Вычисление значений тригонометрических выражений

Для кого эта статья

---

Ключевые выводы из статьи

---

Тригонометрические выражения: формулы и свойства

Для преобразования тригонометрических выражений необходимо знать базу: основные формулы, периодичность и чётность функций, а также уметь приводить аргументы к стандартным. Давайте освежим свои знания по этим темам.

Основные формулы

• $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
• $\tg{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$
• $\ctg{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$
• $\tg{\alpha}\cdot\ctg{\alpha}=1$
• $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}=\tg^{2}\alpha+1$
• $\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}=\ctg^{2}\alpha+1$

Радианы и градусы

Формула перевода:

Направление	Формула	Пример
Градусы → Радианы	$\alpha \text{ (рад)} = \alpha° \times \dfrac{\pi}{180}$	$60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$
Радианы → Градусы	$\alpha° = \alpha \text{ (рад)} \times \dfrac{180}{\pi}$	$\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 45°$

Таблица соответствия ключевых углов:

Градусы	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
Радианы	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Типичная ошибка: путаница между $\dfrac{\pi}{6}$ (30°) и $\dfrac{\pi}{3}$ (60°). Запомните: чем больше угол в градусах, тем больше числитель дроби. «Шестёрка в знаменателе — меньший угол 30°, тройка — больший угол 60°».

Единичная окружность

Каждая точка $P$ на этой окружности задаётся углом $\alpha$ (который отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки) и имеет координаты:

Функция	Геометрический смысл
$\sin\alpha$	Ордината ($y$-координата) точки $P$ на единичной окружности
$\cos\alpha$	Абсцисса ($x$-координата) точки $P$ на единичной окружности
$\tan\alpha$	Отношение ординаты к абсциссе: $y/x$ (при $x \neq 0$)
$\cot\alpha$	Отношение абсциссы к ординате: $x/y$ (при $y \neq 0$)

Ключевые точки на единичной окружности (координаты):

Угол	Точка $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$
$0°\ (0)$	$(1;\ 0)$
$30°\ \left(\dfrac{\pi}{6}\right)$	$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$
$45°\ \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$	$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$60°\ \left(\dfrac{\pi}{3}\right)$	$\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$90°\ \left(\dfrac{\pi}{2}\right)$	$(0;\ 1)$
$180°\ (\pi)$	$(-1;\ 0)$
$270°\ \left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$	$(0;\ -1)$

Таблица основных значений тригонометрических функций

Угол	$0°$	$30°\ \left(\dfrac{\pi}{6}\right)$	$45°\ \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$	$60°\ \left(\dfrac{\pi}{3}\right)$	$90°\ \left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\sin$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	не определён
$\cot$	не определён	$\sqrt{3}$	$1$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

Формулы двойного угла

• $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot\cos{\alpha}$
• $\cos{2\alpha}=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$
• $\tg{2\alpha}=\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}$
• $\ctg{2\alpha}=\dfrac{\ctg^{2}\alpha-1}{2\ctg\alpha}$

Формулы суммы и разности углов

Формула	Выражение
$\sin(\alpha + \beta)$	$\sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta)$	$\sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta)$	$\cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta)$	$\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta$
$\tan(\alpha + \beta)$	$\dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta}$
$\tan(\alpha - \beta)$	$\dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}$

Когда применять: нестандартные углы — $15°$, $75°$, $105°$, $165°$ — всегда раскладываются как сумма или разность табличных углов ($30°$, $45°$, $60°$).

Формулы двойного и половинного угла

Формула	Выражение
$\sin 2\alpha$	$2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha$
$\cos 2\alpha$	$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
$\tan 2\alpha$	$\dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$
$\sin^2\alpha$	$\dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
$\cos^2\alpha$	$\dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

Когда применять: при упрощении произведений $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$ → заменяем на $\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha$; при возведении в квадрат — используем формулы понижения степени.

