Как читать диаграммы и графики в ЕГЭ по математике
Для кого эта статья
- Ученикам 10–11 классов, которые готовятся к ЕГЭ по математике и хотят разобраться с задачами на чтение графиков и диаграмм.
- Родителям старшеклассников, помогающих с подготовкой к экзамену и желающих понять, чего именно требует ЕГЭ.
- Репетиторам и школьным учителям математики, которым нужен структурированный методический материал.
- Самостоятельно готовящимся выпускникам, повышающим первичный балл за счёт точной работы с визуальными данными.
Ключевые выводы из статьи
- Любой график или диаграмму на ЕГЭ можно разобрать за 6 повторяемых шагов — от прочтения заголовка до санити-чека ответа; этот алгоритм работает одинаково для базового и профильного уровней.
- Большинство потерянных баллов связаны не с незнанием математики, а с неправильно прочитанной ценой деления шкалы или перепутанными единицами измерения — в статье разобраны 7 самых частых ловушек.
- Структура заданий на анализ графиков и диаграмм в КИМ ЕГЭ 2026 года не изменится: достаточно освоить классические форматы столбчатых, круговых, линейных диаграмм и стандартных графиков функций.
- Для задания 11 профильного уровня одного визуального чтения недостаточно — нужно уметь восстанавливать уравнение функции по координатам узловых точек через систему уравнений.
- Работа с карандашом прямо в бланке КИМ — вспомогательные линии, обведённая легенда, выписанная цена деления — сокращает время решения и снижает число ошибок из-за невнимательности.
Если вы хотите не просто прочитать теорию, но и отработать навык на реальных задачах в формате ЕГЭ с разбором ошибок, обратите внимание на материалы подготовки к ЕГЭ по математике для 11 класса.
Что такое диаграммы
Они полезны, когда нужно сравнить между собой данные, но делать обычным способом это неудобно. Тогда величины можно представить в виде частей от целого, т. е. их суммы, с помощью круговой диаграммы. Также данные удобно сравнивать визуально с помощью гистограммы — диаграммы, где величины представлены в виде столбиков.
Виды диаграмм, которые встречаются на ЕГЭ
- Столбчатая (гистограмма) — показывает абсолютные или относительные величины по категориям; столбцы могут быть вертикальными или горизонтальными.
- Круговая (секторная) — каждый круговой сектор отражает долю (в процентах или в долях единицы) от целого; встречается преимущественно на базовом уровне.
- Линейная (временно́й ряд) — демонстрирует изменение показателя (температура, курс валют, осадки) во времени; требует умения интерполировать значение между делениями.
Как читать диаграммы: разбор заданий ЕГЭ
Чтобы решить задания с диаграммой, нужно просто рассмотреть её и проанализировать информацию. В случае со сложными задачами нужно следовать такому алгоритму:
- Собрать информацию, которая дана на рисунке.
- Если нужно, представить её в виде таблицы.
- Проанализировать данные в таблице и выполнить дополнительные действия, чтобы найти ответ на вопрос задания.
Опробуем этот алгоритм на заданиях демоверсии ЕГЭ по математике и варианте из Открытого банка заданий ФИПИ.
Задание №3
На диаграмме приведены данные о длине восьми крупнейших рек России (в тысячах километров). Первое место по длине занимает река Лена. На каком месте по длине находится река Амур?
Решение: Это простое задание. Чтобы решить его, достаточно просто посмотреть на диаграмму и отсчитывать столбики от самого длинного к самому короткому, пока не дойдём до Амура. В данном случае переносить данные в столбик бессмысленно — это только усложнит решение.
Ответ: 7.
Задание №7
Дан фрагмент электронной таблицы.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 5 | ||
| 2 | =(A1+C1)/4 | =C1-1 | =A2/2 | =B1/2 |
Какое число должно быть записано в ячейке B1, чтобы построенная после выполнения вычислений диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку?
