
Условие: Мастер делает заказ за 8 часов, ученик — за 12 часов. За сколько часов выполнят вместе?
Шаг 1–2: Заполняем известное
| Участник | Объём работы (A) | Время (t), ч | Производительность ($p = A/t$) |
|---|---|---|---|
| Мастер | 1 | 8 | $\dfrac{1}{8}$ |
| Ученик | 1 | 12 | $\dfrac{1}{12}$ |
| Вместе | 1 | T = ? | $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{24}$ |
Шаг 3–4: Составляем уравнение и решаем
Из строки «Вместе»: производительность × время = 1, то есть $\dfrac{5}{24} \cdot T = 1$.
Отсюда: $T = \dfrac{1}{\dfrac{5}{24}} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ ч $= 4$ ч 48 мин.
✅ Почему таблица помогает на экзамене
Таблица наглядно показывает, какие величины известны, а какие — нет. Даже если ход рассуждений верен, но решение не оформлено таблично, ученик рискует пропустить один из этапов. Таблица работает как встроенная «система контроля» — пустая ячейка сразу сигнализирует: здесь нужна переменная или уравнение.
Общий знаменатель и НОК при сложении производительностей
Для учеников 5–7 классов и участников ВПР-6 это критически важный шаг. Чтобы сложить производительности двух исполнителей, нужно сложить обыкновенные дроби с разными знаменателями — а для этого необходимо найти общий знаменатель.
Как найти НОК и привести дроби к общему знаменателю
НОК (Наименьшее общее кратное) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа без остатка. Именно НОК используется как общий знаменатель при сложении дробей.
Пример 1: Производительности $\dfrac{1}{12}$ и $\dfrac{1}{18}$. Найдём НОК(12, 18).
Разложим на множители: $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$. НОК $= 2^2 \times 3^2 = 36$.
Приводим: $\dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{36}$, $\dfrac{1}{18} = \dfrac{2}{36}$.
Сумма: $\dfrac{3}{36} + \dfrac{2}{36} = \dfrac{5}{36}$.
Пример 2: Производительности $\dfrac{1}{6}$ и $\dfrac{1}{4}$. НОК(6, 4) = 12.
$\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$. Сумма: $\dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$.
Быстрый способ найти НОК для двух чисел
| Числа $t_1$ и $t_2$ | НОК | $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}$ | Совместное время |
|---|---|---|---|
| 6 и 4 | 12 | $\dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ | $\dfrac{12}{5} =$ 2 ч 24 мин |
| 8 и 12 | 24 | $\dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{5}{24}$ | $\dfrac{24}{5} =$ 4 ч 48 мин |
| 6 и 9 | 18 | $\dfrac{3}{18} + \dfrac{2}{18} = \dfrac{5}{18}$ | $\dfrac{18}{5} =$ 3 ч 36 мин |
| 5 и 20 | 20 | $\dfrac{4}{20} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{20}$ | $\dfrac{20}{5} =$ 4 ч |
| 10 и 15 | 30 | $\dfrac{3}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{5}{30}$ | $\dfrac{30}{5} =$ 6 ч |
📌 Совет для 6 класса (ВПР)
Если числа в задаче не очень большие, попробуй «перебор» кратных: запиши кратные числа $t_1$ и $t_2$ в столбик и найди первое совпадение — это и есть НОК. Например, кратные 8: 8, 16, 24; кратные 12: 12, 24. НОК = 24. После этого сложение дробей становится механическим действием.
Как работа связана с задачами на встречное движение
Один из самых эффективных способов снять «психологический барьер» перед задачами на работу — показать, что математически они абсолютно тождественны хорошо знакомым задачам на движение. Если вы умеете решать задачи про пешеходов, идущих навстречу, — вы уже умеете решать задачи на совместную работу.