Основные тригонометрические тождества

Тождество	Следствия
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$	$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$; $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$	$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$
$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$	Применяется при выражении через тангенс
$1 + \cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}$	Применяется при выражении через котангенс

Периодичность

Вспомните графики синуса и косинуса: они представляют собой симметричную волну (колебания), где значения максимума и минимума по оси ординат (ось OY) всегда одинаковы и повторяются через равные промежутки по оси абсцисс (ось OX). Это же правило справедливо и для функции тангенса и котангенса.

• $\sin(a\pm 2\pi n)=\sin\alpha$
• $\cos(a\pm 2\pi n)=\cos\alpha$
• $\tg(a\pm \pi n)=\tg\alpha$
• $\ctg(a\pm \pi n)=\ctg\alpha$

Функция	Период	Формула
$\sin x$	$2\pi$ (360°)	$\sin(x + 2\pi n) = \sin x$
$\cos x$	$2\pi$ (360°)	$\cos(x + 2\pi n) = \cos x$
$\tan x$	$\pi$ (180°)	$\tan(x + \pi n) = \tan x$
$\cot x$	$\pi$ (180°)	$\cot(x + \pi n) = \cot x$

Практическое применение: для угла, например, $750°$ последовательно вычитаем $360°$: $750° - 360° = 390°$, $390° - 360° = 30°$. Таким образом, $\sin 750° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.

Чётность

Чётность функции определяется по симметричности относительно нуля, а также по результату после подстановки аргумента с противоположным знаком:

• если f(−x) = f(x), то функция чётная;
• если f(−x) = −f(x), то функция нечётная.

• $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
• $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
• $\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$
• $\ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha$

Из всех перечисленных тригонометрических функций только косинус является чётной функцией, все остальные — нечётные.

Функция	Тип	Формула	Пример
$\cos x$	Чётная	$\cos(-x) = \cos x$	$\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x$	Нечётная	$\sin(-x) = -\sin x$	$\sin(-30°) = -\sin 30° = -\dfrac{1}{2}$
$\tan x$	Нечётная	$\tan(-x) = -\tan x$	$\tan(-30°) = -\tan 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot x$	Нечётная	$\cot(-x) = -\cot x$	$\cot\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\cot\dfrac{\pi}{4} = -1$

Знаки по четвертям

Не все значения тригонометрических функций положительны. Знак зависит от того, в какой координатной четверти находится искомый угол. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки начиная с верхнего правого угла.

Мнемоника «ВСЕХ → СИН → ТАН → КОС» (читается по четвертям I→II→III→IV) показывает, какие функции положительны в каждой четверти:

Четверть	Углы (°)	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
I (ВСЕХ)	$0° - 90°$	$+$	$+$	$+$	$+$
II (СИН)	$90° - 180°$	$+$	$-$	$-$	$-$
III (ТАН)	$180° - 270°$	$-$	$-$	$+$	$+$
IV (КОС)	$270° - 360°$	$-$	$+$	$-$	$-$

Расшифровка мнемоники: «ВСЕХ» — все функции положительны; «СИН» — только синус; «ТАН» — только тангенс (и котангенс); «КОС» — только косинус.

Формулы приведения

Например, вам нужно найти $\sin{135°}$, но такого угла нет в таблице функций основных аргументов. Что мы можем сделать?

1. Определим знак функции с помощью тригонометрической окружности.
2. Распишем $\sin{135°}=\sin(90°+45°)$ или $\sin{135°}=\sin(180°-45°)$.
3. Воспользуемся формулами приведения:
   $\sin(90+\alpha)=\cos\alpha$ или $\sin(180-\alpha)=\sin\alpha$
4. $\sin{135°}=\sin(90°+45°)=\cos{45°}$ или $\sin{135°}=\sin(180°-45°)=\sin{45°}$

Общее правило использования формул приведения:

1. Если мы расписываем аргумент через $180°(\pi)$ и $360°(2\pi)$, сама функция остаётся прежней:
   $\sin(180-\alpha)=\sin\alpha$
   $\cos(180-\alpha)=-\cos\alpha$
2. Если мы расписываем аргумент через $90°\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ и $270°\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$, функция меняется на противоположную:
   $\sin(90-\alpha)=\cos\alpha$
   $\cos(90-\alpha)=\sin\alpha$ и т. д.