Решение:
- Выполним действия, чтобы заполнить неизвестные ячейки в таблице: B2 = 5−1 = 4; A2 = (5+3)/4 = 2; C2 = 2/2 = 1.
- Проанализируем диаграмму, чтобы соотнести значения ячеек с секторами. Получаем 1:1:2:4.
- Т. к. ещё не занятый сектор D2 равен C2 по диаграмме, то D2 = 1.
- Т. к. D2 = B1/2 = 1, то составляем уравнение и получаем B1 = D2 · 2 = 2.
Ответ: 2.
Разбор дополнительных заданий: диаграммы
Задание со столбчатой диаграммой
Условие (экзаменационный формат): На гистограмме показано количество дней с осадками по месяцам за год. Определите, в каком месяце было наибольшее количество дней с осадками, и найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями.
Быстрый подход: Смотрим на высоту столбцов. Перед тем как сравнивать, обязательно вычисляем цену деления оси ординат. Если между 0 и 10 нарисовано 5 делений, цена одного деления = 2.
Полное решение по шагам:
- Считаем цену деления: (10 − 0) ÷ 5 = 2 дня на деление.
- Находим самый высокий столбец — допустим, ноябрь, высота = 8 делений → 8 × 2 = 16 дней.
- Находим самый низкий столбец — допустим, июль, высота = 2 деления → 2 × 2 = 4 дня.
- Разность: 16 − 4 = 12 дней.
Задание с круговой диаграммой
Условие: По круговой диаграмме определить, сколько студентов выбрали математику как любимый предмет, если всего опрошено 200 студентов, а сектор «Математика» составляет 35%.
Полное решение:
- Находим сектор «Математика» — 35%.
- Вычисляем: 200 × 35 ÷ 100 = 70 студентов.
Задание с комбинированной диаграммой (два ряда данных)
Условие: На диаграмме столбцами показан план продаж, линией — фактические продажи по месяцам. Найти, в каком месяце фактические продажи превысили план больше всего.
Полное решение:
- Переносим все значения в таблицу.
- Выписываем значения плана по каждому месяцу (столбцы).
- Выписываем значения факта по каждому месяцу (линейный ряд).
- Считаем разность: факт − план для каждого месяца.
- Находим максимальное положительное значение разности.
Что такое графики
Одна из величин графика отражена на горизонтальной оси $x$, вторая — на вертикальной оси $y$. На их пересечении отмечают точки изменения в соотношении этих величин. Соединённые вместе, они образуют график.
Виды графиков, которые встречаются на ЕГЭ
- График функции — линейный, парабола, гипербола, экспонента, логарифм; встречается в задании 9 и задании 11 профильного уровня.
- Линейный график — функция задана по частям прямыми отрезками; типичная тема — движение, скорость, изменение.
- Комбинированный — совмещает, например, столбчатую диаграмму и линейный график для сравнения двух рядов данных.
Как читать графики: разбор заданий ЕГЭ
Правильно построенный график помогает быстрее решить задачу и избежать нескольких строк лишних расчётов. Как и в случае с диаграммами, для решения простых задач с графиками нужно лишь оценить их «на глаз» и проанализировать данные.
Для примера разберём те из них, что есть в демоверсии ЕГЭ по математике за 2024 год и Открытом банке заданий ФИПИ.
Задание №3
На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На горизонтальной оси отмечены число, месяц, время суток в часах; на вертикальной оси — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение: Чтобы решить задачу, нужен только один участок графика — с 00:00 19 февраля до 00:00 20 февраля. Его высшая точка, которая показывает искомую температуру, находится ровно между −2 и −4. Находим значение этой точки и записываем в ответ.
Ответ: −3 °С.
Задание №3
На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, чему равно атмосферное давление на высоте 7 км над уровнем моря. Ответ дайте в миллиметрах ртутного столба.
Решение: Находим на горизонтальной оси, которая отражает высоту над уровнем моря, значение 7. От неё идём вверх по вертикальной прямой до тех пор, пока она не пересечётся с графиком. Точка пересечения — и есть искомое значение давления. Вычислять цену деления в этом задании не придётся, т. к. точка пересечения находится на целом значении — 300.
