Все формулы приведения — таблица и примеры

Для кого эта статья

Ключевые выводы из статьи

Если вы хотите выстроить системную подготовку к ЕГЭ по математике — не только по теме формул приведения, но и по всему профильному курсу — ознакомьтесь с профилем математики: планом подготовки к ЕГЭ. Там вы найдёте пошаговый маршрут от разбора базовых тем до решения заданий второй части с полным разбором критериев оценивания.

---

Что такое формулы приведения

Вы наверняка помните значения тригонометрических функций основных аргументов:

Но что делать, если в задаче просят вычислить $\sin \dfrac{25\pi}{6}$? В этом и других случаях, когда из огромного аргумента нам нужно получить аргумент в пределе от 0 до 90 градусов, работают формулы приведения.

Всего формул приведения тридцать две штуки, но прежде чем мы перейдём к формулам, давайте договоримся, что точку тригонометрической окружности, отвечающую углу $\dfrac{\pi n}{2}$, где n — целое число, мы будем называть опорной точкой.

Формулы приведения — это тождества, которые позволяют выразить тригонометрическую функцию от угла вида $(90° \cdot n \pm \alpha)$ через функцию от острого угла $\alpha$. Они сводят вычисление функции от любого угла к работе с углами из диапазона от $0°$ до $90°$, значения которых табличны или легко вычислимы.

Что такое опорная точка и почему она важна

Опорная точка — это угол, кратный $90°$ (или $\pi/2$ в радианной мере), относительно которого строится формула приведения. Именно от того, к какому кратному $90°$ прибавляется или вычитается угол $\alpha$, зависит:

• меняется ли тригонометрическая функция ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tg \leftrightarrow \ctg$);
• каким будет знак результата.

Опорные точки: $90°$ ($\pi/2$), $180°$ ($\pi$), $270°$ ($3\pi/2$), $360°$ ($2\pi$).

Формулы приведения в тригонометрии vs алгебре

В школьной программе термин «формулы приведения» встречается и в алгебре — там он обозначает приведение подобных слагаемых. Это принципиально разные понятия. В тригонометрии формулы приведения — это преобразование аргумента тригонометрической функции, а не упрощение алгебраического выражения. Тема этой статьи — исключительно тригонометрическое приведение.

Тригонометрическая окружность: четверти и знаки функций

Тригонометрическая окружность (она же единичная окружность) — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. По ней отсчитываются углы поворота радиус-вектора: против часовой стрелки — положительные углы, по часовой — отрицательные.

Окружность делится осями координат на четыре части — четверти (в зарубежной литературе также называемые квадрантами). Номера четвертей считаются против часовой стрелки.

Напоминаем знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности:

---

Список формул приведения

Опорная точка $\dfrac{\pi}{2}$ (случай n = 1)

Опорная точка $\pi$ (случай n = 2)

Опорная точка $\dfrac{3\pi}{2}$ (случай n = 3)

Опорная точка $2\pi$ (случай n = 4)

---

Формулы приведения в радианах ($\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$)

В старших классах и на ЕГЭ аргументы тригонометрических функций часто записываются не в градусах, а в радианах. Ниже — явное соответствие опорных точек и пояснение, что никаких новых правил для радиан не существует.

Соответствие градусов и радиан для опорных точек

Градусы	Радианы	Положение на окружности	Функция меняется?
$90°$	$\pi/2$	Граница I и II четвертей (вертикальная ось)	✅ Да (нечётное кратное)
$180°$	$\pi$	Граница II и III четвертей (горизонтальная ось)	❌ Нет (чётное кратное)
$270°$	$3\pi/2$	Граница III и IV четвертей (вертикальная ось)	✅ Да (нечётное кратное)
$360°$	$2\pi$	Полный оборот (горизонтальная ось)	❌ Нет (чётное кратное)

Правило двух шагов (смена функции + знак по четверти) работает в радианах абсолютно идентично градусам.

---

Доказательство формул

Чтобы убедиться, что формулы рабочие, рассмотрим примеры доказательств нескольких из них.

Для этого нам нужно будет вспомнить формулы сложения для синуса и косинуса:

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta$;
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta \mp \sin\alpha \cdot \sin\beta$.