Как уже говорилось выше, знак мы определяем по тригонометрической окружности у изначальной функции: в примере $\sin135°$ угол $135°$ находится во второй четверти (от $\dfrac{\pi}{2}$ до $\pi$), и синус в этой четверти положительный.

Пошаговый алгоритм вычисления тригонометрического выражения

Следующий алгоритм применим к любому тригонометрическому выражению, независимо от его сложности.

Шаг	Действие	Инструмент
1	Привести угол к диапазону $[0°;\ 360°]$ — убрать лишние полные обороты	Периодичность: $-360° \times n$
2	Если угол отрицательный — применить свойство чётности/нечётности	$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$;\ $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
3	Определить четверть, в которой лежит угол	Таблица четвертей
4	Применить формулы приведения → свести к углу из I четверти	Таблица формул приведения
5	Если угол нестандартный ($15°$, $75°$, и т.д.) — применить формулу суммы/разности	$\sin(\alpha \pm \beta)$, $\cos(\alpha \pm \beta)$
6	Подставить табличные значения и вычислить	Таблица значений $\sin/\cos/\tan$
7	Проверить знак результата по четверти исходного угла	Мнемоника ВСЕХ-СИН-ТАН-КОС

А теперь предлагаем посмотреть типовые задания на преобразования тригонометрических выражений. Вот увидите — всё не так страшно, как кажется.

---

Примеры заданий

Задача 1. Простое вычисление: $\sin 150°$

Уровень: базовый | Метод: формула приведения

Решение:

1. Угол $150°$ лежит во II четверти ($90° < 150° < 180°$). В II четверти синус положителен.

2. Представим: $150° = 180° - 30°$.

3. Применяем формулу приведения: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.

4. Следовательно: $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

Задача 2. Отрицательный угол: $\cos(-60°)$ и $\tan(-30°)$

Уровень: базовый | Метод: чётность/нечётность

Решение для $\cos(-60°)$:

1. Косинус — чётная функция: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$.

2. $\cos(-60°) = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.

Решение для $\tan(-30°)$:

1. Тангенс — нечётная функция: $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$.

2. $\tan(-30°) = -\tan 30° = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Задача 3. Нестандартный угол: $\sin 15°$

Уровень: средний | Метод: формула разности $\sin(45° - 30°)$

Решение:

1. Представим: $15° = 45° - 30°$.

2. Применяем формулу: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta$.

3. $\sin 15° = \sin 45° \cdot \cos 30° - \cos 45° \cdot \sin 30°$.

4. Подставляем значения:
$\sin 15° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588$

Задача 4. Нестандартный угол: $\cos 75°$ и $\tan 75°$

Уровень: средний | Метод: формула суммы $\cos(45° + 30°)$

Решение для $\cos 75°$:

1. Представим: $75° = 45° + 30°$.

2. $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta$.

3. $\cos 75° = \cos 45° \cdot \cos 30° - \sin 45° \cdot \sin 30°$.

4. $\cos 75° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Решение для $\tan 75°$:

1. $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta}$.

2. $\tan 75° = \dfrac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°} = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.

3. $= \dfrac{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$.

4. Умножим числитель и знаменатель на $(3 + \sqrt{3})$: $= \dfrac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \dfrac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \dfrac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.

Задача 5. Угол в радианах: $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Уровень: средний | Метод: единичная окружность + формула приведения

Решение:

1. Переводим: $\dfrac{2\pi}{3} = 120°$.

2. Угол $120°$ лежит во II четверти. В II четверти косинус отрицателен.

3. $120° = 180° - 60°$.

4. $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.

5. $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos 120° = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$.