Ответ: 300 мм ртутного столба.
Задание №7
На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.
| Интервалы времени | Характеристики |
|---|---|
|
А) 0–1 мин. Б) 1–3 мин. В) 3–6 мин. Г) 8–10 мин. |
|
Решение: Чтобы решить это задание, будем анализировать интервалы, которые даны в его условии и сопоставлять с вариантами характеристик. Сперва соотносим очевидные варианты, затем — не очень.
А) В этом интервале отмечена температура до 30 °C, поэтому подходит вариант 4.
В) В этом интервале зафиксирован промежуток температуры с 40 °C до 75 °C, поэтому подходит вариант 3.
Г) Это единственный интервал, на котором график идёт вниз, поэтому подходит вариант 2.
Б) Методом исключения подходит вариант 1. Если присмотреться к графику, линия в этом интервале действительно более пологая, чем в остальных, что указывает на медленный рост температуры.
Ответ: 4132.
Перевод графиков в таблицы
Зачем переводить диаграмму в таблицу
Когда взгляд «прыгает» между несколькими столбцами или линиями, мозг легко путает значения. Особенно это опасно в комбинированных диаграммах и в задачах, где нужно сравнить 6–12 периодов. Перенос данных в таблицу на черновике занимает 30–40 секунд, но полностью исключает этот класс ошибок.
Шаблон таблицы для любого временно́го ряда или гистограммы
| Период / Категория (ось абсцисс) | Значение 1 (ось ординат) | Значение 2 (вторая ось ординат, если есть) |
|---|---|---|
| Январь | ... | ... |
| Февраль | ... | ... |
| Март | ... | ... |
| ... | ... | ... |
Порядок действий при переносе данных:
- Запиши цену деления оси ординат в шапку таблицы — так ты не забудешь её в процессе.
- Прочитай значение каждого столбца или узловой точки линии и занеси в таблицу. Двигайся строго слева направо.
- Если в диаграмме два ряда данных (план и факт, мальчики и девочки) — используй отдельный столбец для каждого ряда.
- Все дальнейшие вычисления производи только по данным таблицы, не возвращаясь к изображению.
Пример: комбинированная диаграмма «план vs факт»
Допустим, диаграмма показывает план продаж (столбцы) и фактические продажи (линия) за 4 месяца. После переноса в таблицу:
| Месяц | План (тыс. руб.) | Факт (тыс. руб.) | Разность (факт − план) |
|---|---|---|---|
| Январь | 80 | 75 | −5 |
| Февраль | 90 | 100 | +10 |
| Март | 100 | 115 | +15 |
| Апрель | 110 | 120 | +10 |
Из таблицы мгновенно видно: в марте превышение плана максимально (+15 тыс. руб.). Попробуй найти этот ответ, не делая таблицу — почти всегда возникает соблазн перечитать диаграмму несколько раз и при этом ошибиться.
Разбор дополнительных заданий: графики функций
Нахождение значения функции в точке
Условие: По графику функции $f(x)$ найдите значение $f(3)$.
Решение: Проведи вертикальную линию $x = 3$ до пересечения с графиком (это движение вдоль оси абсцисс). Из точки пересечения проведи горизонтальную линию к оси ординат — прочитай значение $y$. Цену деления оси ординат выпиши заранее.
Нахождение нулей функции и знака на промежутке
Условие: По графику функции определите количество нулей функции на отрезке $[-4;\, 4]$ и промежутки, на которых функция отрицательна.
- Нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Считаем их количество на нужном отрезке.
- Функция отрицательна там, где график расположен ниже оси абсцисс. Выписываем интервалы.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке
Условие: По графику найдите наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1;\, 5]$.
- Ограничь взгляд только отрезком $[1;\, 5]$ на оси абсцисс — игнорируй остальную часть графика.
