Как решать задачи на движение: методы и примеры

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы статьи

---

Общий алгоритм решения задач на движение

Формулы

Какая бы задача на движение ни была, в ней всегда идёт речь о взаимосвязи трёх величин: расстояния S, скорости v и времени t.

Ключевая формула: $S = vt$.

Из неё можно выразить:

$t = \dfrac{S}{v}$

$v = \dfrac{S}{t}$

На что ещё важно обратить внимание?

1. Среднюю скорость мы рассчитываем по формуле $v_{ср} = \dfrac{S_{всё}}{t_{всё}}$. Считать через среднее арифметическое будет ошибкой!

2. Скорость сближения и отдаления зависит от того, в каких направлениях двигаются объекты:

   

3. Для решения задачи необходимо привести все единицы измерения в одну размерность: например, мы не можем складывать км/ч и м/с.

4. Удобнее всего задачи на движение решать с помощью таблицы и схематичного рисунка.

Алгоритм

1. Анализируем текст задачи: какие данные известны, что нужно найти.
   Если необходимо, иллюстрируем задачу с помощью рисунка.

2. Заполняем таблицу исходными данными.

3. Решаем, что будем брать за x, выражаем через него величины.

4. Обращаем внимание, все ли исходные данные мы использовали.
   Часто неучтённую информацию можно использовать для обоснования уравнения.

5. Составляем уравнения или систему уравнений, решаем согласно виду.

6. Проверяем, соответствует ли ответ условию задачи и решает ли он поставленный вопрос. Если нет, вычисляем окончательный ответ.

7. Делаем проверку.

---

Основные определения и понятия

Понятие	Определение	Пример из жизни
Скорость	Расстояние, пройденное за единицу времени. Измеряется в км/ч или м/с.	Средняя скорость пешехода — 5 км/ч, автомобиля в городе — 60 км/ч
Путь (расстояние)	Длина пройденного маршрута от пункта А до пункта Б.	Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по трассе — около 700 км
Время	Продолжительность движения. Измеряется в часах, минутах, секундах.	Затраченное время на поездку — 3 ч 20 мин = 3,33 ч
Скорость сближения	Скорость, с которой уменьшается расстояние между двумя объектами.	Два автомобиля едут навстречу со скоростями 80 и 100 км/ч → скорость сближения 180 км/ч
Скорость удаления	Скорость, с которой расстояние между двумя объектами увеличивается.	Два велосипедиста разъезжаются в стороны: 15 и 20 км/ч → скорость удаления 35 км/ч
Собственная скорость	Скорость тела относительно неподвижной среды (воды, воздуха).	Скорость лодки в стоячей воде — 8 км/ч
Относительная скорость	Скорость одного тела относительно другого движущегося тела.	Скорость пассажира поезда относительно встречного поезда

---

Движение по прямой: особенности решения, пример задачи с решением

Задачи на движение по прямой — самые простые по сравнению с другими видами. Чаще всего в них идёт речь о двух объектах, которые движутся навстречу друг другу или отдаляются друг от друга, скорость объектов постоянная (без ускорения), движение происходит по прямой линии.

Задача 1

Автомобиль и мотоциклист одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 200 км. Скорость автомобиля — 60 км/ч, а мотоциклиста — 40 км/ч. Через сколько времени они встретятся?

Решение:

Составим таблицу по данным задачи.

	v, км/ч	t, ч	S, км
Автомобилист	60	$t_{авт} = t_{м}$	?	Вместе — 200 км
Мотоциклист	40		?

При взгляде на таблицу кажется, что неизвестного больше, чем известного. Но даже по ней и схематичному чертежу мы можем сделать следующие выводы:

1. Мы не знаем, сколько километров проедут автомобилист и мотоциклист до точки встречи, но они точно проедут 200 км совместно.

2. Так как персонажи выехали одновременно и встретят друг друга в единый момент времени $\Rightarrow t_{авт} = t_{м}$.

В этой задаче можно по-разному составить уравнение.

Первый способ	Второй способ
Пусть x — время, которое затратили автомобилист и мотоциклист, тогда: 60x — расстояние автомобилиста, 40x — расстояние мотоциклиста. Так как совместно они проехали 200 км: 60x + 40x = 200 100x = 200 x = 2 (ч) — время в пути.	Пусть x — расстояние, пройденное автомобилистом, тогда: $(200-x)$ — расстояние мотоциклиста, $\dfrac{x}{60}$ — время автомобилиста, $\dfrac{200-x}{40}$ — время мотоциклиста. Так как время одинаково: $$\dfrac{x}{60}=\dfrac{200-x}{40}$$ $$40x=60(200-x)$$ $$100x=12000$$ $x=120$ (км) — путь автомобилиста, тогда $120:60=2$ (ч) — время в пути.