Ответ: $-\dfrac{1}{2}$

Задача 6. Упрощение выражения: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \cdot \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Уровень: выше среднего | Метод: формула суммы в обратную сторону

Решение:

1. Замечаем, что выражение $\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$ является формулой $\sin(A + B)$.

2. Здесь $A = \dfrac{\pi}{12}$, $B = \dfrac{\pi}{6}$.

3. $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2\pi}{12}\right) = \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{12}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

4. $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Задача 7. Сложное выражение: $\dfrac{\sin^2 105° + \sin^2 15°}{\cos 45°}$

Уровень: продвинутый | Метод: комбинация приведения + тождества

Решение:

1. Заметим, что $105° = 90° + 15°$.

2. По формуле приведения: $\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha$, значит $\sin 105° = \cos 15°$.

3. Подставляем в числитель: $\sin^2 105° + \sin^2 15° = \cos^2 15° + \sin^2 15°$.

4. По основному тригонометрическому тождеству: $\cos^2 15° + \sin^2 15° = 1$.

5. Делитель: $\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

6. Итого: $\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

Задача 8. Задание типа ЕГЭ: упрощение с несколькими функциями

Уровень: экзаменационный

Задание: Вычислите: $\dfrac{\sin^2(-240°) + \cos(-60°)}{\sin 300°}$.

Решение:

1. $\sin(-240°)$: $\sin(-x) = -\sin x$ → $\sin(-240°) = -\sin 240°$. Угол $240° = 180° + 60°$ → $\sin(180° + 60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Итого: $\sin(-240°) = -\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Квадрат: $\sin^2(-240°) = \dfrac{3}{4}$.

2. $\cos(-60°)$: косинус чётный → $\cos(-60°) = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.

3. $\sin 300°$: $300° = 360° - 60°$ → $\sin(360° - 60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Числитель: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}$.

5. Итого: $\dfrac{\dfrac{5}{4}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{5}{4} \times \left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\dfrac{10}{4\sqrt{3}} = -\dfrac{5}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$

Задача 9

Найдите $3\cos\alpha$, если $\sin\alpha=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3};\ \alpha\in\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)$.

Решение:

1. Так как $\alpha\in\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)$ — это угол четвёртой четверти (что подтверждается тем, что значение синуса отрицательное).
2. Чтобы найти косинус, воспользуемся формулой тригонометрической единицы:
   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$
   $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{8}{9}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$
   Важно: косинус в четвёртой четверти положителен, учитываем знак плюс.
3. Если $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$, то $3\cos\alpha=1$.

Ответ: 1.

Задача 10

Найдите $\tg\alpha$, если $\dfrac{2\sin\alpha-5\cos\alpha+2}{\sin\alpha+3\cos\alpha+6}=\dfrac{1}{3}$.

Решение:

Воспользуемся основным свойством пропорции: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c$

$3(2\sin\alpha - 5\cos\alpha + 2) = \sin\alpha + 3\cos\alpha + 6$

$6\sin\alpha - 15\cos\alpha + 6 = \sin\alpha + 3\cos\alpha + 6$

$5\sin\alpha - 18\cos\alpha = 0$

$5\sin\alpha = 18\cos\alpha$

$5\tg\alpha = 18$

$\tg\alpha = \dfrac{18}{5} = 3{,}6$

Задача 11

Найдите значение выражения $7\cos(\pi+\beta)-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)$, если $\cos\beta=\dfrac{1}{3}$.

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

$7\cos(\pi+\beta)=-7\cos\beta$

$2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)=2\cos\beta$

Тогда $7\cos(\pi+\beta)-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)=-7\cos\beta-2\cos\beta=-9\cos\beta=-9\cdot\dfrac{1}{3}=-3$

Ответ: −3.

Задача 12

Найдите значение выражения $\dfrac{5\cos26°}{\sin64°}$.

Решение:

В этом задании также необходимо воспользоваться формулами приведения: обратите внимание, что $90-26=64$.