- Найди наиболее высокую точку на этом участке — это экстремум (точка максимума) или граничное значение.
- Прочитай ординату этой точки через перпендикуляр к оси ординат.
Задача на пересечение двух графиков (количество решений уравнения)
Условие: По графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ определите количество решений уравнения $f(x) = g(x)$.
Решение: Количество решений уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения двух графиков. Считаем точки пересечения — это ответ.
Кусочно-линейный график: скорость, путь, изменение
Условие: На кусочно-линейном графике показано изменение расстояния от школы до дома ученика в зависимости от времени. Найдите, с какой скоростью (в км/ч) он двигался на втором участке пути.
- Выдели второй участок — два узловых значения $(x_1,\, y_1)$ и $(x_2,\, y_2)$ на осях абсцисс и ординат.
- Скорость = $(y_2 - y_1) \div (x_2 - x_1)$ — это угловой коэффициент отрезка.
- Учти единицы: если $x$ — в минутах, переведи результат в км/ч, умножив на 60.
Задание 11 профильного уровня: как найти формулу функции по графику
Почему одного «визуального чтения» недостаточно
Визуальные приёмы (читать значение по оси ординат, находить нули) отлично работают в базовой математике и в простых задачах профильного уровня. Но в задании 11 профильного ЕГЭ нередко требуется восстановить уравнение функции по её графику или определить конкретные параметры. Для этого нужен алгебраический подход: подбор узловых точек и составление системы уравнений.
Алгоритм восстановления уравнения функции по графику
- Определи тип функции по форме графика — прямая линия, парабола, гипербола, показательная кривая, логарифмическая кривая.
- Запиши общий вид формулы с неизвестными коэффициентами ($k$, $b$, $a$, $c$ и т. д.).
- Найди на графике узловые точки с целыми координатами — точки, которые явно лежат на пересечении линий координатной сетки. Запиши их в таблицу $(x;\, y)$.
- Подставь координаты точек в общую формулу — получи систему уравнений.
- Реши систему и найди значения всех коэффициентов.
- Запиши итоговую формулу и проверь на третьей точке, если она есть.
Линейная функция: $y = kx + b$
Условие: По графику прямой линии восстановить уравнение функции $y = kx + b$, если прямая проходит через точки $(1;\, 3)$ и $(3;\, 7)$.
Точка $(3;\, 7)$: $7 = k \cdot 3 + b$ → $3k + b = 7$ (уравнение 2)
Вычитаем уравнение 1 из уравнения 2:
$2k = 4 \Rightarrow k = 2$
Подставляем $k = 2$ в уравнение 1:
$2 + b = 3 \Rightarrow b = 1$
Итоговое уравнение: $y = 2x + 1$
Квадратичная функция (парабола): $y = ax^2 + bx + c$
Условие: Парабола проходит через точки $(0;\, 1)$, $(1;\, 0)$ и $(-1;\, 4)$. Восстановить коэффициенты $a$, $b$, $c$.
Точка $(1;\, 0)$: $0 = a + b + 1$ → $a + b = -1$ (уравнение 1)
Точка $(-1;\, 4)$: $4 = a - b + 1$ → $a - b = 3$ (уравнение 2)
Складываем: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$; из уравнения 1: $b = -2$
Итоговое уравнение: $y = x^2 - 2x + 1$ (то есть $y = (x-1)^2$)
Определение коэффициентов по виду параболы: шпаргалка
| Что видим на графике параболы | Что это говорит о коэффициентах |
|---|---|
| Ветви направлены вверх | $a > 0$ |
| Ветви направлены вниз | $a < 0$ |
| График пересекает ось ординат в точке $(0;\, c)$ | $c$ — свободный член; читается прямо с оси ординат |
| Вершина параболы: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ | Зная $x_0$ и $a$, находим $b = -2ax_0$ |
| Парабола симметрична относительно $x = 2$ | $x_0 = 2$, значит $b = -4a$ |
Графики сложных функций: логарифм, экспонента, тригонометрия
Логарифмическая функция: $y = \log_a(x + b)$
График логарифмической функции имеет характерный вид: быстро растёт вблизи нуля и замедляется при больших $x$. Ключевые особенности для ЕГЭ:
- При основании $a > 1$ функция возрастает; при $0 < a < 1$ — убывает.