Доказательство через тригонометрическую окружность (геометрический смысл)

Рассмотрим угол $(90° + \alpha)$. На тригонометрической (единичной) окружности:

• Точка A соответствует углу $\alpha$: координаты $(\cos \alpha;\, \sin \alpha)$.
• Точка B соответствует углу $(90° + \alpha)$: она получается поворотом точки A на $90°$ против часовой стрелки.

При повороте на $90°$ координаты точки $(x;\, y)$ переходят в $(-y;\, x)$. Следовательно:

$$\text{Точка B} = (-\sin \alpha;\, \cos \alpha)$$ $$\text{Из определения: } \cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha, \quad \sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$$

Аналогично строятся доказательства для остальных опорных точек: поворот на $180°$ переводит $(x;\, y)$ в $(-x;\, -y)$, поворот на $270°$ — в $(y;\, -x)$.

Доказательство формулы с синусом

Доказательство формулы с косинусом

Доказательство формулы с тангенсом

Универсальная формула приведения — общее правило

$$f\!\left(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha\right) = \begin{cases} \pm f(\alpha), & \text{если } n \text{ чётное} \\ \pm \operatorname{co}\!f(\alpha), & \text{если } n \text{ нечётное} \end{cases}$$

где $f$ — исходная тригонометрическая функция, $\operatorname{co}\!f$ — кофункция, знак определяется по четверти угла при конкретном $\alpha$.

---

Таблица формул приведения

Нередко можно встретить такой вариант оформления формул приведения — в виде таблицы.

Для того чтобы воспользоваться этой таблицей, выберите строку с нужной функцией и столбец с необходимым аргументом — на их пересечении вы узнаете ответ.

---

Формулы приведения — разбор по углам

Угол $(90° \pm \alpha)$ / $(\pi/2 \pm \alpha)$

Почему функция меняется на «соседнюю»: опорная точка $90°$ — нечётное кратное, поэтому $\sin$ переходит в $\cos$, а $\tg$ — в $\ctg$. Это следствие геометрического факта: при повороте на $90°$ проекция на ось абсцисс становится проекцией на ось ординат, и наоборот.

Угол $(180° \pm \alpha)$ / $(\pi \pm \alpha)$

Почему функция не меняется: опорная точка $180°$ — чётное кратное. Геометрически: при отражении через начало координат обе проекции меняют только знак, но не «направление».

Угол $(270° \pm \alpha)$ / $(3\pi/2 \pm \alpha)$

Угол $(360° \pm \alpha)$ / $(2\pi \pm \alpha)$

Связь с периодичностью: случай $360° + \alpha$ ($2\pi + \alpha$) — это просто периодичность тригонометрических функций (период $\sin$ и $\cos$ равен $360°$, тангенса и котангенса — $180°$).

---

Нестандартный порядок аргумента: когда $\alpha$ стоит первым

На ЕГЭ и олимпиадах встречаются выражения, в которых аргумент записан не в стандартном виде (опорная точка ± $\alpha$), а в перевёрнутом: $(\alpha - 90°)$, $(\alpha - \pi/2)$, $(\alpha - 3\pi/2)$. Это одна из самых частых ловушек, на которой теряют баллы даже хорошо подготовленные ученики.

Метод: вынести минус и воспользоваться чётностью/нечётностью

Общий приём: перепишите аргумент так, чтобы опорная точка стояла первой, используя чётность ($\cos$) или нечётность ($\sin$, $\tg$, $\ctg$) функции:

• Если $f$ — нечётная функция ($\sin$, $\tg$, $\ctg$): $f(-(T - \alpha)) = -f(T - \alpha)$
• Если $f$ — чётная функция ($\cos$): $f(-(T - \alpha)) = f(T - \alpha)$

---

Как запомнить формулы приведения

Одно дело — воспользоваться формулами, а совсем другое — выучить их. Знать наизусть все формулы приведения или всю таблицу — дело нелегкое и, к счастью, абсолютно ненужное.

Поэтому познакомимся с мнемоническим алгоритмом:

1. Представьте аргумент в виде $\left(\dfrac{\pi n}{2} \pm \alpha\right)$, где n — целое число, а $\alpha$ — острый угол, то есть принадлежит отрезку $\left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

2. Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

3. С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

   Напоминаю знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности:

   

4. Если в аргументе у опорной точки $\dfrac{\pi n}{2}$ n — нечётное число, то исходную функцию замените на кофункцию, то есть на противоположную функцию (синус меняется на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот).

