Справочные материалы для ЕГЭ по математике — формулы и таблицы

Если вы хотите сразу перейти к практике и проверить свои знания в интерактивном формате, ознакомьтесь с тренировочной подготовкой к базе ЕГЭ по математике — там собраны разобранные задания, автоматическая проверка ответов и персональная статистика ошибок, которая покажет, над какими темами работать в первую очередь.

---

Основные формулы в картинках

Скачать одним файлом

---

Алгебра и начала математического анализа

Степени и корни

Основные свойства степеней:

• $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
• $a^n / a^m = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
• $(ab)^n = a^n b^n$
• $a^{-n} = 1/a^n$
• $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Шаблон решения задания на упрощение выражений со степенями:

1. Привести все основания к одному виду (разложить на простые множители)
2. Применить правила произведения и деления степеней
3. Упростить показатель
4. Проверить: нет ли отрицательного основания в чётной степени

Логарифмы

Свойство	Формула
Логарифм произведения	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Логарифм частного	$\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$
Логарифм степени	$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Переход к другому основанию	$\log_a b = \log_x b / \log_x a$
Тождество	$a^{\log_a b} = b$
$\log_a a = 1$	$\log_a 1 = 0$

Пример из ЕГЭ: Решить уравнение $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$

1. ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$ → $x > 1$
2. $\log_2((x-1)(x+1)) = 3$ → $x^2 - 1 = 8$ → $x^2 = 9$ → $x = \pm 3$
3. Проверка по ОДЗ: $x = 3$ ✓, $x = -3$ ✗
4. Ответ: $x = 3$

Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций:

Угол	sin	cos	tg	ctg
0°	0	1	0	—
30° ($\pi/6$)	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$
45° ($\pi/4$)	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	1	1
60° ($\pi/3$)	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}$	$1/\sqrt{3}$
90° ($\pi/2$)	1	0	—	0

Формулы, выдаваемые на ЕГЭ (официальный справочник ФИПИ, 5 формул):

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta$
• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha$
• $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Шаблон решения тригонометрического уравнения:

1. Упростить уравнение до базового вида ($\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$)
2. Записать ОДЗ (особенно для $\operatorname{tg}$: $x \neq \pi/2 + \pi n$)
3. Записать общее решение с параметром $n \in \mathbb{Z}$
4. Если задан промежуток — подставить значения $n$ и отобрать подходящие
5. Проверить крайние точки промежутка

Уравнения и неравенства

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

• $D = b^2 - 4ac$
• При $D > 0$: два корня $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
• При $D = 0$: один корень $x = -b / 2a$
• При $D < 0$: корней нет
• Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$; $\quad x_1 \cdot x_2 = c/a$

Алгоритм решения неравенства методом интервалов:

1. Перенести всё в левую часть: $f(x) > 0$
2. Разложить $f(x)$ на множители
3. Найти нули каждого множителя
4. Отметить нули на числовой оси — разбить на интервалы
5. Определить знак $f(x)$ на каждом интервале (проверочной точкой)
6. Записать ответ с учётом строгости знака неравенства

Шаблон для системы неравенств: Решить каждое неравенство отдельно → отметить оба решения на числовой оси → взять пересечение (для «и») или объединение (для «или»).

Прогрессии

Вид	n-й член	Сумма n членов	Особые формулы
Арифметическая прогрессия	$a_n = a_1 + d(n-1)$	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_1 + d(n-1))}{2}$	—
Геометрическая прогрессия	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1},\ q \neq 1$	$S_\infty = \dfrac{b_1}{1-q},\ |q| < 1$

Пример из ЕГЭ: Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 3$, $d = 2$.