Таблица аналогий: движение ↔ работа
| Задача на движение | Задача на работу |
|---|---|
| Расстояние $S$ (путь) | Объём работы $A$ (принимается за 1) |
| Скорость $v$ (км/ч) | Производительность $p$ (доля работы/ч) |
| Время $t$ (ч) | Время $t$ (ч) |
| $S = v \cdot t$ | $A = p \cdot t$ |
| Скорость сближения $= v_1 + v_2$ | Совместная производительность $= p_1 + p_2$ |
| Время встречи $= \dfrac{S}{v_1 + v_2}$ | Время совместной работы $= \dfrac{1}{p_1 + p_2}$ |
Наглядный пример: одна и та же математика, разный контекст
| Задача на движение | Задача на работу |
|---|---|
| Два пешехода выходят навстречу друг другу из городов А и Б. Расстояние — 1 условная единица. Первый идёт со скоростью $\dfrac{1}{6}$ пути в час, второй — $\dfrac{1}{4}$ пути в час. Через сколько часов они встретятся? | Первый рабочий делает деталь за 6 часов, второй — за 4 часа. За сколько часов вместе выполнят заказ? |
| Скорость сближения: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}$ пути/ч. Время встречи: $\dfrac{1}{\dfrac{5}{12}} =$ $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ ч. |
Совместная производительность: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}$ работы/ч. Время: $\dfrac{1}{\dfrac{5}{12}} =$ $\dfrac{12}{5} = 2{,}4$ ч. |
Решение слово в слово одинаково. Единственное отличие — интерпретация. Это значит: если вы застряли на задаче о рабочих, перефразируйте её как задачу о пешеходах — и интуиция сразу подскажет правильный ход мысли.
💡 Педагогический приём
Попросите ученика сначала решить задачу про пешеходов, а потом «переименовать» все величины: путь → работа, скорость → производительность, встреча → завершение работы. Это мгновенно переносит уже усвоенный навык на новый тип задач и убирает страх перед незнакомой формулировкой.
Задача 1
Вероника решает 15 уравнений за час, а Лена — 20 уравнений за час. За сколько времени девочки совместно решат контрольную работу, состоящую из 40 уравнений?
Заполним таблицу по данным задачи.
| P, шт/ч | t, ч | А, шт | |
|---|---|---|---|
| Вероника | 15 | 1 | 15 |
| Лена | 20 | 1 | 20 |
| Вместе | ? | 40 |
Предположим, что девочки будут решать задания отдельно друг от друга. Тогда, с учётом их скоростей выполнения работы, за 1 час они вместе выполнят 35 уравнений — это их совместная производительность.
| P, шт/ч | t, ч | А, шт | |
|---|---|---|---|
| Вероника | 15 | 1 | 15 |
| Лена | 20 | 1 | 20 |
| Вместе | 35 | ? | 40 |
Следующее действие — найти время по формуле $t= \dfrac{A}{P}= \dfrac{40}{35}=\dfrac{8}{7}=1\dfrac{1}{7}$ часа.
Если бы мы просто сложили их время 1 + 1 = 2 часа, не используя вышеприведённую логику, то получилось бы, что девочки совместно работают хуже, чем по отдельности. Конечно, в реальной жизни такое возможно, но в математических задачах говорит о том, что была допущена ошибка.
Запомните:
$P_{\text{общее}}=P_{1}+P_{2}$
$A_{\text{общее}}=A_{1}+A_{2}$
$t_{\text{общее}}$ рассчитываем по формуле $t_{\text{общее}}= \dfrac{A_{\text{общее}}}{P_{\text{общее}}}$
Задача 2
В селе Лютики два поля: пшеничное площадью 770 м2 и кукурузное площадью 830 м2. Пшеничное поле обрабатывает тракторист Павел: его трактор вспахивает на 6 м2 в минуту земли меньше, чем трактор Тимофея, обрабатывающий второе поле. Сколько квадратных метров в минуту вспахивает трактор Павла, если поля были обработаны одновременно?
Начнём решение задачи с заполнения таблицы. Работа трактористов в задаче однозначно определена: Павлу нужно обработать 770 м2, а Тимофею — 830 м2. В задаче не сказано, что мужчины будут работать совместно, поэтому в таблице будет две рабочих строки.
| P, м2/мин | t, мин | А, м2 | |
|---|---|---|---|
| Павел | 770 | ||
| Тимофей | 830 |
Производительность обоих трактористов неизвестна, в задаче описывается только разница между ними. На этом этапе можно вводить переменную.
Пусть x — производительность тракториста Павла, тогда (х + 6) — производительность Тимофея, так как он вспахивает на 6 м2 в минуту больше.
Выразим время выполнения работы через формулу $t=\dfrac{A}{P}$.