Ответ: 2 часа.

Каким бы способом вы ни воспользовались, всё равно придёте к верному ответу!

Движение навстречу друг другу

Когда два объекта движутся навстречу, расстояние между ними уменьшается с каждой секундой. Скорость сближения равна сумме их скоростей:

$$v_{\text{сближения}} = v_1 + v_2$$

$$S = v_{\text{сближения}} \cdot t = (v_1 + v_2) \cdot t$$

Движение в одном направлении (догоняет / отстаёт)

При попутном движении расстояние между объектами изменяется медленнее. Скорость сближения/удаления равна разности скоростей:

$$v_{\text{сближения}} = v_{\text{быстрый}} - v_{\text{медленный}} \quad \text{(если быстрый сзади — догоняет)}$$

$$v_{\text{удаления}} = v_{\text{быстрый}} - v_{\text{медленный}} \quad \text{(если быстрый впереди — отрывается)}$$

Движение из одной точки в разные стороны

Два объекта стартуют из одной точки в противоположных направлениях. Расстояние между ними:

$$S = (v_1 + v_2) \cdot t$$

---

Движение по воде: особенности решения, пример задачи с решением

В задачах на движение по воде учитывается влияние на скорость плавательного средства течения реки. Если лодка или корабль плывёт по течению, река помогает двигаться быстрее, если объект плывёт против течения — река замедляет движение.

$V_{по\ течению} = V_{собств} + V_{реки}$

$V_{против\ течения} = V_{собств} - V_{реки}$

Обозначение	Смысл	Формула
$v_{\text{с}}$	Скорость по течению (катер + река «помогает»)	$v_{\text{с}} = v_{\text{собств}} + v_{\text{теч}}$
$v_{\text{пр}}$	Скорость против течения (река «мешает»)	$v_{\text{пр}} = v_{\text{собств}} - v_{\text{теч}}$
$v_{\text{собств}}$	Собственная скорость катера в стоячей воде	$v_{\text{собств}} = (v_{\text{с}} + v_{\text{пр}}) / 2$
$v_{\text{теч}}$	Скорость течения реки	$v_{\text{теч}} = (v_{\text{с}} - v_{\text{пр}}) / 2$

Важно: Плот не имеет собственной скорости — он движется только со скоростью течения. Это классический «маркер» в условии задачи. Также формулы для задач на ветер (самолёт) математически идентичны: $v_{\text{результ}} = v_{\text{собств}} \pm v_{\text{ветер}}$.

Задача 2

Привычный маршрут торгового катера — выехать со своей пристани, проплыть 77 км до соседней пристани против течения реки и вернуться обратно. Обратный путь занимает на 4 ч меньше. Чему равна скорость течения, если собственная скорость катера составляет 9 км/ч?

Решение:

Составим таблицу по данным задачи.

	v, км/ч	t, ч	S, км
По течению	?	? на 4 ч меньше	77
Против течения	?	?	77

Пусть x — скорость течения реки, тогда 9 + x — скорость катера по течению, 9 − x — скорость катера против течения.

Тогда $\dfrac{77}{9+x}$ — время по течению реки, $\dfrac{77}{9-x}$ — время против течения реки.

	v, км/ч	t, ч	S, км
По течению	9 + x	$\dfrac{77}{9+x}$ на 4 ч меньше $t_{против\ теч}$	77
Против течения	9 − x	$\dfrac{77}{9-x}$	77

Приняв во внимание разницу во времени, составим уравнение:

$$\dfrac{77}{9+x} + 4 = \dfrac{77}{9-x}$$

ОДЗ: $x \neq \pm 9$

$$77(9-x)+4(81-x^{2})=77(9+x)$$

$$-4x^{2}-154x+324=0$$

$$2x^{2}+77x-162=0$$

$$D=5929+2\cdot4\cdot162=7225=85^2$$

$$x_{1}=\dfrac{-77+85}{4}=2$$

$x_{2}=\dfrac{-77-85}{4}=-40{,}5$ — не соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения равна 2 км/ч.

---

Задачи на среднюю скорость

Почему нельзя складывать скорости и делить на 2

Это самая частая ловушка на экзаменах. Формула «среднее арифметическое скоростей» даёт верный ответ только если объект движется с каждой скоростью одинаковое время. Если он проезжает одинаковые расстояния — формула другая:

$$v_{\text{средняя}} = \frac{S_{\text{общий}}}{t_{\text{общее}}} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}$$

Для частного случая «туда и обратно с разными скоростями»:

$$v_{\text{средняя}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$$

Совет эксперта. Запомните: средняя скорость — это всегда отношение суммарного пути к суммарному времени. Никогда — среднее арифметическое скоростей, если речь идёт о равных отрезках пути. Эта ловушка встречается в задании 10 профильного ЕГЭ стабильно каждый год.