$S_{10} = \dfrac{10 \cdot (2 \cdot 3 + 2 \cdot (10-1))}{2} = \dfrac{10 \cdot (6 + 18)}{2} = 10 \cdot 12 = 120.$

Функции и их графики

Функция	Область определения	Монотонность	Особенности
$y = x^2$	$\mathbb{R}$	убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$	Парабола, вершина в $(0; 0)$
$y = \sqrt{x}$	$[0; +\infty)$	возрастает	—
$y = 1/x$	$x \neq 0$	убывает на каждой ветви	Гипербола
$y = a^x,\ a > 1$	$\mathbb{R}$	возрастает	Проходит через $(0; 1)$
$y = a^x,\ 0 < a < 1$	$\mathbb{R}$	убывает	Проходит через $(0; 1)$
$y = \log_a x,\ a > 1$	$(0; +\infty)$	возрастает	Проходит через $(1; 0)$
$y = \sin x$	$\mathbb{R}$	периодическая, $T = 2\pi$	Область значений $[-1; 1]$
$y = \cos x$	$\mathbb{R}$	периодическая, $T = 2\pi$	Область значений $[-1; 1]$

Преобразования графиков (универсальная схема):

• $y = f(x) + c$ — сдвиг вертикально на $c$ единиц
• $y = f(x + c)$ — сдвиг горизонтально на $c$ единиц влево
• $y = -f(x)$ — отражение относительно оси $Ox$
• $y = f(-x)$ — отражение относительно оси $Oy$
• $y = k \cdot f(x)$ — растяжение/сжатие по оси $Oy$ в $k$ раз

Производная и первообразная

Таблица производных:

Функция	Производная
$C$ (константа)	$0$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$1/x$	$-1/x^2$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \cdot \ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \cdot \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Правила дифференцирования:

• $(f + g)' = f' + g'$
• $(f \cdot g)' = f'g + fg'$
• $(f / g)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
• $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — правило сложной функции

Таблица первообразных:

Функция $f(x)$	Первообразная $F(x) + C$
$x^n\ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$1/x$	$\ln|x| + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$

Алгоритм исследования функции:

1. Найти область определения (ОДЗ)
2. Найти $f'(x)$ и решить $f'(x) = 0$ — найти критические точки
3. Определить знак $f'(x)$ на каждом интервале (метод интервалов)
4. Если $f'$ меняет знак с «$+$» на «$-$» — максимум; с «$-$» на «$+$» — минимум
5. Найти $f''(x)$ для определения выпуклости: $f'' > 0$ — выпукла вниз, $f'' < 0$ — выпукла вверх

---

Геометрия

Планиметрия

Треугольники

Формулы площади треугольника:

• $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (через основание и высоту)
• $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ (через две стороны и угол между ними)
• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — формула Герона, $p = (a+b+c)/2$
• $S = r \cdot p$ (через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$)
• $S = \dfrac{abc}{4R}$ (через стороны и радиус описанной окружности $R$)

Теоремы треугольника:

• Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ (для прямоугольного треугольника)
• Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$
• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

Визуальная схема выбора формулы:

• Дано: основание + высота → $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$
• Дано: две стороны + угол → $S = \dfrac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin C$
• Дано: три стороны → формула Герона
• Дано: периметр + вписанная окружность → $S = r \cdot p$

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны $AB$, $BC$ и продолжение стороны $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно, то: $\dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BN}{NC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1$. Применяется для нахождения отрезков, на которые точки делят стороны треугольника.

Теорема Чевы. Если через вершины треугольника $ABC$ проведены отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки на противоположных сторонах), то эти отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда: $\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = 1$.

Теорема Птолемея. Для вписанного четырёхугольника $ABCD$ произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Используется в задачах на вписанные четырёхугольники и окружности.

Свойства замечательных точек треугольника:

• Ортоцентр $H$ — точка пересечения высот; в прямоугольном треугольнике совпадает с вершиной прямого угла.
• Инцентр $I$ — точка пересечения биссектрис; расстояние от $I$ до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $r$.
• Центроид $G$ — точка пересечения медиан; делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины.
• Описанный центр $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров; в прямоугольном треугольнике — середина гипотенузы.