$t_{\text{Павла}}= \dfrac{A}{P}=\dfrac{770}{х}$
$t_{\text{Тимофея}}= \dfrac{A}{P}=\dfrac{830}{х+6}$
| P, м2/мин | t, мин | А, м2 | |
|---|---|---|---|
| Павел | $x$ | $\dfrac{770}{х}$ | 770 |
| Тимофей | $x + 6$ | $\dfrac{830}{х+6}$ | 830 |
Какую информацию мы ещё не использовали? Работа над обработкой полей была закончена одновременно, а это значит, что время работы Тимофея и Павла равно.
Составим уравнение:
$$\dfrac{770}{х} = \dfrac{830}{х+6}$$
ОДЗ: $x \neq -6;\, 0$
$$770(x+6)=830x$$
$$770x+4620= 830x$$
$$770x-830x=-4620$$
$$-60x=-4620$$
$x = 77$ (м2/мин) — производительность Павла.
Задача 3
Алина собирает клубнику на своей даче. Количество, необходимое для приготовления 2 литров варенья, она собирает за 30 минут. Вместе со своей подругой Галей они соберут такое же количество клубники за 10 минут. За сколько минут собирает это же количество клубники одна Галя?
В этой задаче также сделаем анализ информации и заполним таблицу.
В тексте есть указание, сколько литров варенья планирует приготовить Алина, но далее эти данные никак не используются. Важно, что и Алина, и Галя будут собирать клубнику для одинакового количества варенья, поэтому работу мы можем взять за единицу.
| P, раб/мин | t, мин | А | |
|---|---|---|---|
| Алина | 30 | 1 | |
| Галя | ? | 1 | |
| Вместе | 10 | 1 |
Выразим производительность Алины и совместную Алины и Гали с помощью формулы $P=\dfrac{A}{t}$.
$P_{\text{Алина}}=\dfrac{A}{t}=\dfrac{1}{30}$
$P_{\text{Вместе}}=\dfrac{A}{t}=\dfrac{1}{10}$
Производительность Галины можно рассчитать с помощью разности производительности совместной и Алины:
$P_{\text{Галя}}=P_{\text{Вместе}}-P_{\text{Алина}}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{30}$
| P, раб/мин | t, мин | А | |
|---|---|---|---|
| Алина | $\dfrac{1}{30}$ | 30 | 1 |
| Галя | $\dfrac{2}{30}$ | ? | 1 |
| Вместе | $\dfrac{1}{10}$ | 10 | 1 |
Тогда время работы Гали вычислим по формуле $t= \dfrac{A}{P}= 1: \dfrac{2}{30}=\dfrac{30}{2}=15$ мин.
Как вы уже заметили, в этой задаче нельзя просто вычесть из совместного времени время Алины. Такой ответ, хоть и даётся проще, не является верным.
Пошаговый разбор задач: от простого к сложному
Уровень 1 — Базовый: два исполнителя работают вместе
Условие: Мастер делает заказ за 8 часов, ученик — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе?
Шаг 1. Принимаем весь объём работы за 1.
Шаг 2. Заполняем таблицу:
| Участник | A | t (ч) | $p = A/t$ |
|---|---|---|---|
| Мастер | 1 | 8 | $\dfrac{1}{8}$ |
| Ученик | 1 | 12 | $\dfrac{1}{12}$ |
| Вместе | 1 | T = ? | $\dfrac{5}{24}$ |
Шаг 3. Совместная производительность (НОК(8,12) = 24):
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{5}{24}$
Шаг 4. Находим время:
$T = \dfrac{1}{\dfrac{5}{24}} = \dfrac{24}{5} =$ 4,8 часа = 4 ч 48 мин
Уровень 2 — Средний: один начал раньше, второй подключился позже
Условие: Первый рабочий может сделать деталь за 10 часов, второй — за 15 часов. Первый начал работу и через 4 часа к нему присоединился второй. Сколько часов второй рабочий работал до окончания задания?
Шаг 1. Объём работы = 1. Производительности: $p_1 = \dfrac{1}{10}$, $p_2 = \dfrac{1}{15}$.
Шаг 2. За 4 часа первый выполнил: $4 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{5}$ работы.
Осталось: $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$ работы.