- График всегда имеет вертикальную асимптоту в точке, где аргумент обращается в 0 (то есть $x = -b$).
- График проходит через точку $(1 - b;\, 0)$, так как $\log_a(1) = 0$.
Пример восстановления основания по точкам: Если функция $f(x) = \log_a(x)$ проходит через точку $(9;\, 2)$, то $\log_a(9) = 2$, откуда $a^2 = 9$, $a = 3$.
$f(x_1) = y_1 \Rightarrow \log_a(x_1) = y_1 \Rightarrow a^{y_1} = x_1 \Rightarrow a = x_1^{1/y_1}$
Показательная функция: $y = a^x$
График показательной функции всегда проходит через точку $(0;\, 1)$, так как $a^0 = 1$ при любом основании. Ключевые признаки:
- При $a > 1$ — функция возрастает (экспоненциальный рост).
- При $0 < a < 1$ — функция убывает (экспоненциальное затухание).
- График никогда не пересекает ось абсцисс (всегда положителен).
- Горизонтальная асимптота — ось абсцисс ($y = 0$).
Задача-пример (профильный уровень): Функция $y = a^x$ проходит через точку $(2;\, 9)$. Найдите основание $a$.
Тригонометрические функции: амплитуда и сдвиги
В задании 11 профильного ЕГЭ иногда встречаются графики вида $y = A \cdot \sin(\omega x + \varphi) + d$. Для чтения таких графиков используй следующие ориентиры:
| Параметр | Геометрический смысл | Как определить по графику |
|---|---|---|
| $A$ (амплитуда) | Полуразмах колебаний | $(y_{\max} - y_{\min}) \div 2$ |
| $d$ (вертикальный сдвиг) | Смещение оси симметрии от оси абсцисс | $(y_{\max} + y_{\min}) \div 2$ |
| $T$ (период) | Длина одного полного колебания | Расстояние между двумя соседними максимумами (по оси абсцисс) |
| $\omega$ | Частота: $\omega = 2\pi / T$ | Вычисляется через период $T$ |
| $\varphi$ (фаза) | Горизонтальный сдвиг | Положение первого нуля (или максимума) относительно оси ординат |
График производной в ЕГЭ: как читать и не путать с графиком функции
Задание 11 профильного ЕГЭ нередко предъявляет именно график производной, требуя найти промежутки возрастания, точки экстремума или значения исходной функции. Это отдельный навык.
Ключевые правила чтения графика производной
| Что видим на графике $f'(x)$ | Что это означает для $f(x)$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ (график выше оси абсцисс) | $f(x)$ возрастает на этом промежутке |
| $f'(x) < 0$ (график ниже оси абсцисс) | $f(x)$ убывает на этом промежутке |
| $f'(x) = 0$ и знак меняется «−» → «+» | Точка минимума функции $f(x)$ |
| $f'(x) = 0$ и знак меняется «+» → «−» | Точка максимума функции $f(x)$ |
| $f'(x) = 0$, знак не меняется | Нет экстремума — точка перегиба или касания |
| $f'(x_0)$ — значение в точке | Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной к $f(x)$ в точке $x_0$ |
Как отличить график функции от графика производной в задании без подписей: если на графике есть явные «переходы через ноль» по оси абсцисс, а вопрос касается промежутков возрастания — скорее всего, перед тобой график производной. Если в условии явно написано $f'(x)$ — сомнений нет.