Четырёхугольники

Фигура	Площадь	Диагонали
Параллелограмм	$S = a \cdot h$	$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
Прямоугольник	$S = a \cdot b$	$d = \sqrt{a^2 + b^2}$
Ромб	$S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$	$d_1 \perp d_2$
Трапеция	$S = \dfrac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$	—
Квадрат	$S = a^2$	$d = a\sqrt{2}$

Окружность и круг

• Длина окружности: $C = 2\pi r$
• Площадь круга: $S = \pi r^2$
• Длина дуги: $l = \alpha \cdot r$ ($\alpha$ в радианах)
• Площадь сектора: $S = \dfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot r^2$
• Вписанный угол = $\dfrac{1}{2}$ центрального угла, опирающегося на ту же дугу
• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания

Координатный метод в планиметрии

• Расстояние между точками: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
• Уравнение прямой: $y = kx + b$; $ax + by + c = 0$
• Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $ax + by + c = 0$: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Когда переходить к координатам: Задача содержит прямые углы, серединные перпендикуляры или вычисление расстояний — координатный метод даёт прямой путь к ответу без построений.

Векторы на плоскости и в пространстве (задания 2 и 14)

Векторы — самостоятельная линия заданий в кодификаторе. Знание операций с векторами необходимо для задания 2 (первая часть) и задания 14 (стереометрия, координатный метод).

Основные операции и формулы:

Операция / Формула	Запись	Применение в ЕГЭ
Координаты вектора	$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$ — в плоскости; $(x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A)$ — в пространстве	Задания 2, 14
Длина (модуль) вектора	$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ — в плоскости; $\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ — в пространстве	Задания 2, 14
Сложение векторов	$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x;\ a_y + b_y)$	Задание 2
Умножение на число	$k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x;\ k \cdot a_y)$	Задание 2
Скалярное произведение	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$	Задание 14 — угол между прямыми и плоскостями
Угол между векторами	$\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$	Задание 14
Перпендикулярность	$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$	Задания 2, 14
Коллинеарность	$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow a_x/b_x = a_y/b_y$ ($= a_z/b_z$ в пространстве)	Задание 2

Шаблон решения задачи на угол между прямыми (координатный метод):

1. Записать направляющие векторы обеих прямых
2. Вычислить скалярное произведение
3. Вычислить модули обоих векторов
4. Найти $\cos\varphi = |\vec{a} \cdot \vec{b}| / (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|)$ — берём модуль, т. к. угол между прямыми острый
5. Найти $\varphi = \arccos(\ldots)$

Стереометрия

Многогранники: объёмы и площади поверхностей

Тело	Объём	Площадь полной поверхности
Куб (ребро $a$)	$V = a^3$	$S = 6a^2$
Прямоугольный параллелепипед	$V = abc$	$S = 2(ab + bc + ac)$
Прямая призма	$V = S_{\text{осн}} \cdot h$	$S = 2S_{\text{осн}} + P_{\text{осн}} \cdot h$
Пирамида	$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$	$S = S_{\text{осн}} + S_{\text{боковая}}$

Визуальная схема для нахождения сечения: Сечение проходит через ребро — найди точки пересечения плоскости сечения с каждым ребром. Соедини эти точки последовательно.

Тела вращения

Тело	Объём	Площадь полной поверхности
Цилиндр	$V = \pi r^2 h$	$S = 2\pi r(r + h)$
Конус	$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$	$S = \pi r(r + l),\ l = \sqrt{r^2 + h^2}$
Шар	$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$	$S = 4\pi r^2$

Шаблон для комбинированной фигуры (конус на цилиндре):

1. Определить составные части фигуры
2. Выписать формулы объёма каждой части
3. Проверить, что высоты и радиусы соответствуют условию
4. Сложить объёмы

Координатный метод в стереометрии

Пошаговый алгоритм введения системы координат (задание 14, 18):

1. Выбрать вершину с наибольшим числом перпендикулярных рёбер как начало координат
2. Направить оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ вдоль рёбер (для прямоугольного параллелепипеда, куба, правильной призмы)
3. Записать координаты всех нужных вершин
4. Для угла между плоскостями — найти нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$, затем: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$
5. Для расстояния от точки до плоскости — найти уравнение плоскости и применить формулу

---

Теория вероятностей и статистика

Классическая вероятность

Основная формула: $P(A) = m / n$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.