Шаг 3. Совместная производительность (НОК(10,15) = 30):
$p_\text{совм} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{6}$
Шаг 4. Время совместной работы:
$t_\text{совм} = \dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{3}{5} \times 6 = \dfrac{18}{5} =$ 3,6 ч = 3 ч 36 мин
Уровень 3 — Средний+: трое работают, один выбывает
Условие: Три рабочих могут выполнить задание за 6, 8 и 12 часов соответственно. Они начали работу вместе, но через 2 часа третий рабочий выбыл. Через сколько часов от начала работы задание будет выполнено?
Шаг 1. $p_1 = \dfrac{1}{6}$, $p_2 = \dfrac{1}{8}$, $p_3 = \dfrac{1}{12}$. НОК(6, 8, 12) = 24.
Шаг 2. За 2 часа все трое вместе выполнили:
$A_1 = 2 \times \left(\dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24}\right) = 2 \times \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{4}$ работы.
Шаг 3. Осталось: $1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ работы.
Шаг 4. Первый и второй вместе: $p_{12} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{7}{24}$
$t_\text{остат} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{7}{24}} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{24}{7} = \dfrac{6}{7}$ ч
Уровень 4 — Продвинутый: один работает «в минус»
Условие: Первая труба наполняет бассейн за 9 часов. Вторая труба того же объёма опустошает за 12 часов. Оба крана открыты одновременно. Через сколько часов бассейн наполнится, если изначально он был пуст?
Шаг 1. Объём бассейна = 1.
$p_\text{напол} = \dfrac{1}{9}$, $p_\text{опуст} = \dfrac{1}{12}$ (работает «в минус»).
Шаг 2. НОК(9, 12) = 36. Результирующая производительность:
$p_\text{рез} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{36} - \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{36}$
Шаг 3. Время: $T = \dfrac{1}{\dfrac{1}{36}} =$ 36 часов
Уровень 5 — Экзаменационный (ОГЭ): дробно-рациональное уравнение
Условие: Два насоса вместе заполняют резервуар за 3 часа 36 минут. Второй насос может наполнить резервуар на 3 часа дольше, чем первый. Найдите время работы каждого насоса по отдельности.
Шаг 1. Переводим время: 3 ч 36 мин $= 3{,}6$ ч $= \dfrac{18}{5}$ ч.
Шаг 2. Пусть второй насос наполняет резервуар за $t$ часов, первый — за $(t - 3)$ часов.
Шаг 3. Заполняем таблицу:
| Насос | A | t (ч) | $p = 1/t$ (доля/ч) |
|---|---|---|---|
| Первый | 1 | $t - 3$ | $\dfrac{1}{t - 3}$ |
| Второй | 1 | $t$ | $\dfrac{1}{t}$ |
| Вместе | 1 | $\dfrac{18}{5}$ | $\dfrac{5}{18}$ |
Шаг 4. Составляем уравнение:
$$\dfrac{1}{t-3} + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{18}$$
Шаг 5. Решаем (ОДЗ: $t \neq 0$, $t \neq 3$):
$18t + 18(t-3) = 5t(t-3)$
$36t - 54 = 5t^2 - 15t$
$5t^2 - 51t + 54 = 0$
Шаг 6. Дискриминант:
$D = 51^2 - 4 \cdot 5 \cdot 54 = 2601 - 1080 = 1521 = 39^2$
$t = \dfrac{51 \pm 39}{10} \to t_1 = 9,\ t_2 = 1{,}2$
$t_2 = 1{,}2 \to t - 3 = -1{,}8 < 0$ — посторонний корень.
💡 Совет эксперта
По методическим рекомендациям ФИПИ: если в задаче на совместную работу таблица производительности и итоговое уравнение составлены полностью верно, но при расчёте дискриминанта допущена ровно одна арифметическая ошибка — эксперт выставляет 1 балл из 2 возможных. Правильно составленная математическая модель уже «стоит» балл, даже если вычисление сбилось.
Типичные ошибки при решении
Ошибка 1: складывают время, а не производительность
Неверно: $T_\text{совм} = t_1 + t_2 = 6 + 4 = 10$ ч
Верно: $\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} \to T = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ ч
Почему ошибка: Время — не аддитивная величина для параллельного процесса.
Ошибка 2: разные единицы времени
Условие: «Первый — за 2 часа, второй — за 90 минут». Нельзя писать $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{90}$. Нужно привести к одной единице: 90 мин $= 1{,}5$ ч $\to \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1{,}5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}$. Всегда проверяй единицы измерения до составления таблицы — это нулевой шаг алгоритма.