Частые ошибки и ловушки: как их заметить и обойти
| Ошибка | Как проявляется | Как избежать |
|---|---|---|
| Неверная цена деления шкалы | Ответ кратно отличается от правильного (в 2, 5 или 10 раз) | Всегда считай цену деления: $(\max - \min) \div \text{количество делений}$ |
| Проигнорирована легенда | Смешиваются данные двух разных рядов | Обведи легенду карандашом до начала решения |
| Ошибка интерполяции | Значение между делениями читается неточно | Оцени пропорционально: «на ⅓ деления выше» → цена × ⅓ |
| Перепутаны единицы | Ответ в тысячах вместо штук или наоборот | Выпиши единицы оси ординат в черновик до вычислений |
| Смешаны два ряда в комбинированном графике | Значение линейного ряда читается по шкале столбчатого | Решай каждый ряд строго по своей оси ординат |
| Экстраполяция за пределы графика | Ответ даётся для значения $x$ за рамками оси абсцисс | Работай только с данными в пределах нарисованных осей |
| Лишние вычисления | Считаешь то, что не спрашивают, теряешь время | Перечитай вопрос задачи до начала любых вычислений |
Тренировочные задания для самопроверки
Ниже — 10 заданий в формате ЕГЭ: 5 базовых и 5 профильных. Реши каждое самостоятельно, затем проверь ответ.
Базовый уровень
Задание Б1
На гистограмме показано количество учеников, участвующих в олимпиадах: январь — 4 столбца по 5 человек, февраль — 6 столбцов по 5 человек. Цена деления оси ординат = 5. На сколько больше учеников участвовало в феврале, чем в январе?
Ответ: 10 человек.
Задание Б2
По круговой диаграмме: сектор «Спорт» = 20%, всего опрошено 500 человек. Сколько человек выбрали спорт?
Ответ: 100 человек.
Задание Б3
На линейном графике температуры: наибольшее значение = 28 °C, наименьшее = −4 °C. Найдите разность по оси ординат.
Ответ: 32 °C.
Задание Б4
По столбчатой диаграмме осадков: шаг оси ординат = 10 мм, высота столбца марта = 3,5 деления. Каково количество осадков в марте?
Ответ: 35 мм.
Задание Б5
Круговая диаграмма: сектор «Книги» занимает 90° из 360°. Какой процент составляет этот сектор?
Ответ: 25%.
Профильный уровень
Задание П1
По графику функции $f(x)$ определить количество решений уравнения $f(x) = 1$, если линия $y = 1$ пересекает параболу в двух точках и касательную — в одной.
Ответ: 3 решения.
Задание П2
На кусочно-линейном графике движения: на участке от $t = 2$ до $t = 5$ мин значение по оси ординат изменилось с 1 км до 4 км. Найдите скорость на этом участке в км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
Задание П3
По графику производной $f'(x)$: $f'(x) > 0$ на $(1;\, 4)$, $f'(x) < 0$ на $(4;\, 7)$. Определить, является ли точка $x = 4$ точкой максимума или минимума функции $f(x)$.
Ответ: точка максимума (знак «+» → «−»).
Задание П4
По графику параболы, проходящей через точки $(0;\, 3)$, $(1;\, 1)$ и $(-1;\, 7)$, восстановите уравнение функции $y = ax^2 + bx + c$.
Ответ: $y = 2x^2 - 4x + 3$.
Задание П5
На графике $f'(x)$ нарисована гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Определить, возрастает или убывает $f(x)$ при $x > 0$.
Ответ: убывает (гипербола в IV четверти → $f'(x) < 0$ при $x > 0$).
Международные методические материалы
Навык чтения графиков и диаграмм — универсальная математическая компетенция. Если хочешь углубить понимание принципов интерпретации данных, ознакомься с материалами авторитетных международных источников:
- NCES: Interpreting Graphs and Charts — Национальный центр статистики образования США: принципы интерпретации диаграмм и графиков с методическими пояснениями.
- Khan Academy: Reading Pictographs and Bar Charts — видеоурок по чтению столбчатых диаграмм на базовом уровне; полезен для первичного понимания принципов работы со шкалой.
Частые вопросы (FAQ)
Под какими номерами находятся задания с графиками в ЕГЭ по математике?