Правила:

• Сумма несовместных событий: $P(A + B) = P(A) + P(B)$
• Произведение независимых событий: $P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$
• Дополнение: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Шаблон задачи с урнами:

1. Записать состав урны (сколько шаров каждого цвета)
2. Определить тип события: с возвращением или без
3. Если без возвращения: $P = C_{\text{нужных}}^k \cdot C_{\text{остальных}}^{n-k} / C_{\text{всего}}^n$
4. Проверить: сумма вероятностей всех исходов $= 1$

Условная вероятность и формула полной вероятности

Условная вероятность — вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

Правило умножения для зависимых событий:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Формула полной вероятности. Если события $H_1, H_2, \ldots, H_n$ образуют полную группу (несовместны, исчерпывающи), то для любого события $A$:

$$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + \ldots + P(H_n) \cdot P(A|H_n)$$

Пример из ЕГЭ: На заводе две линии. Первая производит 60% деталей (брак 2%), вторая — 40% (брак 5%). Найти вероятность, что случайная деталь бракованная.

$P(\text{брак}) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032.$

«Дерево вероятностей» — удобный способ визуализировать задачи на полную вероятность: от каждой «ветки» гипотезы рисуем ветки возможных исходов, перемножаем вероятности по ветвям, суммируем нужные.

Формула Бернулли

Формула Бернулли применяется, когда проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие $A$ происходит с вероятностью $p$ (не происходит — с вероятностью $q = 1 - p$). Вероятность того, что $A$ произойдёт ровно $k$ раз:

Пример из ЕГЭ: Монету бросают 4 раза. Найти вероятность выпадения орла ровно 3 раза.

$n = 4,\ k = 3,\ p = 0{,}5;\ q = 0{,}5$

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^1 = 4 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$

Понятие математического ожидания. Для дискретной случайной величины $X$ с значениями $x_1, x_2, \ldots, x_n$ и вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$:

$$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$$

Для серии Бернулли: $M(X) = n \cdot p$ (ожидаемое число успехов в $n$ испытаниях).

Комбинаторика

Тип	Формула	Когда применять
Перестановки	$P_n = n!$	Расставить $n$ элементов в ряд, порядок важен
Размещения	$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$	Выбрать $k$ из $n$, порядок важен
Сочетания	$C_n^k = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$	Выбрать $k$ из $n$, порядок не важен

Как определить тип: «Сколькими способами расположить» → перестановки. «Сколько делегаций из $k$ человек» → сочетания. «Сколько вариантов рассадить по местам» → размещения.

Статистика и анализ данных

• Среднее арифметическое: $\bar{x} = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) / n$
• Медиана: значение, делящее упорядоченный ряд пополам
• Мода: наиболее часто встречающееся значение

---

Числа и вычисления (базовый уровень)

Дроби, проценты, пропорции

• Сложение дробей: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$
• Умножение дробей: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
• $x\%$ от числа $A$: $A \cdot x / 100$
• $A$ составляет $x\%$ от $B$: $x = A \cdot 100 / B$

Шаблон задачи на проценты (базовый ЕГЭ):

1. Определить, что принять за 100% (исходное значение)
2. Записать пропорцию
3. Вычислить неизвестное
4. Проверить: ответ реалистичен по смыслу задачи

Степени и стандартный вид числа

• Стандартный вид: $a \cdot 10^n$, где $1 \leq a < 10$, $n \in \mathbb{Z}$
• Очень большое число: $3\,000\,000 = 3 \cdot 10^6$
• Очень малое число: $0{,}000045 = 4{,}5 \cdot 10^{-5}$

Делимость, НОД, НОК

Признаки делимости:

• На 2: последняя цифра чётная
• На 3: сумма цифр делится на 3
• На 5: последняя цифра 0 или 5
• На 9: сумма цифр делится на 9
• На 10: последняя цифра 0

Алгоритм Евклида (НОД): $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(b,\ a \bmod b)$, пока остаток $\neq 0$. $\text{НОК}(a, b) = a \cdot b / \text{НОД}(a, b)$.