Ошибка 3: объём работы — реальное число вместо 1
Если в условии сказано «сшить 120 деталей», это число можно использовать как объём. Но когда объём не задан явно — принимаем за 1 (условную единицу). Смешивать оба подхода в одном решении нельзя.
Ошибка 4: путают «вместе» и «поочерёдно»
«Работали вместе»: производительности складываются, время общее.
«Работали поочерёдно»: каждый работает только своё время, вклады суммируются по долям.
Ошибка 5: ответ больше времени самого быстрого
Результат совместной работы всегда должен быть меньше, чем время самого быстрого одиночного исполнителя. Проговори ответ вслух: «один копает за 4 часа, вдвоём копали 5 часов» — звучит как бред? Значит, ошибка есть.
Ошибка 6: неверная дробь при частичном выполнении
«Первый сделал $\dfrac{1}{3}$ работы за 2 часа» — это не означает, что его производительность $\dfrac{1}{3}$ в час. Нужно учитывать, что $\dfrac{1}{3}$ — это результат за 2 часа: $p = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{2} = \dfrac{1}{6}$ в час.
Ошибка 7: неправильное сложение дробей (без общего знаменателя)
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} \neq \dfrac{2}{20}$. Обязательно найди НОК и приведи дроби к общему знаменателю перед сложением. НОК(8,12) = 24, поэтому $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{5}{24}$.
Универсальный алгоритм решения задач
| Шаг | Действие | Что контролировать |
|---|---|---|
| 0 | Проверить единицы времени: привести всё к часам или минутам | Нет ли смешения ч и мин в условии? |
| 1 | Определить тип задачи по признаку из таблицы классификации | Все ли участники работают одновременно? |
| 2 | Принять объём работы за 1 (если не задан). Ввести переменную и словесно её описать. Заполнить таблицу | Все ли ячейки таблицы заполнены? |
| 3 | Записать производительность каждого участника ($\dfrac{1}{t}$ для каждого). Найти НОК при необходимости | Нет ли «работающих в минус»? Правильно ли сложены дроби? |
| 4 | Составить уравнение: сумма вкладов = 1 | Учтены ли все этапы задачи? |
| 5 | Решить уравнение, проверить ОДЗ и исключить посторонние корни | Ответ < времени самого быстрого? Проговори ответ вслух |
Лайфхаки: как решать быстро и без ошибок
Лайфхак 1: принимай всю работу за 1
Этот приём применяется, когда объём работы не задан числом. Принятие за 1 позволяет работать с долями и дробями без привязки к реальным величинам. Важно: в ОГЭ с 2024 года обязательно словесно обосновать этот шаг: «Примем весь объём работы за 1 (условную единицу)».
Лайфхак 2: всегда строй таблицу
Таблица — не просто лайфхак, а основной инструмент. Она фиксирует все величины, показывает, что известно и что нужно найти, исключает пропуск этапов.
Лайфхак 3: быстрая проверка через здравый смысл
Итоговое время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого исполнителя. Это правило работает как мгновенный фильтр ошибок. После получения ответа — произнеси его вслух: нелепость сразу очевидна.
Лайфхак 4: как читать условие и сразу видеть тип задачи
Ищите ключевые слова:
— «Одновременно» → Тип 1.
— «Начал на … часов позже/раньше» → Тип 2.
— «По очереди / чередуясь» → Тип 3.
— «Выполнил … часть, затем вместе» → Тип 4.
— «Вытекает / опустошает» → Тип 5.