$\dfrac{5\cos26°}{\sin64°}=\dfrac{5\cos(90°-26°)}{\sin64°}=\dfrac{5\sin64°}{\sin64°}=5$

---

Частые ошибки и как их избежать

Ошибка	Почему возникает	Как исправить
Неверный знак после формулы приведения	Не определили четверть исходного угла	Всегда сначала определяй четверть, затем — знак по мнемонике ВСЕХ-СИН-ТАН-КОС
Перепутаны $\sin$ и $\cos$ при приведении через $90° \pm \alpha$	Забыли, что при «нечётном» коэффициенте (кратном $90°$) функция меняется	Правило: кратное $90°$ (нечётное) → меняем функцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$)
Ошибка перевода градусов в радианы	Механический перевод без понимания пропорции	Запомни «якорные» пары: $30°=\dfrac{\pi}{6}$, $45°=\dfrac{\pi}{4}$, $60°=\dfrac{\pi}{3}$, $90°=\dfrac{\pi}{2}$, $180°=\pi$
Неправильный знак при чётной/нечётной функции	Перепутали, какая функция чётная	Косинус — единственная чётная функция; у $\sin$, $\tan$, $\cot$ при смене знака аргумента знак меняется
Ошибка в формуле суммы (перепутаны слагаемые)	Применяют формулу по памяти, не записав её	Всегда записывай формулу до подстановки значений, не «в уме»
Забыт минус при $\cos(180°+\alpha) = -\cos\alpha$	Смешивают с $\cos(180°-\alpha) = -\cos\alpha$	Оба варианта дают $-\cos\alpha$, но $\sin(180°+\alpha) = -\sin\alpha$ (в отличие от $\sin(180°-\alpha) = +\sin\alpha$)

---

Практика: задачи для самостоятельного решения

Уровень 1 — Базовые (табличные углы)

1. $\sin 270°$
2. $\cos 120°$
3. $\tan(-45°)$
4. $\cos 0°$
5. $\sin 180°$

Ответы:

Задача	Ответ	Метод
$\sin 270°$	$-1$	$270°$ — граничная точка, координата $y = -1$
$\cos 120°$	$-\dfrac{1}{2}$	$120° = 180°-60°$, $\cos(180°-\alpha) = -\cos\alpha = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$
$\tan(-45°)$	$-1$	Нечётность: $\tan(-45°) = -\tan 45° = -1$
$\cos 0°$	$1$	Граничная точка, координата $x = 1$
$\sin 180°$	$0$	Граничная точка, координата $y = 0$

Уровень 2 — Средние (приведение + нестандартные углы)

1. $\sin 105°$
2. $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$
3. $\tan 210°$
4. $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)$
5. $\cos 330°$

Ответы:

Задача	Ответ	Метод
$\sin 105°$	$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\sin(60°+45°) = \sin60°\cdot\cos45° + \cos60°\cdot\sin45° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{7\pi}{6} = 210° = 180°+30°$; $\cos(180°+30°) = -\cos30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 210°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$210° = 180°+30°$; $\tan(180°+\alpha) = \tan\alpha = \tan 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	Нечётность + $\dfrac{5\pi}{4} = \pi+\dfrac{\pi}{4}$; $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{5\pi}{4} = -\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 330°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$330° = 360°-30°$; $\cos(360°-\alpha) = \cos\alpha = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Уровень 3 — Продвинутые (упрощение выражений)

Задача 1. Вычислите: $\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) - \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.

Решение:

Применяем формулу $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \dfrac{\pi}{8}$.

$\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) - \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \cos\!\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{8}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Задача 2. Вычислите $\sin\!\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{2}$, если $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\alpha \in \left[0;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Решение:

1. Находим $\cos\alpha$: из основного тождества $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. Поскольку $\alpha \in \left[0;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos\alpha > 0$, значит $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.

2. Применяем формулу суммы: $\sin\!\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\alpha \cdot \cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\alpha \cdot \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{10} + \dfrac{4\sqrt{2}}{10} = \dfrac{7\sqrt{2}}{10}$.