---

Типичные ошибки на ЕГЭ и как их избежать

Ошибка	В каком задании	Как правильно
Потеря ОДЗ в логарифмических и иррациональных уравнениях	5, 11, 13	Записывать ОДЗ первой строкой, до всех преобразований
$\sqrt{a^2} = a$ вместо $|a|$	2, 9	Всегда применять модуль при чётной степени под корнем
Неверный знак при раскрытии скобок	1–4	Проверка подстановкой исходного значения
Ошибка в формуле дискриминанта (забыли $4ac$)	3, 10	Записывать $D = b^2 - 4ac$ полностью, не сокращая
Путаница $\sin/\cos$ при выборе формулы тригонометрии	6, 13	Рисовать единичную окружность и отмечать значения
Коэффициент $\frac{1}{3}$ пропущен в объёме пирамиды/конуса	18	Запомнить: конус и пирамида $= \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$
Критическая точка принята за экстремум без анализа знака $f'$	12, 15	Всегда строить таблицу знаков производной
Деление на $\sin/\cos$ без проверки равенства нулю	13	Рассматривать случай $\sin = 0$ (или $\cos = 0$) отдельно
Среднее вместо медианы в задачах статистики	8	Медиана — центральный элемент упорядоченного ряда
Неверный выбор начала координат в стереометрии	14, 18	Начало — вершина с тремя перпендикулярными рёбрами
Смешение условной и классической вероятности	5	Проверить: зависят ли события друг от друга перед применением формулы
Формула Бернулли применена при зависимых испытаниях	5	Убедиться, что каждое испытание независимо и вероятность постоянна

---

Шаблоны решения заданий по номерам ЕГЭ

Задания 1–7 (базовая часть): алгоритмы «без ошибок за 2 минуты»

№	Тип задачи	Что читать первым	Что проверить
1	Числовые выражения, степени, корни	Знак основания; чётность степени	$\sqrt{a^2} = |a|$
2	Упрощение выражений	Является ли основание положительным	ОДЗ (если есть корень или логарифм)
3	Квадратное уравнение	Коэффициенты $a$, $b$, $c$	Знак дискриминанта
4	Текстовая задача (проценты, прибыль)	Что взять за 100%	Реалистичность ответа
5	Уравнение/неравенство	ОДЗ	Подстановка корня в исходное
6	Планиметрия	Какую формулу использовать	Единицы измерения
7	Вероятность	Равновозможность исходов	Сумма вероятностей $= 1$

Задания 9–12 (профильная часть): разбор типовых структур

Задание 9 (функции, свойства):

1. Определить тип функции по виду формулы
2. Найти область определения
3. Исследовать монотонность (через производную или табличные свойства)
4. Определить область значений

Задание 11 (логарифмы, показательные уравнения):

1. Записать ОДЗ
2. Сделать замену переменной (если показательное или логарифмическое)
3. Решить полученное алгебраическое уравнение
4. Сделать обратную замену и проверить по ОДЗ

Задания 13–19 (сложные задачи): как не потерять баллы

Задание 13 (тригонометрическое уравнение):

1. Записать ОДЗ (особенно при наличии $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$)
2. Привести к одной тригонометрической функции
3. Решить базовое уравнение ($\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$)
4. Записать общее решение с параметром $n \in \mathbb{Z}$
5. Если задан промежуток — подставить значения $n$ и отобрать корни
6. Проверить все найденные корни по ОДЗ

Задание 14 (геометрия, координатный vs. классический метод):

Выбор метода: если в условии прямые углы + даны числовые размеры → координатный метод. Если задача на классические теоремы (подобие, признаки, теоремы Менелая/Чевы) → классический.

Задание 15 (оптимизация/экономика):

1. Ввести переменную (что оптимизируем)
2. Записать ограничения из условия
3. Выразить оптимизируемую величину через одну переменную
4. Найти производную, приравнять к нулю
5. Проверить, что найденная точка — минимум/максимум (знак производной)
6. Проверить граничные значения области определения

Задание 16 (неравенство):

1. Преобразовать к виду $f(x) > 0$ (или $< 0$)
2. Найти нули функции $f(x)$
3. Применить метод интервалов
4. Для дополнительной проверки: нарисовать эскиз графика $f(x)$

Задание 17 (задача с параметром):

1. Интерпретировать геометрически: уравнение с параметром = пересечение семейства прямых/кривых
2. Разобрать все случаи значений параметра (включая граничные)
3. Для каждого случая найти число решений
4. Записать ответ в виде множества значений параметра

Задание 18 (стереометрия): Использовать шаблон из раздела «Координатный метод в стереометрии» — введение координат и скалярное произведение для угловых задач.