Лайфхак 5: когда уравнение, когда арифметика
| Ситуация | Лучший метод |
|---|---|
| Оба времени известны, найти совместное | Арифметика (сложение дробей через НОК) |
| Одно время неизвестно | Уравнение с переменной $x$ |
| 6–7 класс, ВПР | Арифметика (по ФРП) |
| 8–11 класс, ОГЭ/ЕГЭ | Дробно-рациональное уравнение |
Формулы для решения задач
Таблица ключевых терминов
| Термин | Определение | Формула | Когда использовать |
|---|---|---|---|
| Производительность (p) | Доля всей работы, выполняемая за единицу времени | $p = \dfrac{1}{t}$ (если объём = 1) | Всегда — это базовая величина |
| Объём работы (A) | Полный результат, который нужно достичь | $A = p \cdot t$ | Когда объём задан числом или принят за 1 |
| Время выполнения (t) | Продолжительность работы до завершения | $t = \dfrac{A}{p}$ | Когда ищем, «через сколько часов» закончат |
| Совместная производительность | Сумма производительностей всех участников | $p_\text{совм} = p_1 + p_2 + \ldots + p_n$ | Когда работают одновременно несколько человек |
| Норма выработки | Установленный объём за смену/час | Задаётся условием | В производственных задачах (бригада, смена) |
Формулы для 2, 3 и n исполнителей
| Количество исполнителей | Совместное время |
|---|---|
| 2 исполнителя ($t_1$ и $t_2$) | $T = \dfrac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$ |
| 3 исполнителя ($t_1$, $t_2$, $t_3$) | $T = \dfrac{1}{\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \dfrac{1}{t_3}}$ |
| n исполнителей | $T = \dfrac{1}{\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \ldots + \dfrac{1}{t_n}}$ |
Формула для случая «работали вместе часть времени»
Если первый работал $t_1$ часов один, а затем оба работали совместно $T$ часов:
$$\dfrac{t_1}{t_A} + \dfrac{t_1 + T}{t_B} = 1$$
— составляется уравнение исходя из того, что суммарный объём = 1.
Формула для случая «один работает в минус»
Когда одна труба наполняет бассейн, а другая опорожняет:
$$p_\text{совм} = p_\text{наполн} - p_\text{опустош} = \dfrac{1}{t_1} - \dfrac{1}{t_2}$$
Если $p_\text{совм} > 0$ — бассейн наполняется. Если $p_\text{совм} < 0$ — опустошается.
📌 Важно знать
Согласно обновлённым ФРП (Федеральным рабочим программам), сложные задачи на совместную работу с составлением дробно-рациональных уравнений строго закреплены за курсом алгебры 8 класса. В материалах ВПР для 6 и 7 классов остаются только базовые типы, решаемые исключительно арифметическим путём — через сложение обыкновенных дробей. Это означает: если в ВПР-6 вы видите задачу на совместную работу, достаточно сложить дроби без составления уравнения.
Практика: 10 задач с ответами и подсказками
| № | Условие | Уровень | Подсказка | Ответ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Первый рабочий делает деталь за 4 ч, второй — за 12 ч. Вместе — за сколько? | 🟢 Базовый | НОК(4,12)=12; $\dfrac{3}{12} + \dfrac{1}{12}$ | 3 ч |
| 2 | Мастер выполняет заказ за 5 ч, ученик — за 20 ч. Вместе — за сколько? | 🟢 Базовый | НОК(5,20)=20; $\dfrac{4}{20} + \dfrac{1}{20}$ | 4 ч |
| 3 | Бассейн наполняется первой трубой за 8 ч, второй — за 8 ч. Вместе — за сколько? | 🟢 Базовый | Две одинаковые трубы — вдвое быстрее | 4 ч |
| 4 | Первая труба наполняет за 6 ч, вторая — за 9 ч. Вместе — за сколько? | 🟡 Средний | НОК(6,9)=18; $\dfrac{3}{18} + \dfrac{2}{18}$ | 3 ч 36 мин |
| 5 | Рабочий сделал $\dfrac{1}{3}$ работы за 2 ч, затем пришёл напарник. Вдвоём закончили за 1 ч. Производительность напарника? | 🟡 Средний | Осталось $\dfrac{2}{3}$; вычти вклад первого за 1 ч | $\dfrac{1}{3}$ работы/ч |
| 6 | Два рабочих вместе выполнят работу за 4,8 ч. Первый делает за 8 ч. За сколько — второй? | 🟡 Средний | $\dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{4{,}8} - \dfrac{1}{8}$ | 12 ч |
| 7 | Насос наполняет резервуар за 10 ч. Слив опустошает за 15 ч. Оба открыты. Через сколько резервуар полон? | 🟡 Средний | НОК(10,15)=30; $\dfrac{3}{30} -\dfrac{2}{30}$ | 30 ч |
| 8 | Три рабочих делают работу за 6, 8 и 12 ч. Начали вместе, через 2 ч третий выбыл. Когда закончат? | 🔴 Сложный | За 2 ч: $\dfrac{3}{4}$ работы; осталось $\dfrac{1}{4}$; первые двое: $p_{12}=\dfrac{7}{24}$ | $2\dfrac{6}{7}$ ч ≈ 2 ч 51 мин |
| 9 | Два насоса вместе заполняют резервуар за 3 ч 36 мин. Второй на 3 ч медленнее первого. Время каждого? | 🔴 Сложный | $\dfrac{1}{t-3}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{18}$; $5t^2-51t+54=0$ | Первый — 6 ч, второй — 9 ч |
| 10 | Первый рабочий работал 3 ч, потом пришёл второй, и вместе они закончили за ещё 2 ч. Первый делает работу за 9 ч. За сколько — второй? | 🔴 Сложный | $\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{t_2}=1$; $\dfrac{2}{t_2}=\dfrac{4}{9}$ | $t_2 = 4{,}5$ ч |
Авторитетные источники по теме
- Work Word Problems — Purple Math: разбор задач на совместную работу с примерами и пошаговыми решениями, принятый в американских учебниках средней школы — математическая модель идентична российской.