---

Задачи на относительную скорость

Относительная скорость — это скорость одного тела в системе отсчёта другого движущегося тела.

Ситуация	Относительная скорость
Тела движутся навстречу	$v_{\text{отн}} = v_1 + v_2$
Тела движутся в одну сторону	$v_{\text{отн}} = |v_1 - v_2|$
Самолёт и попутный ветер	$v_{\text{результ}} = v_{\text{самол}} + v_{\text{ветер}}$
Самолёт и встречный ветер	$v_{\text{результ}} = v_{\text{самол}} - v_{\text{ветер}}$

---

Движение по окружности: особенности решения, пример задачи с решением

Что нужно учитывать при решении задач на движение по окружности:

1. Чаще всего в таких задачах один объект будет обгонять другого на какое-то расстояние (чаще всего на круг).

2. Если тела движутся по окружности в разных направлениях, то они стремятся встретиться → их общая скорость находится как сумма скоростей каждого из них.

3. Если движение идёт в одном направлении, общая скорость равна разности скоростей (из большей отнимаем меньшую):

   • если скорость догоняющего больше — объекты сближаются;
   • если скорость догоняющего меньше — объекты отдаляются.

4. При прохождении длины окружности объект возвращается в точку старта.

5. Длина окружности рассчитывается по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус окружности.

Ситуация	Когда встретятся снова
Движение навстречу по кругу	$t = L / (v_1 + v_2)$
Движение в одну сторону по кругу	$t = L / |v_1 - v_2|$
Стартуют из одной точки одновременно	Найти НОК периодов $T_1$ и $T_2$

Задача 3

На круговой трассе длиной 16 км из одной точки одновременно стартовали два автомобиля, двигаясь в одном направлении. Первый автомобиль двигался со скоростью 120 км/ч. Через 15 минут он опередил второй автомобиль на один круг. Определите скорость второго автомобиля.

Решение:

1. За 15 минут первый автомобиль обогнал второй автомобиль на круг, то есть на 16 км.
2. Тогда за 1 час первый проедет на $4 \cdot 16 = 64$ км больше второго.
3. Скорость второго автомобиля: $120 - 64 = 56$ км/ч.

Ответ: 56 км/ч.

---

Как перевести условие задачи в математическую модель

Таблица слов-маркеров

Фраза в условии	Математический смысл
«вышли одновременно»	$t_1 = t_2$ (время движения одинаковое)
«вышел на N часов позже»	$t_2 = t_1 - N$
«догнал через T часов»	$S_1 = S_2$ (пути равны в момент встречи)
«расстояние сократилось до D»	$S_{\text{начальное}} - (v_1+v_2) \cdot t = D$
«встретились»	$S_1 + S_2 = S_{\text{полное}}$ (навстречу)
«расстояние между ними стало D»	$(v_1+v_2) \cdot t = D$ (в разные стороны) или $|v_1-v_2| \cdot t = D$ (в одну)
«вернулся обратно»	Полный путь $= S_{\text{туда}} + S_{\text{обратно}} = 2S$
«опередил на K км»	$S_1 - S_2 = K$

Метод таблицы: шаблон

Объект	Скорость ($v$)	Время ($t$)	Путь ($S = v \cdot t$)
Первый	$v_1$	$t_1$	$S_1$
Второй	$v_2$	$t_2$	$S_2$

Заполните все известные ячейки, введите переменную $x$ для неизвестного — и уравнение появится само из строки «путь».

---

Составление и решение уравнений

Метод уравнений — самый универсальный. В отличие от арифметического способа, он работает при любой сложности задачи.

Алгоритм составления уравнения:

1. Обозначьте неизвестное через $x$ (скорость, время или путь).
2. Выразите остальные величины через $x$ с помощью формулы $S = v \cdot t$.
3. Найдите смысловую связь — что в задаче равно чему.
4. Запишите уравнение и решите его.

---

Когда одной переменной недостаточно: системы уравнений

Задача 4

Артём и Никита договорились бегать по утрам вокруг парка. Начали движение они со входа в парк. Через 1 час, когда Артёму оставалось 2 км до завершения первого круга, он понял, что Никита пробежал первый круг 4 минуты назад. Найдите скорость Никиты, если она на 3 км/ч больше скорости Артёма.