Задание 19 (числа, делимость, доказательство):

1. Определить тип утверждения (делимость, остатки, чётность)
2. Разложить на множители или перейти к остаткам от деления
3. Провести доказательство «от противного» или прямое
4. Явно указать вывод в последней строке

---

Правила оформления задач второй части

Общие требования к оформлению второй части:

• Каждое утверждение должно быть обосновано: «по условию задачи», «по теореме Пифагора», «из ОДЗ», «так как...» — эксперт должен видеть, откуда берётся каждый шаг.
• Не допускать пропуска логических связок: «следовательно», «отсюда», «значит», «тогда».
• Все вводимые переменные и обозначения должны быть объяснены: «Пусть $x$ — искомая длина стороны (в метрах)».
• Ответ записывается в отдельной строке: «Ответ: $x = 3$».

Оформление ОДЗ (задание 13, 11, 16):

1. Записать ОДЗ первой строкой: «ОДЗ: $x - 1 > 0$, значит $x > 1$»
2. Вести вычисления, сохраняя ОДЗ как ограничение
3. В конце явно написать: «Проверка по ОДЗ: $x = 3 \in (1; +\infty)$ ✓; $x = -3 \notin (1; +\infty)$ — не является корнем»
4. Записать итоговый ответ только для корней, прошедших проверку

Оформление задания 13 (тригонометрическое уравнение с промежутком):

1. Написать исходное уравнение и ОДЗ
2. Привести к стандартному виду, объяснив каждое преобразование
3. Записать общее решение: «$x = \pi/6 + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$» или «$x = \pi/6 + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$»
4. Написать: «Найдём корни, принадлежащие промежутку $[a; b]$»
5. Подставить значения $n = 0, \pm1, \pm2, \ldots$ и проверить каждый
6. Записать итоговый ответ явным перечислением или в виде множества

Оформление геометрических задач (задания 14, 18):

• Указать метод: «Решим задачу координатным методом» или «Введём систему координат»
• Явно написать координаты всех используемых точек
• Для вектора: «Вектор $\vec{n_1} = (a; b; c)$ является нормалью к плоскости $ABC$, так как...»
• Вычисление угла записать по формуле: «$\cos\varphi = |\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| / (|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|) = \ldots$»
• Завершить фразой: «Следовательно, угол между плоскостями равен $\arccos(\ldots) \approx \ldots°$»

Оформление доказательства (задание 19):

1. Начать с постановки: «Докажем, что выражение $A$ делится на $n$»
2. Если доказательство «от противного»: «Предположим противное: пусть $A$ не делится на $n$. Тогда...»
3. Каждый шаг вывода — отдельная строка с обоснованием
4. Завершить: «Мы получили противоречие (или: что и требовалось доказать — ч.т.д.)»

---

Как оценить свой уровень: самодиагностика по темам

Отметьте для каждой темы: знаю / не уверен / не знаю

• Квадратные уравнения: дискриминант, формула корней, теорема Виета
• Степени и корни: все свойства, $\sqrt{a^2} = |a|$
• Логарифмы: 5 основных свойств, формула перехода, ОДЗ
• Тригонометрические уравнения: общее решение, отбор корней
• Производная: таблица, правила, исследование функции
• Первообразная: таблица, вычисление определённого интеграла
• Планиметрия: все формулы площадей, теоремы треугольника
• Векторы: координаты, скалярное произведение, угол между векторами
• Стереометрия: объёмы тел, координатный метод
• Прогрессии: формулы $n$-го члена и суммы для обоих видов
• Теория вероятностей: классическая формула, условная вероятность, формула Бернулли
• Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания
• Метод интервалов: пошаговый алгоритм
• Задача с параметром: геометрическая интерпретация
• Теоремы Менелая, Чевы, Птолемея — для задания 17

---

Официальные источники и ссылки

• Спецификация ФИПИ для профильного уровня: fipi.ru → раздел «ЕГЭ» → «Математика профильный уровень» → «Спецификация 2026»
• Кодификатор элементов содержания: там же, рядом со спецификацией
• Демоверсия КИМ 2026: fipi.ru → «Открытый банк заданий» и «Демонстрационные версии»

---

Часто задаваемые вопросы