- Solving Work-Rate Problems — CUNY LibreTexts: академический разбор задач на производительность с составлением уравнений — прямой аналог метода, применяемого в российских учебниках 8 класса.
FAQ: ответы на частые вопросы
Почему нельзя сложить время двух рабочих, чтобы найти совместное?
Потому что время — это не ресурс, который «суммируется». Каждый рабочий вносит свой вклад одновременно. Складывать нужно именно производительности (доли работы в единицу времени), а не длительности. Сложение времён дало бы результат хуже, чем у самого медленного, — что абсурдно.
Что делать, если в задаче три рабочих или три трубы?
Принцип тот же: сложить все три производительности. $p_\text{совм} = p_1 + p_2 + p_3 = \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \dfrac{1}{t_3}$. Найдите НОК трёх чисел, приведите дроби к общему знаменателю и сложите. Совместное время: $T = \dfrac{1}{p_\text{совм}}$.
Как решать, если один рабочий начал работу раньше другого?
Разбейте задачу на два этапа. На первом этапе первый рабочий работает один — вычислите, какую долю работы он выполнил. Оставшуюся долю работы на втором этапе выполняют оба вместе. Составьте уравнение: сумма вкладов обоих этапов равна 1.
Задача про бассейн с трубами — это то же самое, что про рабочих?
Да, математически абсолютно идентично. Объём бассейна принимается за 1. Труба, наполняющая бассейн, — это «рабочий». Труба, сливающая воду, — это «антирабочий» с отрицательной производительностью. Все формулы применяются без изменений.
Как понять, что нужно составлять уравнение, а не считать арифметически?
Арифметика (простое сложение дробей) работает, когда все времена известны и нужно найти совместное время. Уравнение нужно, когда хотя бы одно время неизвестно и обозначается переменной $x$. В 8–11 классах и на ОГЭ/ЕГЭ почти всегда нужно уравнение.
Можно ли в качестве объёма работы взять не 1, а другое число?
Да — если объём задан явно в условии (например, «изготовить 120 деталей»). Тогда производительность считается как количество деталей в час. Если объём не указан — всегда берите за 1. Главное — не смешивать оба подхода в одном решении.
Как перевести дробный ответ в часы и минуты?
Целая часть — это часы. Дробную часть умножьте на 60 — получите минуты. Например: $4{,}8$ ч $\to 4$ ч и $0{,}8 \times 60 = 48$ мин $= 4$ ч 48 мин. Аналогично: $\dfrac{24}{5} = 4{,}8$ ч $= 4$ ч 48 мин.
Встречаются ли задачи на совместную работу на ЕГЭ по профильной математике?
Да, в части 1 (задания 1–12) они встречаются в виде текстовых задач на составление уравнений. В профильном ЕГЭ 2025–2026 задачи на совместную работу чаще всего входят в задание 10 (текстовая задача) и требуют составления дробно-рационального уравнения с проверкой ОДЗ.
Запишитесь на бесплатный пробный урок. Преподаватель проверит ваш уровень, разберёт слабые места и покажет, как строится подготовка к ЕГЭ или ОГЭ в структурированном формате — без стресса и зубрёжки.
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