В профильном ЕГЭ по математике задания с графиками функций сосредоточены преимущественно в задании 9 (анализ свойств функции по графику) и задании 11 (графики функций и производной). В базовом ЕГЭ задачи на диаграммы встречаются в первой части — в заданиях на анализ статистических данных. Точная нумерация фиксируется в демоверсии КИМ на официальном сайте ФИПИ.
Как определить коэффициенты квадратичной функции по графику параболы?
Для определения коэффициентов $y = ax^2 + bx + c$ по графику параболы: (1) коэффициент $a$ определяется по направлению ветвей — вверх: $a > 0$, вниз: $a < 0$; (2) вершина параболы $(x_0,\, y_0)$ даёт $x_0 = -b/(2a)$, откуда $b = -2ax_0$; (3) коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения с осью ординат. Подставь координаты любой известной точки для проверки.
Как по графику производной найти точки экстремума функции?
Критическая точка — это точка, в которой $f'(x) = 0$ (пересечение графика производной с осью абсцисс). Это точка максимума $f(x)$, если знак $f'(x)$ меняется с «+» на «−» (слева направо по оси абсцисс). Это точка минимума, если знак меняется с «−» на «+». Если знак не меняется — экстремума нет.
Как найти процент от целого по круговой диаграмме на ЕГЭ?
Алгоритм: (1) определи угол сектора или подпись с процентом; (2) если указан только угол — вычисли %: угол ÷ 360 × 100; (3) для нахождения абсолютного значения: целое × % ÷ 100. Главная ошибка — перепутать % и абсолютное значение в ответе.
Как правильно определить цену деления на графике?
Формула: цена деления = (значение верхней отметки − значение нижней отметки) ÷ количество делений между ними. Пример: если между отметками 0 и 20 на оси ординат находится 4 деления, цена одного деления = 5. Никогда не определяй «на глаз» — это источник ошибок, кратных 2 или 5.
Изменились ли задания с диаграммами в ЕГЭ 2026 года?
Нет. Согласно актуальным данным о структуре КИМ, изменений в заданиях на анализ графиков и диаграмм в ЕГЭ 2026 года не запланировано. Форматы визуализации остаются прежними: столбчатые, круговые, линейные диаграммы и стандартные графики функций. Критерии оценивания сохраняются: 1 первичный балл за каждый правильный ответ.
Как отличить график функции от графика её производной?
Признаки графика производной: (1) вопрос задания касается промежутков возрастания или убывания функции, точек экстремума; (2) на графике явно видны переходы через ось абсцисс, которые соответствуют экстремумам исходной функции; (3) нередко это более «простая» кривая (линейная или параболическая), тогда как исходная функция сложнее. Если в условии явно написано $f'(x)$ — сомнений нет.
Как восстановить формулу линейной функции по двум точкам графика?
Запиши общий вид $y = kx + b$. Найди на графике две точки с целыми координатами. Подставь их в формулу — получи систему двух уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$. Реши систему (вычти одно уравнение из другого для нахождения $k$, затем найди $b$). Никогда не определяй $k$ «на глаз» по наклону — только через систему уравнений.
Сколько времени оптимально тратить на задание с диаграммой на ЕГЭ?
Для заданий с диаграммами базового и профильного уровня целевое время — не более 2–3 минут на задание. Если за 3 минуты ответ не получен — пропусти задание и вернись к нему в конце. Задания с диаграммами в первой части ЕГЭ, как правило, решаются за 1–2 минуты при наработанном навыке. Не трать время на красивое оформление черновика — достаточно выписать цену деления и занести значения в одну строку.
Ещё больше заданий с графиками и диаграммами, которые могут встретиться на экзамене, — в Тренажёре ЕГЭ. В нём можно без ограничений попрактиковаться в этой и других темах. Это бесплатно!
Помогите ребёнку поверить
в себя и получить знания
для успешного будущего
Заполните заявку
и получите программу
обучения для вашего ребёнка