3. Умножаем на $\sqrt{2}$: $\dfrac{7\sqrt{2}}{10} \cdot \sqrt{2} = \dfrac{7 \cdot 2}{10} = \dfrac{7}{5}$.

---

Ключевые формулы по теме

Формула	Выражение
Основное тождество	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
$\sin(\alpha \pm \beta)$	$\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta)$	$\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\sin 2\alpha$	$2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha$	$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Перевод градусы ↔ радианы

$\alpha° \times \dfrac{\pi}{180} = \alpha \text{ (рад)}$  |  $\alpha \text{ (рад)} \times \dfrac{180}{\pi} = \alpha°$

Якорные пары: $30°=\dfrac{\pi}{6}$ | $45°=\dfrac{\pi}{4}$ | $60°=\dfrac{\pi}{3}$ | $90°=\dfrac{\pi}{2}$ | $180°=\pi$ | $360°=2\pi$

---

Авторитетные источники для углублённого изучения

• Trigonometric Functions — NIST Digital Library of Mathematical Functions — академический справочник Национального института стандартов и технологий США; содержит строгие определения, формулы и свойства.
• Trigonometric Identities — United States Naval Academy — компактный справочник всех тождеств от кафедры математики Военно-морской академии США.
• Unit Circle: Sine and Cosine — LibreTexts / California State University — подробное объяснение единичной окружности с иллюстрациями.

---

Ответы на частые вопросы (FAQ)

Как вычислить $\sin(15°)$ без калькулятора?

Разложите угол как $15° = 45° - 30°$ и примените формулу разности: $\sin(45° - 30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° - \cos 45° \cdot \sin 30°$. Подставьте табличные значения: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. Подробный разбор — в Задаче 3.

В чём разница между радианами и градусами и зачем это знать?

Радиан — единица измерения угла, определяемая через длину дуги окружности. $1 \text{ рад} \approx 57{,}3°$. На экзаменах углы часто задаются в радианах ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{4}$), и незнание соответствия приводит к ошибкам при подстановке в таблицу. Запомните якорные пары — и перевод перестанет быть источником ошибок.

Какие формулы обязательно знать для экзамена?

Минимальный обязательный набор: основное тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, таблица значений для $0°$–$90°$, формулы приведения, формулы суммы/разности для $\sin$ и $\cos$, формула $\sin 2\alpha$ и три формы $\cos 2\alpha$.

Почему меняется название функции при приведении к $90° \pm \alpha$?

Геометрическое объяснение: при повороте радиус-вектора на $90°$ координаты точки «меняются местами» — абсцисса становится ординатой и наоборот. Поскольку $\sin$ = ордината, а $\cos$ = абсцисса, функция действительно меняется. Именно поэтому правило работает только для углов, кратных $90°$ (нечётный коэффициент): $\sin(90°+\alpha)$ превращается в $\cos\alpha$, так как «$x$ и $y$ поменялись».

Как быстро восстановить таблицу значений, если забыл?

Воспользуйтесь «методом руки»: для $\sin$ значения от $0°$ до $90°$ — это $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ (то есть $0$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $1$). Для $\cos$ — та же последовательность в обратном порядке. Тангенс восстанавливается как $\sin/\cos$ для каждого угла.

Что делать, если на ЕГЭ встречается незнакомый угол?

Действуйте по алгоритму: сначала приведите к диапазону $[0°;\ 360°]$, определите четверть, затем попробуйте разложить через ближайшие табличные углы ($30°$, $45°$, $60°$). Угол $75° = 45°+30°$, угол $105° = 60°+45°$, угол $165° = 180°-15°$. Любой «нестандартный» угол в диапазоне $0°$–$360°$ можно представить через комбинацию табличных.

---

Иногда наши ожидания и реальность не совпадают, как здесь: сложные на вид задания оказываются лёгкими и приятными в решении. Подкрепите это новое убеждение практикой в бесплатном тренажёре ЕГЭ. Желаем вам классных математических открытий и стопроцентно лёгких упражнений!