   Если в аргументе у опорной точки $\dfrac{\pi n}{2}$ n — чётное число, то функция не меняется.

Вот с этим пунктом изменения или сохранения функции возникает постоянная путаница. А запомнить поможет «правило лошадки».

Универсальное правило двух шагов

Шаг 1: определяем, меняется ли функция. Нечётное кратное $90°$ ($90°$, $270°$; в радианах — $\pi/2$, $3\pi/2$) → функция меняется: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tg \leftrightarrow \ctg$. Чётное кратное $90°$ ($180°$, $360°$; в радианах — $\pi$, $2\pi$) → функция не меняется.

Шаг 2: определяем знак результата по четверти. Подставьте в аргумент конкретное положительное значение $\alpha$ (например, $30°$) и определите, в какой четверти окажется итоговый угол. Если исходная функция положительна в этой четверти — знак «+», если отрицательна — знак «−».

Методы запоминания: сравнение подходов

Метод	«Перед экзаменом завтра»	«Для глубокого понимания»	Время на освоение
Правило лошадки	✅ Отлично	🟡 Частично	30 минут
Тригонометрическая окружность	🟡 Медленнее	✅ Отлично	1–2 часа
Флэшкарды	✅ Хорошо	🟡 Частично	2–3 часа на создание
5 задач в день	❌ Поздно	✅ Отлично	7 дней

Оптимальная стратегия: начните с тригонометрической окружности (понимание), затем отработайте правило лошадки (скорость), затем закрепите флэшкардами (автоматизм).

---

Частые ошибки при применении формул приведения

Ошибка 1 — перепутали, меняется функция или нет

Неверно: $\cos(180° - \alpha) = \sin \alpha$ (применяет смену там, где её нет).
Верно: $180°$ — чётное кратное → функция не меняется. $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$.

Ошибка 2 — неправильно определили знак по четверти

Неверно: $\sin(270° + \alpha) = +\cos \alpha$.
Верно: угол $(270° + \alpha)$ при $\alpha \in (0°; 90°)$ — IV четверть. $\sin$ в IV четверти отрицателен → $\sin(270° + \alpha) = -\cos \alpha$.

Ошибка 3 — применили формулу к отрицательному $\alpha$ без проверки

При $\alpha = -120°$: $\sin(90° + (-120°)) = \sin(-30°) = -1/2$. При отрицательном $\alpha$ сначала вычислите числовое значение итогового угла, потом определите четверть.

Ошибка 4 — спутали приведение с периодичностью

Неверно: $\sin(180° + \alpha) = \sin \alpha$ (по аналогии с $360°$).
Верно: период синуса — $360°$, не $180°$. $\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha$.

Ошибка 5 — не учли порядок аргумента ($\alpha - \pi/2$ вместо $\pi/2 - \alpha$)

Неверно: $\sin(\alpha - \pi/2) = \cos \alpha$.
Верно: $\sin(\alpha - \pi/2) = -\sin(\pi/2 - \alpha) = -\cos \alpha$. Нечётность синуса обязательно учитывается!

Памятка: как проверить себя за 5 секунд

1. Подставьте $\alpha = 30°$ в исходное выражение и вычислите значение через таблицу.
2. Подставьте $\alpha = 30°$ в полученный результат.
3. Числа должны совпасть. Если нет — ошибка в знаке или в функции.

---

Примеры и задачи

Задание 1 — разбор сложного выражения

Задание 2 — работа с градусами

Базовые задачи

Задачи среднего уровня (ЕГЭ базовый)

Задачи повышенного уровня (ЕГЭ профиль / олимпиады)

---

Часто задаваемые вопросы

---

Дополнительные источники

• Trigonometric Functions of Sum, Difference and Reduction — LibreTexts Mathematics — академический учебник с доказательствами через формулы сложения
• Basic Trigonometric Identities and Reduction Rules — Wolfram MathWorld — энциклопедический справочник с формальными определениями и связями между тождествами
• Foundations of Trigonometry — OpenStax / Rice University — открытый учебник университетского уровня с примерами и упражнениями