Решение:

1. Никита пробегает круг за $1$ час $- 4$ минуты $= \dfrac{14}{15}$ часа.
2. Пусть $x$ — скорость Никиты. Расстояние Никиты (полный круг): $\dfrac{14}{15}x$. Расстояние Артёма: $(x - 3) \cdot 1 = x - 3$.

	v, км/ч	t, ч	S
Артём	$x - 3$	1	$x - 3$
Никита	$x$	$\dfrac{14}{15}$	$\dfrac{14}{15}x$

Разница между расстояниями равна 2 км:

$$\dfrac{14}{15}x - (x-3)=2$$

$$-\dfrac{1}{15}x=-1$$

$x = 15$ км/ч — скорость Никиты.

Ответ: 15 км/ч.

---

Типичные ошибки при решении задач на движение

1. Перепутать скорость сближения и удаления. При встречном движении скорости складываются, при попутном — вычитаются. Проверьте направление стрелок на схеме.
2. Вычислить среднюю скорость как среднее арифметическое. Всегда используйте $v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}}/t_{\text{общ}}$.
3. Не перевести единицы измерения. Если скорость в км/ч, а время в минутах — один из параметров нужно привести к единой системе до подстановки.
4. Не учесть направление течения. «По течению» — скорости складываются, «против» — вычитаются.
5. Дать ответ не на тот вопрос. Всегда перечитайте вопрос перед записью ответа.
6. Не проверить размерность ответа. Если время вышло 1,5 часа и задача требует ответа в минутах — укажите 90 мин.
7. Ошибка в форе «кто вышел раньше». Если первый вышел на $N$ часов раньше, его путь к моменту выезда второго $= v_1 \cdot N$.

Совет эксперта. По статистике нашего центра, 60% ошибок в задачах на движение — это неправильное прочтение условия. Выработайте привычку: прежде чем писать уравнение, запишите все данные в таблицу и проверьте, совпадают ли единицы в каждом столбце.

---

Шпаргалка: все формулы для задач на движение

Тип задачи	Ключевая формула	Пример применения
Базовая формула пути	$S = v \cdot t$	$v = 60$ км/ч, $t = 2$ ч $\Rightarrow S = 120$ км
Нахождение скорости	$v = S / t$	$S = 120$ км, $t = 2$ ч $\Rightarrow v = 60$ км/ч
Нахождение времени	$t = S / v$	$S = 120$ км, $v = 60$ км/ч $\Rightarrow t = 2$ ч
Встречное движение	$t = S / (v_1 + v_2)$	$S=300$, $v_1=60$, $v_2=90 \Rightarrow t=2$ ч
Движение вдогонку	$t = S_{\text{форы}} / (v_{\text{быстр}} - v_{\text{медл}})$	$S_{\text{форы}}=30$, разность$=30 \Rightarrow t=1$ ч
Разъезд в стороны	$S = (v_1 + v_2) \cdot t$	$v_1=4$, $v_2=6$, $t=3 \Rightarrow S=30$ км
По течению	$v_{\text{с}} = v_{\text{собств}} + v_{\text{теч}}$	$15 + 5 = 20$ км/ч
Против течения	$v_{\text{пр}} = v_{\text{собств}} - v_{\text{теч}}$	$15 - 5 = 10$ км/ч
Собственная скорость	$v_{\text{собств}} = (v_{\text{с}} + v_{\text{пр}}) / 2$	$(20+10)/2 = 15$ км/ч
Скорость течения	$v_{\text{теч}} = (v_{\text{с}} - v_{\text{пр}}) / 2$	$(20-10)/2 = 5$ км/ч
Средняя скорость	$v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} / t_{\text{общ}}$	$S=200$ км, $t=4$ ч $\Rightarrow v_{\text{ср}}=50$ км/ч
Средняя скорость (туда-обратно)	$v_{\text{ср}} = 2v_1 v_2 / (v_1+v_2)$	$v_1=12$, $v_2=20 \Rightarrow 15$ км/ч
Круговое движение навстречу	$t = L / (v_1 + v_2)$	$L=400$, сумма$=10 \Rightarrow t=40$ с
Круговое движение попутно	$t = L / |v_1 - v_2|$	$L=400$, разность$=2 \Rightarrow t=200$ с
Перевод км/ч в м/с	$v_{\text{м/с}} = v_{\text{км/ч}} / 3{,}6$	$72$ км/ч $/ 3{,}6 = 20$ м/с

---

Задачи для практики

Базовый уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Задачи на движение по прямой, по воде и по окружности — все они есть в нашем бесплатном тренажёре для подготовки к контрольным и экзаменам.

---

---

FAQ: ответы на частые вопросы